книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике
.pdfВ частном случае при а = 1 коэффициенты разложения (274) со гласно (275) получаются в следующем виде:
|
|
о |
|
|
(277) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где т = 0, k — 0 или т — О, |
1, 2, |
k = 1, 2, |
2m, а при п = |
||
= 2 |
|
|
|
|
|
со (0 — |
Гп 0)1 j |
|
|
|
» |
|
о |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
+ |
2кг [Г] (1)] j ф (т, 0 dx j |
ф (т, t) (т) dx, |
(278) |
||
|
О |
о |
|
|
|
т = 0, k = 0 или /и = 0, 1 , 2, /г = 1, 2, 2т .
Приведенные выше результаты позволяют строить ортогональ ные разложения для функционалов от негауссовых случайных про цессов, а также сводить произведения линейных функционалов к линейному функционалу канонического вида.
В заключение этого параграфа |
рассмотрим пример. Для ка |
|||
нонического вида |
линейного функционала |
|
||
|
1 |
2 |
J ф (т) dn (т) + |
с, |
Е2 = |
I e~xdn (х) |
= |
||
|
о |
|
о |
|
где я (т) — пуассоновский процесс с параметром |
надо опреде |
|||
лить ядро ф (т) и постоянную с. |
|
|
|
|
Согласно (278) |
имеем |
|
|
|
о |
о |
о |
= 2
(279)
90
где
k — 1 |
k — 0,5 |
k |
Yl — 2 m ’ Yä — |
2m |
» Ys — 2m • |
Таким образом, согласно (274) и с учетом (279) имеем
1 |
оо '2т |
1 |
|
I2 = с0 — 4 0)К + [ 4 0)зсГ (Т) dn (X) + |
2 |
2 { |
(т) ^ (+ = |
J |
m=0 fe—1J |
|
|
1
= с + J ф (т) dn (т),
о
где
Ф( т ) = Л > 0) (т) +
оо2т
+ |
2 |
2 |
|
(т) И с = с0 — Ä |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m=0 fe—1 |
|
|
|
|
(280) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Графики |
функции |
ф (т), |
опре |
|
|
|
|
|
|
|||||
деленной |
согласно |
(280) с |
учетом |
|
|
|
|
|
|
||||||
(279), для случая X = 0, 2 и 1 при |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
водятся |
на |
рис. 5. На |
этом же ри |
|
|
|
|
|
|||||||
сунке |
для |
сравнения |
пунктиром |
|
|
|
|
|
|
||||||
приведен график функции е—т-яд- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ра исходного функционала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Итак, |
в рассматриваемом случае окончательно получим |
|
||||||||||||
|
I2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
X = |
|
|
|
0,8320 |
• • • |
— 1,2317 |
• • • |
+ |
j ф(т)с(я (т) |
при |
1, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ё3 = |
0,1024 ••• |
— 0,5922 |
••• |
+ |
J ф(т)ейгі(т) |
при |
Л, = 0,2, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где значения функции ф(т) |
задаются графиками рис. 5. |
|
|||||||||||||
|
Приведенные выше выкладки и пример позволяют сделать |
||||||||||||||
интересный |
для |
практических приложений |
вывод. |
Существу |
|||||||||||
ет |
некоторый |
класс |
линейных |
случайных |
процессов, |
замк |
|||||||||
нутый относительно операции нелинейных безынерционных преобразований, т. е. нелинейные преобразования, совершаемые над линейными процессами, принадлежащими этому классу, приводят опять к линейным случайным процессам и при этом остается неизменным порождающий процесс. Это по зволяет решение задач, связанных с нелинейными преобразо ваниями стохастических линейных процессов, свести к реше нию задач, связанных с преобразованием ядер соответствующих интегральных представлений, т. е. перейти от рассмотрения опе раций над случайными функциями к рассмотрению некоторых
91
преобразований неслучайных функций. При этом ядра искомых ли нейных представлений в общем случае будут выражаться через ис ходные ядра при помощи некоторых ортогональных рядов.
