книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме
.pdf
|
|
j(cot-SQ°) |
j’Ccot-AO0) |
j(c.jt+60®) |
|
* u , |
гое_____ -40e ___ |
5e____ _ |
|||
|
юе |
•,(Ojt-SI0 СГ |
i'cotMo") |
||
|
|
||||
|
|
|
sop |
||
|
be |
Kbit 460*) |
- |
5c,Q s^t+ I&c )+jS 6i.n(wt + <W®); |
|
|
|
||||
U *» 5 COS (cot 4 16Q« \
Результаты обоих пунктов одинаковы*-. Это легко доказать:
cos (cot г *1бй'1;*=! sin (cot* ньо° * чо0) ■*'
*= S i n ( t o t •+ 3 5 0 ® ') «* s i n (c o t - H 0 e ) .
Пример 2.31. Найти результирующий ток.
с = >., • i 2 - 1 J ,
>
Li » 20 COb(cot40°), Lj *» <0 GOb^tot + (0°);
\2 CCS, ( c o t - 1Q°) .
Вычисления производятся без объяснений:
. i ( < 0 t - чО'-t-cot 3 (Q°* - ot~ IQ5')
vK»2o-io-ae
i ( i o o t - ^O *)
- <*0 Qe
t » 4GQCDS(3cot-<tOe ),
Очевидно, результирующий ток изменяется с частотой в три раза большей частоты перемножаемых токов.
2. Возведение в степень и извлечение корня
Для возведения в степень и извлечения корня наиболее удобна показательная форма тайней комплексных чисел.
Сначала все функции преобразовывают в синусоидальные или косинусоидальны*'. Займ переходит к комплексным числам в по казательной форме и производят необходимые вычисления. Ре зультирующий мп1ож'п»ын комплекс записывают в тригонометри ческой форме и берут его вещественную пли мнимую часть
Пример 2.32. Найти результирующее напряжение
»
71
i |
Ml— • |
|
U1 V u 2 |
||
. . . |
---------, |
|
|
U3 |
|
гд<* u ( = /0 Stri. (_<yt *- 45"); |
-“ 8f <J0$(cjt - /20°) , |
|
Ы t |
Ш sift(cot-10*) . |
|
Заменим косинусоидальную функцию синусоидальной
|
ц г |
“ |
8) sin |
(u t - 30°) . |
||
Мгновенный комплекс |
результирующего |
напряжении: |
||||
|
|
|
5 |
</<, |
-2 |
|
|
|
|
и кГ UKS ' ^«5 |
“ |
||
1 |
i - V |
3- -a |
e |
|
j(b25o)t*fV7°iO^ |
|
- r u e ' |
' з е |
* |
-<o |
|
= зое |
|
Результирующее |
напряжение. |
|
|
|
||
u =3 0 Stn0,25cot H<t7°50') .
з. Дифференцирование и интегрирование во времени.
Продифференцируем шнуеоиадльное п коспнуеоилальное на пряжения:
и , |
- U ,n sin (cot* 9 ) ; |
u ^ - U m |
Cos (c ot+ 9 ) |
; |
dUi |
(oV m C O sfaU y); |
— |
coUm s m ( c o t w ) . |
|
d t |
|
|
|
|
Запишем мгновенные комплексы напряжений в показательной |
||||
форме и продифференцируем их по времени: |
|
|||
|
и и = vm е |
|
|
|
|
<Й |
|
JCOW-к |
(237) |
|
|
|
|
|
Запиин-м нротнодную от мгновенного комплекса в тригоно |
||||
метрической форме: |
|
|
|
|
- r r * |
«jWlUHiCO^cot^^+iUrti e'ut’cote 9 )1 ™ |
|
||
С{ I |
^ |
4 |
и |
|
^-(о1)т ып (wt+-4 >)*jicoUД cos(wt‘-о ) .
72
Видим, |
что вещественная |
часть |
производной oi мгновенного |
|
комплекса |
равна производной |
от |
реальной |
косинусоидальной |
функции, |
а мнимая часть — |
производной от |
реальной синусо |
|
идальной |
функции. |
|
|
|
Операция дифференцирования мгновенного комплекса соглас но выражению 2.17 заменяется простым умножением мгновенного комплекса на множитель jw.
Умножение вектора u.k па множитель jo* о.чначяе* уиедичение длины вектора в ы раз п его поворот против часовой строчки на угол Я/ 2 (рис. 2.16).
