книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

формулы (368), оказываются весьма удобными при использовании ЭВМ для вычисления численных значений элементов искомых мат­

* Фактически некоторые элементы матриц А (/, s) и М (<, s) от s могут и не зависеть, однако для общности всегда будем пользоваться обозначениями

ац (t, s) и Кц (/, s).

110

Г л а в а I I I ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В РАДИОТЕХНИКЕ И ТЕОРИИ СВЯЗИ

§1. Основные положения анализа шумов. Дробовой эффект

Вопросы анализа реальных физических шумовых процессов тесно связаны с теорией задания случайных функций, рассматрива­ емой в чисто теоретическом плане. Естественно, что никакая мате­ матическая модель не может абсолютно точно отразить физические процессы, происходящие при шумообразовании в реальных физи­ ческих условиях, поэтому она должна рассматриваться как некото­ рое более или менее удачное приближение, отражающее только основные стороны реальных физических явлений. С этой точки зрения сразу следует, что математические модели шумовых процес­ сов должны быть достаточно простыми и в то же время достаточно тонкими и разнообразными, чтобы как можно более полно отра­ зить все существенные стороны реальных шумовых процессов.

В абстрактной математике широкое распространение полу­ чили конструктивные методы задания случайных процессов, а именно:

1) задание случайных процессов при помощи характеристи­ ческих функций или характеристических функционалов и, в част­

идругих операторов;

3)задание случайных процессов при помощи дифференциальных уравнений.

В физике и в технических приложениях при классификации шу­ мов зачастую исходят из возможностей их исследований при помощи различной аппаратуры, поэтому, в основном, принимаются во вни­ мание следующие признаки шумовых процессов:

1)свойства функций распределения или характеристических функций значений процесса в отдельные моменты времени;

2)спектральные и корреляционные свойства.

При этом, как правило, исследователь не располагает полными данными об исследуемом процессе и ограничивается получением некоторых оценок характеристик, исходя из которых и делается вы­ вод о применении той или иной математической модели процесса.

Так как изучение свойств функций распределения реальных

112

шумовых процессов связано с получением большого объема исход­ ной информации, что требует значительной затраты времени и применения при обработке результатов наблюдений сложной аппара­ туры или ЭВМ, то зачастую исследователи ограничиваются изуче­ нием спектральных или корреляционных свойств, что бывает до­ статочным для решения многих задач в радиотехнике, теории связи, физике и механике.

Одним из простых и в то же время достаточно универсальных способов задания широкого класса как стационарных, так и не­ стационарных процессов (а именно линейных) является метод ин­ тегральных представлений, который, как указывалось выше, отно­ сится к числу конструктивных методов.

Исходя из общепринятых физических описаний шумов, можно заключить, что тепловые, полупроводниковые, дробовой и ре­ верберационный шумы, фликкер-шумы и шумы торошения льдов, а также многие другие шумовые процессы, могут быть описаны при помощи математической модели линейных случайных процессов. Обоснованию этого утверждения и посвящается настоящая глава.

Как следует из результатов первой главы, для задания линейного случайного процесса нужно знать ядро представления (1) и харак­ теристическую функцию процесса г] (т), входящего в (1). Для боль­ шинства реальных шумовых процессов на основании рассмотрения физики их образования могут быть получены описания при помощи стохастического интеграла вида (1) с ядром вполне определенного типа при вполне определенном процессе т] (т).

Со времени выхода в свет работы Райса [67], в которой изло­ жены основные итоги за предшествующий период результатов исследований по теории дробовых шумов, теория вероятностей и математическая статистика сделали большой шаг в изучении пре­ дельных теорем и в разработке методов описания и задания случай­ ных процессов. В результате работа [67] в настоящее время может быть значительно конкретизирована и дополнена результатами, полученными в последние годы по теории шумов, отличных от дро­ бового эффекта. Систематизацию этих результатов удобно проводить с привлечением математической теории линейных случайных про­ цессов .

При рассмотрении реальных физических моделей шумов обычно предполагают [8, 21 ], что наблюдаемый случайный шумовой про­ цесс является результатом действия большого числа отдельных импульсов, каждый из которых обладает некоторой продолжитель­ ностью, характеризуется определенным вероятностным законом по­ явления во времени и обладает некоторой энергией, величина ко­ торой носит случайный характер

В зависимости от конкретного вида перечисленных выше ха­ рактеристик отдельных импульсов получаются различные шумовые процессы. При этом обычно предполагают, что среда, в которой возникает реальный физический шум, обладает необходимыми ли­ нейными свойствами.

При рассмотрении многих шумовых процессов, обусловленных дискретностью электронного заряда, авторы [8, 21, 59, 60, 67]

идругие предполагают следующее.

1.За малый промежуток времени (т, т + Ат) вероятность по­

Этого предположения достаточно, чтобы сделать вывод о том, что вероятность Рк (т) появления ровно k импульсов за время т определяется выражением (121), в котором к теперь равна средней плотности числа импульсов за единицу времени.

В работах [21, 671 авторы, отправляясь от предположения а), дают более подробные выкладки, приводящие к распределению (121) для появления k импульсов за время т в случае дробового эф­ фекта, хотя в 167] при этом рассмотрен некоторый конечный ин­

имно независимы. Это предположение можно ослабить, потребовав только, чтобы количества появившихся импульсов на различных временных интервалах были некоррелированы.