§ 5. Одномерные нелинейные гауссовы функционалы
В этой главе будут рассмотрены вопросы нелинейных пре образований нестационарных линейных гауссовых процессов в рамках L3-теории для одномерного и многомерного случаев. Ре зультаты этой главы будут существенно использованы при решении прикладных задач радиотехники в гл. III.
Обозначим через v (t) |
нестационарный нормированный |
гаус |
|||||||
сов линейный процесс |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V (f)= h |
2 {t,f)V{f), |
|
(281) |
||||
|
|
v{t) = |
со |
|
|
t)dw(T) |
|
|
|
|
|
j |
ф(т, |
|
(282) |
||||
и с учетом |
(77) |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h (tv |
t2) = М [V (tj) V (£j)] = |
J ф (т, tt ) ф (T, |
t2) dx. |
(283) |
|||||
|
|
|
|
|
|
.—CO |
|
|
|
Пусть {#„ (X), n ~ 0, |
1, |
2, |
...} — система полиномов Эрмита, |
||||||
ортогональных |
с весовой |
функцией |
ехр | -----y - j |
на интервале |
|||||
(— оо, оо). Справедлива следующая лемма. |
|
|
|||||||
Л ем м а |
6. |
Пусть функционал |
ѵ (t) определен согласно (282), а |
||||||
Q (t) — некоторая однозначная числовая функция. |
|
|
|||||||
Тогда для полиномов Эрмита справедливо следующее разложение: |
|||||||||
|
Нп [V(0 + Q (01 = |
2 |
(“ j<2r (0 Hn-r [v(f)]. |
(284) |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Представим левую часть (284) |
в виде |
|||||||
суммы по степеням аргумента:
И
н , т + о т = у т„ ^ - , 7 ,2г і °(0 + ѳ (0 ] ^ ° φτ= 0
[т ]
( - lfn \
■= У —
t In( — 2k)\k\2k k=0 ’
[-2=q
л=0 |
φτ= 0 |
п—2ft |
ln — 2k\Qr |
|
|
V |
= |
||
— |
, |
r |
|
/•=0 |
\ |
r |
|
( - l f ( n - A ) l |
v„_9k_r(t). |
||
(n — 2k — r ) \ k \ 2 k |
|
||
92
Учитывая, что |
вторая |
сумма |
последнего выражения |
равна |
Нп-г [ V (/)], убеждаемся в справедливости леммы. |
|
|||
Теорем а 14. Пусть функционал ѵ (t) определен согласно |
(281), |
|||
т. е. Му2 (f) = 1. |
Введем |
обозначение |
|
|
h (fA, t2) = |
-------- . |
|
(285) |
|
|
|
[h ( y у |
h (y y ] 2 |
|
Тогда для полиномов Эрмита от винеровских функционалов справедливо следующее соотношение:
Щ Нп [V &)] Hk [V (4)]} = п ! h \ t x, t2) bnk, |
(286) |
где 8nk — символ Кронекера.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как ѵ (t) имеет нормальное рас пределение, то
М{НпЩ І$ Н к Щ Щ =
_______1______ |
00 |
оо |
|
|
|
I Hn{x)Hk (y) я |
|
||
2л У \ — h2 (у у ! |
|
|||
X exp |
X2 — 2xyh (tv |
У + у2 dxdy. |
(287) |
|
|
2[1- Л2(У у] |
|
||
Чтобы произвести интегрирование в правой части последнего выражения, разложим двумерную плотность нормального распре деления в ряд по полиномам Эрмита:
---------- --------- т |
ехР |
|
X2 — 2xyh ( у у + у2 |
|||
|
2 [1 — £ (У У] |
|||||
2л [1 - |
h2 (У |
у ] 2 |
|
|
||
|
|
|
||||
2я ехр |
* L + J / M |
|
hm ( У |
у |
HmW Нт (У) ПРИ I h (tv t2) I < 1. |
|
2 |
I |
2 J |
ml |
|
||
|
|
' |
m=О |
|
|
|
Учитывая последнее разложение, выражение (287) можно за писать так:
|
|
|
ЩНп№(Ь)]Нк [о(у)]} = |
1 |
у |
hm (У у |
J Hn(x)HmНт{х)еx)e~ ~2 dx 7J Hm(y)Hk (y)e 2 Л/. |
2я |
ZJ |
rnI |
т = о
1 При т Ф п или т ф k слагаемые правой части последнего вы ражения обращаются в нуль. Поэтому при п = т = k
ЩНп [» (*i)] Нп [V (У)]} = п\ hn(У, t2),
98
что и требовалось доказать. Следовательно, в рассматриваемом случае ортогональная система полиномов Эрмита удовлетворяет условию (216), которое приняло конкретный вид (286).