Проинтегрируем теперь но времени синусоидальмое н копни
сондальное напряжение: |
|
|
\U,n S m r4u t +v ) d t |
ccs ( u t |
* ч>} |
COS (g a t+ «,') d t -« ^ |
- Sin (w t |
V c?) |
Произведем интегрирование мгновенного комплекса синусоидаль
ного и косинусоидального |
напряжений: |
|
|
j u j A t - S lt v , e |
|
|
e nc0t + 4’' |
или окончательно |
|
|
|
K |
dt |
и к |
v i m ) |
jw |
|||
|
|
|
|
f’HC 1 Hi
Запишем интеграл от мгновенного комплекса н т|ни оно\кч |нмч-- ской форме:
\
7 i
~ |
(jj |
Sm(cOt+ M>)-i — C0S(wt + 4 ^ |
|
to |
Из полученного выражения видно, что вещественная часть интеграла от мгновенного комплекса равна интегралу от реальной косинусоидальной функции, а мнимая часть - интегралу от ре альном синусоидальной функции.
Операция интегрирования мгновенного комплекса согласно вы
ражении) |
2.18 заменяется |
простым делением •мгновенного ком |
|
плекса на |
множитель jot. |
на множитель jo означает уменьшение |
|
Деление вектора |
и к |
||
длины вектора в о» |
раз и его поворот по часовой стрелке на угол |
||
Л/? (рис.2. Hi). |
|
|
|
Операции дифференцирования и интегрирования широко при меняютсяпри анализе электрических цепей.
2.8. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Каждый элемент электрической цепи представляет для элек трического тока определенное сопротивление.
Из закона Ома (см. § 1.3) следует, что с увеличением актив ного сопротивления уменьшается величина постоянного тока или амплитуда гармонического тока.
Сопротивление индуктивности переменному току объясняется появлением э.д.с. самоиндукции, препятствующей изменению тока.
Сопротивление емкости объясняется зарядом конденсатора и появлением на его пластинах разности потенциалов.
Сопротивления, оказываемые току реактивными элементами индуктивностью и емкостью, называют реактивными сопротивле ния ми.
В общем случае любое устройство реальной электрической пе ни обладает как активным, так и реактивным сопротивлением.
Полное сопротивление устройства или всей цепи обозначают
буквой Z. а полную проводимость |
- буквой V, Сопротивление |
|
измеряют в омах, |
а проводимость в сименсах: |
|
|
2 = -4" ■ |
(2.19) |
На рис 2.17,а |
показана схема |
идеализированной электриче |
ской цени, содержащей генератор э.д.с. и несколько элементов. Схему можно '.простить (рис. 2.17,6), заменив параллельное сое динение элемснюц г| и С| их полным сопротивлением участка це
ни Z,,элементы iv |
и |
I. |
полным сопротивлением участка |
цепи |
|
7.г, элементы г.! и |
с2 |
- |
полным сопротивлением участка Ъ%. Если |
||
сопротивления Z? |
н Z( заменить полным сопротивлением участка |
||||
7 : . то схема еще |
больше упростится |
(рис. 2.17.в). На рис. |
2.17,г |
||
вся внешняя ш пь |
заменена полным |
сопротивлением пени |
Z. |
||
7-1
Рассмотренные схемы справедливы для реальных эчектричс ских Э .Д .С ., токов и напряжений
Реальные полные сопротивления Z можно заменить комплекс ными сопротивлениями, обозначаемыми буквой г без точки. В этом случае все з.д.с., токи и напряжения следует заменить комплекс
ными значениями (рис 2.17.Д, е).
Комплексным сопротивлением цепи называют величину, равную отношению комплексного мгновенного, амплитудного пли дейст вующего значения напряжении ни зажимах цепи к соответству ющему значению тока н чтои пени:
2 « |
- Л'"1 « -iL. . |
{2.20) |
|
1 |
|
Величина, обращая комплексному . опротпплеипю, мя.шнлетг л комплексной проводимостью н обозначается Г»х ь.iior'i Y бе t точки'
V |
*"h. Тт Т |
С2.21) |
Комплексные сопротивления и проводимости измеряются в тех же единицах, что и обычные сопротивление и проводимость —в
омах и сименсах. |
Следует заметить, |
что реального |
смысла |
они |
не имеют. |
|
|
|
|
В схемах рис. 2.17 сопротивления можно заменить проводимо |
||||
стями. используя соотношения 1.19 и 2.21. |
|
|
||
Выражения 2.20 |
и 2.21 представляют собой закон Ома в комп |
|||
лексной форме для |
участка цепи иди |
для полной |
цепи, |
если |
и- е
Кс к. •
Вобщем случае в цепи с активными и реактивными сопротив лениями ток и напряжение отличаются но фазе.
Допустим, при напряжении на зажимах цепи
и >=>Utti Ы-h. (cot +
ток в цепи равен
1*= 1щ S'iTi(oot+ |
. |
Найдем комплексные сопротивление н проводимость цепи:
u.k |
|
j(cot*sV) |
|
|
|
|
u K e |
|
hn |
|
|
|
|
ftbrt |
|
■m. c |
> |
_ Inv |
|
-K4>u-4>t ) |
|
|
|
откуда модуль комплексного сопротивления |
|
||||
|
L |
I'm |
I |
7 |
(.2.22) |
|
|
||||
аргумент комплексного |
сопротивления |
|
(.2.23) |
||
|
Ч ~ |
|
* |
||
|
|
|
|||
Модуль комплексного сопротивления цепи равен полному ре альному сопротивлению этой цепи.