Центральное место в теории шумов занимает теорема о наложе­ нии случайных возмущений [67], частный случай которой носит название теоремы Кемпбелла [26]. Остановимся кратко на содержа­ нии этой теоремы.

Пусть каждое событие (например, вылет электрона в дробовом эффекте) имеет некоторую интенсивность а и вызывает эффект, величина которого через время t после момента возникновения этого события равна е (t), причем

ооос

т. е. предполагается, что все возмущения тождественны по величи­ не и форме. Почти такой случай встречается при дробовом эффекте в режиме насыщения, когда ток испускания ограничен температу­ рой катода, а напряжение на аноде достаточно велико, так что можно пренебречь тем, что начальные скорости отдельных электро­ нов неодинаковы

Если выходной контур рассматриваемой системы таков, что

llé

эффекты, вызываемые отдельными событиями (вылетом электронов), складываются линейно, и если предположить, следуя работе [59], что продолжительность отдельного события (время выхода электро­ на) является очень короткой по сравнению с длительностью е (/), т. е. перекрытием исходных импульсов можно пренебречь, то пол­ ный эффект в момент t от всех предшествующих событий равен

Если воспользоваться рассмотренным выше пуассоновским про­ цессом я (т), то сумму (392) можно записать в виде

t

При этом точки роста реализации процесса я (т) совпадают с точ­ ками tk.

где £ (0 — стационарный и линейный в узком смысле процесс, по­ рожденный пуассоновским процессом и подробно рассмотренный в § 2 гл. I .

Сформулируем теперь в терминах математических ожиданий тео­ рему (в [67 ] эта теорема сформулирована в терминах временных сред­ них), которая впервые была сформулирована и доказана Кемп­ беллом в работах [87, 881.

Теорема о наложении случайных возмущений (теоре­ ма Кемпбелла). Среднее значение процесса £ (/), выраженного соглас­ но (395), определяется выражением

средний квадрат флуктуаций относительно среднего значения оп­ ределяется согласно

оо

идля процесса £(/) имеет место гипотеза об эргодичности.

До к а з а т е л ь с т в о . Эта теорема является следствием тео­

ремы 3, приведенной в гл. I. Выражения (396) и (397) сразу следуют из выражения (118) как частный случай.

одинаковы и равны а все интенсивности рассматриваемых событий, т. е. рассмотрен дробовой эффект в режиме насыщения. Однако на практике возможен случай, когда в дробовом эффекте нельзя не учитывать различие начальных скоростей отдельных электронов. Рассмотрим этот случай подробнее. При этом сохраним все основ­ ные предпосылки, сделанные в начале настоящего параграфа, не­ изменными, за исключением того, что теперь для каждого события ak будут случайными независимыми и одинаково распределенными величинами. В таком случае суммарный эффект в некоторый момент времени t может быть записан следующим образом:

оо

предполагая, что точки роста реализаций процесса я х (т) совпадают с моментами начала импульсов tk, и в этих точках реализации ях (т) получают приращения, равные ак > 0. Промежутки времени меж­ ду событиями для процесса я х (т) удовлетворяют предположению а) с соответственно измененным значением X, а сам процесс я х (т) удовлетворяет условию 2. Однако я х (т) отличается от я (т) тем, что приращения процесса я х (т) уже не равны числу появившихся им­ пульсов за время от т до т + Ат, а равны суммарному приращению интенсивности за этот период:

Я! (т -ф Ат) — ях (т) = 2 ak- (402)

Пуассоновский процесс я (т) можно рассматривать как частный случай процесса я х (т), когда ах = а 2 = • • • = а.

Воспользовавшись процессом я х (т), выражение (401) можно за­ писать в виде

Для этого процесса в [67] приводится аналог теоремы Кемпбелла, которая ниже сформулирована в принятых здесь обозначениях.

Обобщенная теорема о наложении случайных воз­

мущений. Пусть е (т) £ Ln (— с», оо). Тогда для процесса £ (/) се­ миинварианты п-го порядка определяются согласно выражению

117

Корреляционная функция процесса £ (t) может быть получена с использованием теоремы 3 согласно (128) в следующем виде:

стационарного процесса £ (/), определенного согласно (403) с учетом (126), можно записать в виде

а выражение для характеристического функционала, согласно (127), такое:

Остановимся на случае, когда среднее число вылетов электронов в единицу времени становится очень большим, т. е. когда X -*■ оо. При этом дисперсия процесса я х (т), т > 0, определяемая согласно (123) формулой

оо

х2[Яі (т)] = (Тя.т = Хт I x2dSr{x),

— оо

тоже стремится к бесконечности, однако центрированный и норми­ рованный пуассоновский процесс

1 оо

(сія.т) 2 [я,(т) — Хт j xd&~(x)]

— оо

стремится к винеровскому, а процесс, полученный в результате цент­

рирования и нормирования функции £ (/), при таком предельном переходе стремится к гауссовому. Это можно показать, пользуясь методом характеристических функций, следующим образом. С уче­ том (406) характеристическая функция процесса

оо оо

118

определяется выражением

ной ряд, приводим последнее выражение к виду

Таким образом, когда число вылетов электронов за единицу времени становится очень большим, то процесс, описывающий дро­ бовой эффект при условии различных начальных скоростей вылета электронов, становится гауссовым. -

В заключение отметим, что дробовой эффект изучал и впервые

119