Остановимся на некоторых обозначениях. Символом В (.,.) будем обозначать корреляционную функцию (ковариацию) процес са X (/), которая определяется соотношением
В (s, t) = М{ [X (t) —Мл: (/)] [х{t + s) — Мх(t + s)]}, (288)
а символом 53 (...) — второй смешанный момент или скалярное про изведение функций X (0 и X (/ -j- s):
53 (S, і) = М [X (о X (t + s)] = (X (t), X(( + s)). |
(289) |
Но так как в прикладной литературе ([381 и другие) выражение (289) также называют корреляционной функцией, то во избежание путаницы функцию В (s, t) назовем смещенной корреляционной
функцией, подчеркивая тем самым тот факт, |
что |
|
53 (s, f) = В (s, і) -f- Мх (0 Мх (t - f s). |
(290) |
|
Обозначим функцию (смещение) |
|
|
АВ (s, і) = Мх (/) Мх (t + s) = 53 (s, t) — В (s, t). |
(291) |
|
Для стационарного процесса х (t) значение |
каждой из приведен |
|
ных выше функций в нуле содержит самостоятельный физический смысл. Так, 53 (0) характеризует полную мощность процесса х (t),
В (0) — мощность |
переменной составляющей |
этого |
процесса, а |
АВ (0) — мощность |
его постоянной составляющей. Если функции |
||
53 (s, t) и В (s, t), определенные согласно (288) |
и (289) |
соответствен |
|
но, являются равномерными почти периодическими по t, то они допускают усреднение по времени. Обозначим эти средние следую щим образом:
И |
|
530(s) = |
lim |
|
Г 53(s,t)di |
|
|
(292) |
||
|
|
|
|
Т-*<х ** |
|
|
|
|
||
|
B0(s) = |
lim |
1 |
J7 В (s, f)dt. |
|
|
(293) |
|||
Теорема 15. Пусть |
Q (t) — некоторая действительная одно |
|||||||||
значная |
числовая |
функция, |
v (t) |
определяется |
согласно (281), а |
|||||
h(t, t + |
s) — согласно |
(285). Введем обозначение: |
|
|
||||||
53m„ (s, 1) = |
М{Нт [I (t) + |
Q (t)] Нп [о(і + s) + |
Q(t + |
s)]}. |
(294) |
|||||
Тогда справедливо следующее соотношение: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
53™ (s, t) = |
|
|
|
||
|
min(m,n) jm \ jn \ |
|
|
|
|
|
S). |
(295) |
||
|
= 2 |
( ] ( |
)v!/i»(U + s) Qm~v(t) Qn- V(t + |
|||||||
94
Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись выражением (284), получаем
|
|
|
ln \ |
Утп (s, t) = |
m |
n |
l m \ |
~ |
|
= 2 2 |
|
И |
(0 & (t + s)м { я т_Гі [о (oi н п_г2 [ü(t + s)]}. |
|
rt=0 r , = |
О V 1 / |
V 2 / |
|
|
|
|
|
|
(296) |
Если |
теперь |
ввести |
замену переменных т — гх = п — л2 = ѵ |
|
и воспользоваться выражением (286), то получим выражение (295), что и доказывает теорему.
