книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

дал ему исчерпывающее объяснение, которое с несущественными доработками принято и теперь, В Шоттки [ 100]. Подобно дробовому эффекту могут быть построены модели других шумов, описывающих­ ся линейными случайными процессами. Некоторые из них будут рассмотрены ниже.

§ 2. Тепловые и полупроводниковые шумы. Реверберационные процессы и шумы торошения льдов

Остановимся кратко на рассмотрении некоторых наиболее часто встречающихся в приложениях шумов с целью установления при­ менимости для их описания математической модели линейных случайных процессов. К сожалению, не во всех случаях удается най­ ти прямое обоснование и полностью проследить связь для всех пара­ метров линейного процесса с исходными физическими предположе­ ниями так просто и полно, как это было сделано для дробового эф­ фекта-

Наряду с дробовым эффектом большое распространение в ра­ диотехнике и физике получила модель тепловых шумов, которая описывает флуктуации тока и напряжения в электрических цепях, обусловленные хаотическим движением электронов в проводнике. Хотя изучением этого вида шумов физики занимаются начиная с конца прошлого века, основополагающие результаты, удобные для применения в теории связи, были получены только в 1927—1928 го­ дах Джонсоном [91] и Найквистом [99]. Эти результаты, начиная с 1928 г., неоднократно подтверждались в экспериментальных рабо­ тах многих авторов.

Для случая теплового шума существует множество различных моделей, приводящих к результатам, полученным Найквистом. Наи­ более часто встречаются две из них:

а) модель, которая исходит из общих принципов статистической механики, и

б) модель, использующая теорему о равномерном распределе­ нии энергий применительно к электрической или магнитной энер­ гии цепи.

Так как целью настоящей главы является установление воз­ можности представления рассматриваемых здесь процессов с помо­ щью стохастического интеграла вида (1), то нет смысла подробно останавливаться на рассмотрении указанных выше моделей теплово­ го шума. Исходя из теоремы Найквиста 199] и близости теплового шума к броуновскому движению, что было установлено многими авторами [35] с использованием модели б), сразу приведем некото­ рые доводы в пользу возможности представления теплового шума в виде (1).

Согласно теореме Найквиста для электрических цепей [11, 73,

120

99], спектральная плотность шумовой э. д. с. в малом частотном

вается, что тепловой шум имеет нормальное распределение, не за­ висящее от времени.

Теорема Найквиста и тот факт, что тепловой шум является ста­ ционарным нормальным процессом, позволяют сразу установить его принадлежность к классу линейных процессов и написать яв­ ное выражение для интегрального представления теплового шума.

Рассмотрим следующие три случая.

Случай 1. Если, исходя из приближенной формулы (411), пред­ положить, что тепловой шум содержит в полосе частот (—оо, оо) постоянную спектральную плотность, т. е. распространить эту формулу на бесконечную область частот, то получим, что тепловой шум является «непрерывным гауссовым процессом с независимы­ ми значениями» или, более точно, представляет собой обобщенную производную [15, 29] от винеровского процесса:

* В работе [ 11 ] в (409) вместо р (// |) приведено р (/), что не позволяет распро­ странить эту формулу на область / < 0.

121

где о2 = AkTR и w (t) — винеровский процесс. Так как g (t) яв­ ляется обобщенным случайным процессом, то выписать его плот­ ность распределения в явном виде в классе обычных функций не представляется возможным, поэтому под гауссовым процессом

Следовательно, его спектральная плотность существует и опре­ деляется следующим образом:

при малых At функция 5д, (/) приближается к 5 (/), определенной согласно (411) при /£ (—оо, оо). Таким образом, хотя процесс £ (t), определенный согласно (412), и не существует в обычном смысле,

обычно именуют «белым шумом». Для этого процесса Р (|£ {t)\~>A} = = 1 при любом положительном А . Физически осуществить процесс g (/) невозможно хотя бы потому, что он обладает бесконечной мощ­ ностью .

Таким образом, предположение о постоянстве спектральной плотности S if) на всем интервале частот/ £ (—оо, оо) для реального

122

тегрального представления, покажем, что тепловой шум может быть описан в рассматриваемом случае выражением

где а 2 = 4kTR. Для этого достаточно рассмотреть спектральную плотность, соответствующую процессу (414) и сравнить ее с исход­ ной. Корреляционная функция процесса (414) согласно (298) опре­ деляется так:

Выражение для спектральной плотности процесса (414) с учетом [19], 3.741, (2), получаем в следующем виде:

Таким образом, центрированный гауссов процесс (414) имеет спектральную плотность, постоянную в полосе (—/0, /„) и равную нулю вне этой полосы, а следовательно, может быть принят в ка­ честве интегрального представления теплового шума. Однако такое представление все же остается очень идеализированным, так как его ядро является физически нереализуемым.

