книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

реверберационного шума. При этом роль рассеивателей играют ло­ кальные центры, создающие отдельные импульсы торошения. В этом случае ядро s (т, t) не может считаться функцией разности аргумен­ тов t и т, т. е. процесс торошения носит явно выраженный нестаци­ онарный характер.

Как линейная модель реверберационного шума, так и линейная модель шумов торошения льда могут быть усложнены, если счи­ тать, что s (т, і) — случайная функция от состояния рассеивателей и параметров излучаемого сигнала.

Для рассмотренных выше последних двух случаев имеет место обобщенная теорема о наложении случайных возмущений.

Таким образом, все основные виды шумовых помех, встреча­ ющиеся в радиотехнике, физике, теории связи, гидроакустике, до­ пускают описание при помощи математической модели линейных' случайных процессов, т. е. могут быть описаны функционалами ви­ да (1) или их линейной комбинацией. Основной задачей, возника­ ющей при построении таких моделей, является определение ядра представления (1) и характеристической функции порождающего процесса ц (т), исходя из статистических наблюдений или физи­ ческих предположений. Теоретические предпосылки для решения такой задачи были изложены в конце § 1 гл. I.

§ 3. Метод стохастических интегральных представлений

В предыдущей главе был рассмотрен ряд физических моделей реальных шумов, исходя из которых была обоснована возможность их описания при помощи математической модели линейных случай­ ных процессов вида (1) и указаны пути получения функций, входя­ щих в представление (1), на основании физики явления или по ре­ зультатам экспериментальных наблюдений.

Не менее важной при решении многих задач теории радио­ связи, кибернетики, оптики, гидроакустики оказывается трактов­ ка процесса £ (t), определенного согласно (1), как результата ли­ нейной фильтрации белого шума. Остановимся подробнее на этом вопросе, так как он положен в основу метода интегральных пред­ ставлений, который, как указывалось во введении, некоторые за­ рубежные авторы [30] относят к методу порождающего процесса.

Любую неслучайную непрерывную функцию [33] можно «пред­ ставить» интегралом

оо

(443)

—со

где б ( /) — дельта-функция, определенная как в [33]. По опреде­ лению эта функция является обобщенной сингулярной, т. е. не может быть представлена в виде скалярного произведения двух регуляр­ ных функций.

130

Представление (443) можно переписать, не прибегая к исполь­ зованию дельта-функции, в виде интеграла Стилтьеса

где через 1 (t) обозначена единичная функция Хевисайда, опреде­ ленная согласно (437).

Выражение (444) можно рассматривать как интегральное пред­ ставление любой неслучайной непрерывной функции. Физический смысл этого выражения следует из (443), которое представляет со­ бой видоизмененную запись (444) и показывает, что любой непре­ рывный сигнал можно рассматривать как отклик линейного фильтра, частотная характеристика которого совпадает с частотной характеристикой сигнала, на воздействие, обладающее постоянной спектральной плотностью в полосе частот от —оо до оо

Эта идея положена в основу метода интегральных представле­ ний случайных процессов, только в этом случае в качестве исход­ ного обобщенного процесса вместо дельта-функции используется белый шум — обобщенная производная в смысле Гельфанда — Ито [15, 29] от процесса с независимыми приращениями, обладающая постоянной спектральной плотностью в полосе частот (—оо, оо). Путем фильтрации белого шума и получаются все другие линейные процессы, т. е. имеет место представление (1), аналогичное (444).

Иными словами, при анализе любой реальной системы со слу­ чайным воздействием методом интегральных представлений на ее входе мысленно достраивается дополнительное линейное звено с импульсной переходной функцией ср (т, t), на которое теперь по­ ступает только белый шум т/ (т) — обобщенная производная про­ цесса с независимыми приращениями, обладающего безгранично делимым законом распределения типа (4). Импульсная переходная функция этого фильтра ф (т, t) и распределение приращений про­ цесса г) (т) подбираются таким образом, чтобы отклик достроенного линейного звена был стохастически эквивалентным входному слу­ чайному процессу анализируемой системы.