Вчастном случае, когда исходный гауссов процесс стационарный,
т.е. когда
|
|
|
ѵо (0 = |
j ф (t — т) dw (т), |
|
(297) |
|||||
для которого |
|
|
—©о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М[г>о(ОМ* + |
s)l = h ( s ) |
= |
j Ф (т) ф (т 4- s) dx, |
(298) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
---ОО |
|
|
|
из теоремы 15 получаем следствие. |
|
|
|
действительная равно |
|||||||
Следствие 20. Пусть |
Q (і) — некоторая |
||||||||||
мерная почти периодическая функция, |
|
|
|
||||||||
|
|
R rtri (S) = |
|
1 |
1 |
0Г' (t) Qri (t + s)dt |
(299) |
||||
|
|
H i m |
- ± r |
J |
|||||||
при |
всех |
целых положительных |
r t и r2, функция |
h (s) |
определя- |
||||||
ется |
согласно (298), |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ _ і_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0(t) = h |
2 |
(0)v0(t), |
|
|
(300) |
|||
где v0 (t) определена выражением (297). |
|
|
|
||||||||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Утп (s) = lim -2_ |
|
|
|
|
(301) |
||||
|
|
|
|
Т-*оо |
|
|
|
|
|
|
|
где Vmn (s, /) определяется согласно (295) при условии, |
что вместо |
||||||||||
V (t) рассматривается случайная компонента v0 (t). |
корреляционная |
||||||||||
Тогда |
усредненная |
по |
времени |
смещенная |
|||||||
функция для полиномов Эрмита от v0 (t) + |
Q (t) определяется сле |
||||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Vmn(s)= |
т \п (щ ,п ) |
т |
|
|
|
|
|
(302) |
|
|
|
2 |
|
VV |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
" о |
|
|
|
|
[ s ) - |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что функция |
Rrtr, (s) |
|
также |
является равномерной |
|||||||
95
почти периодической, а поэтому, согласно известной теореме [39], является ограниченной, т. е. для всех s£ (—оо, оо)
I Rr,r, (s) I < оо |
(303) |
при всех целых положительных г1 и г2.
В рассматриваемом случае выражение (293) принимает вид
min(т ,п) / \ /м\ , V / V
Усредняя |
последнее выражение по времени и |
учитывая |
(299) |
и (303), убеждаемся в справедливости следствия. |
|
|
|
Так как |
Q (/), а следовательно, и Rrir, (s) при |
всех целых |
по |
ложительных гг и г2являются равномерными почти периодическими
функциями, то для |
них, согласно [39], |
существуют |
ряды Фурье* |
||||
|
|
ОО |
. |
|
|
|
(304) |
|
Q{t) = ^ A |
kemkt |
|
|
|||
и |
k—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яv , (s) = 2 Л |
(П- r2) eia^ |
)s, |
|
(305) |
|||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
ГДе |
|
T |
|
|
|
|
|
Ал = 1іт-±г |
f |
Q(t)eiakidt, |
|
(306) |
|||
|
T-+ со |
_ J r |
|
|
|
|
|
\ ('i, ra) = lim J f - |
f |
RVi (s)eia^ ri)sds, |
|
(307) |
|||
|
T-+oo 11 jJ |
|
|
|
|
|
|
причем A k (ru r2) могут быть выражены через |
A k и щ , |
а ю* (гъ г2) — |
|||||
через (ük при всех целых положительных гг и г2. |
|
|
|||||
В статистической |
радиотехнике и теории передачи информации |
||||||
часто предполагают, |
что функция Q (t) |
является периодической с |
|||||
периодом Т0, т. е. Q (t) — Q (t -f- Т0) |
при |
t £ (— оо, |
оо). Естест |
||||
венно, что тогда подынтегральное выражение в (299) тоже пред ставляет собой периодическую функцию с периодом То, а поэтому, согласно [39], для такого случая
Rrin (s) = |
т |
Q'. (0 Qr, (t + s)dt |
|
^ - j |
(308) |
||
и функция Rflrs (s) = Rrtr, |
0 |
T0), т. e. тоже периодическая с |
|
(s + |
|||
периодом Т0 при s £ (— оо, оо). |
|
|
|
Приведенные выше теоремы |
и следствие позволяют вычислять |
||
корреляционную функцию нестационарного процесса, |
полученного |
||
в результате нелинейного преобразования, совершаемого над слу
чайным процессом V (/) или v (t) + |
Q (t), при этом ѵ (t) может быть |
стационарным и нестационарным |
линейным гауссовым процессом. |
*Здесь и в дальнейшем для рядов Фурье знак равенства означает сходимость
всреднеквадратическом.