Итак, тепловой шум в рассматриваемом случае описывается слу­ чайным процессом, допускающим представление (1). Заметим, что процесс I (t), определенный согласно (412), также является в неко­ тором смысле линейным, так как формально может быть выражен в виде предела процесса (414) следующим образом:

Процесс (416) можно рассматривать как элемент замыкания класса линейных процессов с использованием предельного перехода в их ядрах. Предел в (416) в обычном смысле не существует и под­ разумевается в обобщенном смысле, а его ядро не удовлетворяет условиям, наложенным на ядро (1), так как является дельта-функ­ цией (не существует интеграл от квадрата).

Случай 3. В наиболее общем случае, когда спектральная плот­ ность теплового шума определяется выражением (409), он может быть описан линейным процессом (1) по винеровскому:

123

где функция ф0 (і) определяется из уравнения (65), которое в рас­ сматриваемом случае принимает вид

то ядро в (417) интегрируемо в квадрате, т. е. и в самом общем слу­ чае тепловой шум является линейным случайным процессом, допу­ скающим представление вида (1).

Выражение (421) с учетом представления (417) позволяет опре­ делить дисперсию теплового шума (аналогично [73])

h(0) = Mvl]{t) = » 1,8928 • 1 0 (дж ■сек ■ом), (422)

а выражение (298) с учетом (417) и (420) определяет его корреляци­ онную функцию

На рис. 7 приводится график нормированной корреляционной функции теплового шума, которая с учетом (422) и (423) определя­ ется следующим выражением:

ционная функция теплового шума убывает достаточно быстро-

124

Рассмотренные выше три случая позволяют сделать заключе­

водниковых шумов. При анализе этих шумов обычно проводят раз­ личие между тепловым шумом, дробовым шумом и фликкер-шумом [11 ] Тепловой шум в полупроводниках обусловлен случайным дви­ жением носителей тока Он аналогичен тепловому шуму, возника­ ющему в проводниках, который, как было установлено выше, мож­ но описать интегральным представлением (1). Дробо­ вой шум в полупроводниках наиболее характерен, его спектр в области нижних частот равен постоянной ве­ личине независимо от ча­ стоты. По этому признаку он подобен дробовому шуму в электронных лампах, кото­ рый рассматривался ранее и, как было выяснено, мо­ жет быть описан интеграль­

ным представлением (1). Фликкер-шум характеризуется своеобраз­

Фликкер-шум в полупроводниках значительно превышает уровень теплового и дробового шумов. При его анализе с помощью линей­ ной * теории обычно делают предположение о дискретности электрон­ ного заряда подобно тому, как это делалось в § 1 настоящей главы, т. е. предполагают, что группы зарядов (в § 1 рассматривались не группы, а отдельные электроны) появляются в случайные моменты времени и удовлетворяют предположениям а) и б) из § 1 настоящей главы. Следовательно, моменты их появления распределены по за­ кону (121) Так как эти заряды носят случайный характер и имеют одинаковые функции распределения, то, следуя рассуждениям, приведенным в § I, придем к представлению фликкер-шума в виде

(403)Однако теперь функция aNe. (t) будет представлять собой

импульс, связанный с зарядом группы, состоящей из N синхрон­

* Существует и нелинейная теория, развитая Моррисоном. Ее описание и ссылки на литературу даются в работе [11].

125

было в дробовом эффекте (е (т) — форма отдельного импульса). Следовательно, полупроводниковый фликкер-шум можно предста­ вить в виде

возможно, чтобы спектральная плотность процесса £ (t) описыва­ лась бы согласно (425).