Если дополнительно предположить, что в (1) функция ф (т, t) = = 0 при т < t независимо от t, т. е. выполняется условие физи­ ческой реализуемости, и что система до момента (0 находилась в со­ стоянии покоя и включается только в момент t0, то представление (1) можно записать в виде

t ©о

где пределы /0 и t обычно включаются в интервал интегрирования. Чаще всего t0 = 0 или t0 — —оо. Таким образом, (445) можно по­ лучить из (1), если в последнем вместо ядра ф (т, t) рассматривать новое ядро ф (т-, t) 1 (т — /0)1 (t — т), где 1 (t) определяется соглас­ н о ^ ) .

Для процесса (1), согласно (32), с учетом (39) выражение для кор­

при построении таблиц или графиков можно рассматривать только случай t2 > tx.

Выражение для корреляционной функции представления (445) можно записать, с учетом (447), так:

— оо

Таким образом, процесс g (t), допускающий представление (1), можно трактовать как результат фильтрации белого шума некото­ рым линейным устройством Такой способ задания исходных шу­ мовых процессов будет широко использован в последующих пара­ графах при решении конкретных задач и примеров. В связи с этим рассмотрим подробно один из способов получения ядра ф (т, f), а также определение функции h {tx, /2) для линейной 7?С-цепочки.

RC-фильтр. Согласно закону Кирхгофа для /?С-цепочки [36], напряжение у (t), полученное на выходе, при входном воздействии X (t) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

132

где X (t) и R (t) — непрерывные на интервале [0, оо) функции (последнее обеспечивает единственность решения при заданных

стема в начальный момент не обладает запасом энергии), принимает вид

Таким образом, если считать, что в выражении (445) ядро определено согласно (453), то процесс g (f) можно рассматривать как отклик ^С-фильтра на воздействие, представляющее собой белый шум.

Рассмотрим частные случаи выражения (453) и соответствующие им линейные процессы.1

1. Пусть R (t) = R0 = const. Обозначив а = — , получим

133

Корреляционная функция процесса (455) согласно (447) прини­ мает вид

=(/ — т)а 1 при 0 < т < t,

(458) Вид функции (458) при а = 1 при­

веден на рис. 8 . Заметим, что

j* Ф2(т, t)dx = I ф2(т, t)dx =

-(ТсГ-і)Ѵ - ПРИ а > 0 ’5’

оопри а С 0,5.

Следовательно, при а > 0,5 функция ф (т, f), определенная со­ гласно (458), интегрируема с квадратом как функция т при всех t и поэтому может служить ядром нестационарного линейного про­ цесса

Вчастном случае гауссов нестационарный процесс согласно

(459)имеет представление

It

V(D= J dw (т)> се > 0 ,5 ; /€(0, оо). (460)

0+ Корреляционная функция процесса (459) согласно (449) опре­

134

В частном случае при а = 1 последнее выражение принимает вид

Вобщем случае при целых положительных значениях выражение

(461)принимает вид

Аналогично можно получить выражения для ядра и корреля­ ционной функции представления линейного процесса (1) при дру­ гих законах изменения параметров ^С-целочки во времени, а также для других времяинвариантных и изменяющихся во времени ли­ нейных цепей.

Таким образом, интегральные представления нестационарных (445) и стационарных (446) линейных процессов, а также соответ­ ствующие им корреляционные функции, могут быть получены из

(1) и (447) путем соответствующего выбора ядра <р (т, /). Поэтому и в дальнейшем выражения (1) для соответствующих процессов г) (т) будут рассматриваться как исходные, а выражения (445) и (446) понадобятся при рассмот­ рении некоторых частных случаев и примеров.

Метод интегральных представлений позволяет просто и наглядно анализи­ ровать линейные системы. Так, в работе [58] приводят­ ся примеры определения семиинвариант на выходе линейной системы с задан­ ной импульсной переходной функцией, на вход которой поступает известный про­ цесс (446).

135

Аналогично можно получить выражения для семиинвариант при нестационарных воздействиях вида (445) или общего вида (1), а также для линейных систем с переменными параметрами.