96
Если G( (X) — однозначная числовая действительная непрерыв ная по X и t функция, а х (t) — некоторый исходный процесс, пред ставимый в виде
x(t) = v(t) + Q(t), |
(309) |
где V (/) определяется согласно (281), а Q (t) — некоторая |
равно* |
мерная почти периодическая функция*, то процесс, полученный в
результате нелинейного преобразования, можно записать |
так: |
y(t) = Gt [x(t)}. |
(310) |
В § 3 гл. II были приведены ортогональные разложения процес са (310) по полиномам Эрмита от винеровских функционалов для случая, когда Q (t) = 0. В настоящем параграфе применим разло жение в ортогональный ряд процесса (310) для вычисления значе ний смещенной корреляционной функции
|
V (s,t)= M [y(t)y(t + s)], |
|
(311) |
||
а также средних по времени от |
(s, t), |
когда Gt (х) удовлетворяет |
|||
специальным условиям. |
|
|
|
|
|
Случай |
1. Предположим, что функция Gt (х) |
является аналити |
|||
ческой по X |
при всех f £ (— оо, |
оо) и х£ (— оо, |
оо), |
т. е. |
|
|
00 |
G*n) (х) |
|
|
(312) |
|
Ot ( x ) = % |
- ± ~ ^ ( x - x or, |
|
||
|
п=0 |
|
|
|
|
где ряд сходится при всех t, х, х0£ (—оо, оо). |
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
Г Л |
|
w- |
|
y(f) = ö t [v(f) + <2(01 = 2 |
- Ц — |
vn~ |
||
|
|
n = 0 |
|
|
|
Степенная функция выражается через полиномы Эрмита следую |
|||||
щим образом: |
|
|
|
|
|
И |
------ |
ns |
Нп--2 т(х), |
|
|
*»= У |
| Х | < 0 0 . |
||||
Х-І |
|
(пin— |
2т) ! m I 2 |
|
|
m=aО |
|
|
|
|
|
Учитывая последнее выражение, можем записать |
|
||||
G<"> [Q (О] У |
л! |
|
|||
y ( 0 = S |
|
И1 |
S |
(n-2tn)\m\2m |
(313) |
/2 = 0 |
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* Требование того, чтобы Q (t) была равномерной почти периодической функ цией, существенно только в тех случаях, когда применяется усреднение по врепени. В остальных случаях это условие можно заменить требованием того, чтобы Q (0 была непрерывной и ограниченной.
7 3 — 6 8 2 |
97 |
|
Меняя в (313) порядок суммирования и произведя замену я — 2т =» = V, получаем
|
|
|
|
|
G<v+2m)[Q |
|
|
|
|
У{і) = X |
V I |
X |
ml 2m |
|
|
|
|
|
0=Г) |
|
m=( |
|
|
Выражение для смещенной корреляционной функции в этом |
|||||||
случае приобретает вид |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
V(s, 0 |
= |
|
|
^со |
^со |
^со |
Л<ѵ> (/, |
( + S) (j(v+ 2mi) [Q (f)] G (V+2m2) [Q (/ + |
s)] |
||
~ 2 J 2 J |
2 J |
X |
X |
|
|
• W ) |
|
v=0 m,=0 mt=0 |
2 ^ |
^ ft 2 (/ _j_ s, / -f. s) v j щ J щ j 2 mi+"b |
|
||||
Так как из начальных предположений следует аналитичность |
|||||||
функции |
G, (х) в окрестности точки х = |
0, то |
|
||||
|
|
G/v+2m) [Q (01 = £ |
|
(0), |
(315) |
||
г— 0
V = о, 1, 2, . . . , /я = 0, 1, 2,
В частности, если предположить, что в (309) процесс ѵ (0 оп ределен согласно (300), а также считать, что в (300) функция Gt (х) от t не зависит, т. е.