Корреляционная функция процесса (426) с учетом (405) имеет следующий вид:

оо

аналитическая в правой полуплоскости. С учетом (429) выражение (428) принимает вид

т. e. последнее выражение представляет собой факторизацию спект­ ральной плотности 5 (со) на прямой. і

Из (429)

Если исходить из спектральной плотности, определенной вы­ ражением (425), то согласно (433) средняя интенсивность импуль­

126

делить согласно (425). Заметим, что (425) получено в результате обработки экспериментальных наблюдений, а поэтому является од­ ним из возможных аппроксимирующих выражений для спектраль­ ной плотности и не исключает других подобных выражений для ее

проксимацию спектральной плотности фликкер-шума в полупро­ водниках:

которая при малых, соответственно выбранных значениях б с на­ перед заданной степенью точности на любом конечном интервале из области со £ (0, оо) может аппроксимировать значения спектраль­ ной плотности, убывающие по гиперболическому закону, при этом постоянные с и п определены как в (425). Величину б при известных с и а можно определить экспериментально, путем измерения зна­ чения 5 (0) и вычислений по следующей формуле:

полученной из (434). В случае спектра, определенного выражением (434), имеем

S ( < o ) = t a £ ------

127

постоянным множителем, поэтому для нее выполняется условие (432).

постоянного множителя независимо от вида cf (x).B свою очередь спектральная плотность не накладывает никаких существенных ограничений на распределение адт-суммарного заряда группы, за исключением условия (433), благодаря которому нам пришлось пе­ ресмотреть аппроксимацию спектральной плотности и придти к ее новому виду (434). Заметим, что вопрос, какая из аппроксимаций (425) или (434) лучше, подлежит экспериментальной проверке. Таким образом, исходя из физической линейной модели шума в по­ лупроводниках, приходим к заключению, что он также может быть описан интегральным представлением (1).

Рассмотрим кратко линейную модель шумов, обусловленных рассеянием звука на неоднородностях морской среды, именуе­ мых реверберационными шумами. Теоретические результаты пер­ вой главы позволяют описать при помощи характеристических функционалов поле реверберационной помехи. Рассмотрим вначале модель и свойства реверберационной помехи в некоторой точке шумового поля. Следуя работе [63], будем различать объемную ре­ верберацию, реверберацию от слоя и граничную реверберацию, а основное внимание сосредоточим на рассмотрении модели объем­ ной реверберации, так как остальные виды не имеют принципиаль­ ных отличий. На практике часто приходится иметь дело с линейной комбинацией сразу двух или трех видов реверберации [63].

Будем считать, что рассеиватели в морской среде расположе­ ны дискретно. Эффективные сечения рассеивателей практически оказываются намного меньше расстояний, занимаемых излучае­ мыми сигналами в пространстве. Если предположить, что рас­ сеиватели в среде расположены статистически независимо, для рассматриваемой достаточно большой области среды средняя плот­ ность рассеивателей постоянна, то количество элементарных рассеян­ ных сигналов, приходящих в точку приема за время Ат, т. е. попав­ ших в интервал (т, т -f- Дт), подчиняется распределению Пуассона (121). Это можно обосновать аналогично обоснованию выражения (121), проведенному для случая дробового эффекта.

Обозначим через ak случайные амплитуды, а через tk — слу­ чайные моменты возникновения рассеянных сигналов. Если из­ лучаемый сигнал описывается функцией s (t) и каждый элементар­ ный рассеянный сигнал s (tk, t), пришедший в момент времени tk, зависит от состояния рассеивателя в момент прохождения через него

128

При помощи определенного в § 2 гл. I процесса щ (т), прира­ щения которого связаны с ak соотношением (402), реверберационный шум можно записать в виде

Таким образом, модель реверберационного шума близка к модели дробового шума, только реверберационный процесс в об­ щем случае носит явно нестационарный характер, что и сказалось на виде ядра в (439)

Как уже упоминалось в § 1 настоящей главы, при к ->■ оо про­ цесс, полученный в результате центрирования и нормирования про­ цесса (т), стремится к винеровскому процессу, поэтому и процесс (439) после центрирования и нормирования также стремит­

Обоснование этого выражения можно построить аналогично обос­ нованию соотношения (408).

может быть определена из теоретических предпосылок или экспе­ риментально.

Если в (406) и (407) функции е (4 — т) и е (і — т) везде заме­ нить соответственно на s (т, tk) и s (т, і), то получим многомерную характеристическую функцию и характеристический функционал реверберационного шума для некоторой точки шумового поля.

Для описания «-компонентного вектора реверберационной по­

В заключение этого параграфа заметим, что дискретная линейная модель шумов торошения льда может быть построена путем рассуждений, аналогичных приведенным выше при обосновании