§ 4. Корреляционная функция отклика углового модулятора

Рассмотрим применение изложенных в гл. II результатов для нахождения корреляционных функций $ (s, f) и В (s, t) сигнала, полученного в результате угловой модуляции некоторым «полезным» сигналом и гауссовым линейным процессом, в общем случае неста­ ционарным, с корреляционной функцией h (t, t + s). Процесс на выходе углового модулятора можно записать так:

где А0 — некоторая постоянная положительная величина; ср — постоянная начальная фаза; v (t) — гауссов процесс, представи­ мый в виде (282) с Му (t) = 0; N (t) — некоторая ограниченная на любом конечном интервале неслучайная действительная числовая функция.

Для фазовой модуляции моногармоническим сигналом функ­ цию N (t) будем определять следующим образом:

Для частотной модуляции моногармоническим сигналом функ­

(в последнем выражении vm (t) — гауссов шум, воздействующий ад­ дитивно на несущую частоту при 4M, определяемый согласно (282) с ядром фт (т, /)).

Заметим, что с выражением (465) приходится иметь дело при изучении нестабильности фазы или частоты различных типов гене­ раторов синусоидальных колебаний, при анализе работы прием­ ника радиосигналов или гидроакустических сигналов с угловой модуляцией в условиях помех, а также при анализе помехоустой­ чивости различных кибернетических систем, использующих угловую модуляцию.

136

Более конкретно под процессом v (t) можно подразумевать одну из гауссовых помех, рассмотренных в § 1, 2 настоящей главы.

Остановимся на определении математического ожидания про­ цесса у (t), определенного согласно (465). При этом можно было бы воспользоваться формулой (340), однако удобнее применить более простой «искусственный» прием, который для общего случая ли­ нейных случайных процессов описан в работе [55]. Рассмотрим функцию

cos [at + btv (0 ],

где at и bt — неслучайные функции времени, а v {t) — линейный нестационарный гауссов процесс. Исходя из выражения для харак­ теристической функции V (/), определенной согласно (74), получаем

Аналогично можно получить выражение для математического ожидания процессов с угловой модуляцией при наличии негауссо­ вых помех вида (1). Подробно этот вопрос изложен в работе [55].

Процесс (465) можно рассматривать как отклик некоторой не­ линейной системы с безынерционной, изменяющейся во времени, динамической характеристикой вида (310), т. е.

где at — некоторая неотрицательная функция времени, которую можно отождествить с нормой в рассматриваемом пространстве.

виде ряда (329) с коэффициентами, определенными согласно (330), следующим образом:

137

Выражение для смещенной корреляционной функции в рас­ сматриваемом случае, согласно (332), с учетом (472) можно

Легко показать, что

поэтому (473) принимает вид

X cos T v - f ^ W + ip cos — v -{- У (/ s) -f- ф

Представив в последнем выражении произведение косинусов че­ рез сумму и произведя суммирование, получаем окончательно

Выражение (475) можно получить путем преобразования ком­ понент двумерного вектора (v (t), v (t + s)). При этом не обяза­ тельно их сводить к независимым (некоррелированным), как это делалось в § 6 гл. II. Рассмотрим и этот случай. Имеем

33 (s, t) = ЛоМ (cos [.У (/) -f V (t) + cp] cos [У (t + s) + v (i + s) + ф]} =

138

А1

=2 М cos [N (i) -f- N (t -J- s) -f- у(0 -f* v (f "b s) “f- 2<p] -f-

A2

+ -£-Mcos[N(f) — N (t+ s ) + v(t) — v(t-l-s)l.

Введя замену переменных согласно

и h2 (s, /) можно выразить через корреляционные функции про­ цесса V (t) следующим образом:

hi (s, f) = -g- [/г(^. t) -f- h (t -f- s, t -}- s)] -(- h (t, t -(- s),

h2 (s, f) = [h (t, t) h{t s, t s)J — h(t, t-j- s).

Подставляя эти значения корреляционных функций в (476), получа­

139