Gt (x)s=G(x) |
(316) |
тождественно по t, то выражение (314) после усреднения по времени согласно (292) принимает вид
<Ро (S) = 2 J 2 J 2 J |
^ (s) ^y+gm,, ѵ+2т г PO |
|
(317) |
|
/tv (0)v!m1!m,!2'n‘+ m* |
* |
|||
ѵ=0т,=0т,=0 |
w |
1 2 |
|
|
где |
|
|
|
|
G(/‘>[Q(0J G ^[Q (^ + |
s)]Ä. |
(318) |
||
Так как Q (t) является равномерной почти периодической, а функция G (х) непрерывна на множестве значений Q (t), то, со гласно [39], функция Ц7,-,/г (s) является равномерной почти перио дической при всех целых положительных Д и /2 и при s £ (—00, с»), а следовательно, и
IИ7/./, (s)I< |
00 при s £ (— оо оо). |
|
(319) |
С учетом (315) и (299) имеем |
|
|
|
Whl,(s) = £ |
G<'‘+'>> (0) G'b+^ (0) п |
,„ч |
(320) |
2 J 2 J |
^ |
( s ) |
|
98
Введя обозначение
by? - s |
Q(v+r+2m) (0) |
(32 Г> |
m I 2m |
||
m=f |
|
|
выражение (317) с учетом (320) запишем так:
ЬѵпЬѵгч |
(s) |
(S)- |
(322) |
|
v! /у I лг I |
Лѵ (0) |
|||
|
|
V=ssO Г і г= П Г о = (
Если h (s) не является почти периодической функцией, то и В (s) не будет почти периодической. В таком случае, с учетом (305), по лучим
B(s)” S S SS |
bv n bvr2A k (Г у |
r j |
(323) |
V ! rx I гг ! |
hV (0) |
Из последнего выражения видим, что V (s) может не быть аб солютно интегрируемой, поэтому для нее в обычном смысле преоб разование Фурье может и не существовать.
При решении прикладных задач часто представляет интерес функция F (со), которая определяется как преобразование Фурье
вклассе обобщенных функций от 53 (s) и может быть представлена,
сучетом (322), в виде
е© о о |
о о |
|
|
|
Ѵ = 0 /■ ,=0 |
гг=о |
l a |
w |
< 3 2 4 > |
|
При вычислении f rir|V (со) удобно пользоваться следующими ре куррентными соотношениями:
со |
|
|
Рпп\+\ (©) = ^ Fппч ((o-Q )Fh(Q)dQ, |
V = 0 ,1 ,2 ............ |
(325) |
где
то
Fh(со) = ^ h (s) cos cosds,
Pгѵф(©) — f Rrvt (®)eimds — 2 |
Ak (^i’ ^г) ^ f® ®fe (П> |
|
|||
J |
|
fc=0 |
|
|
|
с учетом которых выражение (324) принимает вид |
|
||||
оо оо оо оо |
|
|
|
|
|
' ‘“»-S S S S ^ |
x |
^ |
1— |
|
|
ѵ = , п = 0 г 2= 0 fc = ü |
|
1 г |
|
|
|
W |
A |
(Гі, rj |
®4(П» r2)l |
(326) |
|
+ S S S |
r, |
I r , I |
[® |
||
Г1=0 г2=0 k=0 |
|
|
|
|
|
(здесь б (со — ©о) — дельта-функция).
7 |
Ш |
* |