Аргумент комплексного сопротивления цепи (см. § 2.1) пред ставляет собой фазовый сдвиг между напряжением и током.. Если напряжение опережает ток по фазе на угол ф, то ф>0. Если на пряжение отстает от тока по фазе на угол ф, то ф<0.
Комплексные сопротивление и проводимость в показательной, тригонометрической и алгебраической формах имеют следующие
выражения: |
|
|
|
Z ” |
2 eJ<*== 1 cos ц + j z sine?• 2 + |
, |
(.2.24) |
где |
г - ч *хг |
|
(2.25) |
7«
(.2 26)
На основании соотношения 2.21 легко получить:
U 27)
где
(.2.28)
(.2.29)
' <3
Вещественную часть комплексного сопротивления г называют активным сопротивлением, а мнимую часть X — реактивным со противлением.
Вещественную часть комплексной проводимости g (или G) называют активной проводимостью, а мнимую часть b — реак тивной проводимостью. Модуль комплексной проводимости цепи равен полной реальной проводимости этой цепи.
В§ 1.3 было показано, что закон Ома для мгновенных значе ний реальных токов п .напряжений не справедлив, если цепь со держит реактивный элемент — емкость или индуктивность.
Закон Ома справедлив для мгновенных значении токов и на пряжений, если цепь содержит только активные сопротивления.
Вдальнейшем будет показано, что для цепей с реактивными элементами закон Ома справедлив только для амплитудных п дей ствующих значений реальных токов и напряжений.
Законы Кирхгофа справедливы только для мгновенных значе ний реальных токов и напряжений, если цель содержит реактив ные элементы. Для цепей, содержащих только активные сопротив ления, законы Кирхгофа справедливы для всех значений реаль ных токов и напряжений: мгновенных, амплитудных н действую щих.
В комплексной форме законы Ома и Кирхгофа для любой це пи справедливы для всех комплексных значений токов и напря жений: мгновенных, амплитудных н действующих. В этом прояв
ляется еще |
одно достоинство применения комплексного метода |
для анализа |
электрических цепей. |
Законы Кирхгофа в комплексной форме записываются |
н чи |
|
таются аналогично законам |
реальных э я с , напряжений и |
токоа |
(см. § 1.4). |
в комплексном форме для узла цепи |
|
Первый закон Кирхгофа |
||
77
Z i Is - о ; Z I пя» 0 i s i - 0 . чло)
Алгебраическая сумма комплексных токов в любом узле цепи равна нулю.
Второй закон Кирхгофа для контура цепи:
S e K- E u K , X E - X U .
В любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных э.д.с. равна алгебраической сумме комплексных на пряжений.
В качестве примера напишем законы Ома и второй закон Кирхгофа в комплексной форме для схем рис. 2.17д,е.
Закон Ома для участка цепи:
. |
ifirn |
|
VW . |
t |
AJ, |
|
|
1 |
“ |
Z a ’ |
|
Z, |
|
Закон Ома ДЛЯ полной цепи: |
|
|
|
|
||
•L = е« . |
е* |
хт. |
£щ ■ т |
Ё . |
||
* Z |
» |
z |
’ |
1 ^ |
Z |
|
Второй закон |
Кирхгофа: |
|
|
|
|
|
е к " ^ м + и кг “ и к ' |
|
|
|
|
’ |
|
§2.9. АКТИВНАЯ. РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ
ВЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Рассмотрим простейшую электрическую цепь (рис. 2.17,г), со держащую генератор гармонической э.д.с. и внешнюю цепь с пол ным сопротивлением Z.
Допустим,
е - Е nt s m (cot + |
. |
Источник, обладающим электрической энергией, создает в замкнутой электрической цепи ток i и падение напряжения на ее зажимах и.
Допустим,
L-- 1|Ч |
( u t +Ц’ы') , |
7»
В 'рассматриваемом случае согласно второму закону Кирхгофа
е - a -, E y n - V|ri; ч>е - сра .
Источник расходует энергию на создание тока в цепи, а цепь по требляет энергию источника.
Скорость изменения энергии источника (цепи) называется мгновенной мощностью, развиваемой источником (потребляемой цепью) н равна согласно 1.3.
Р |
rtW |
U i • |
|
d t |
|||
|
|
Под полной мощностью, потребляемой целью, понимают вели чину, равную произведению действующих значений напряжения на зажимах цепи и тока в этой цепи:
Pn - U I •
Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ва).
Под активной мощностью цепи Р понимают среднее значение мгновенной мощности за период. Согласно выражению 1.5
т |
т |
р- |
4>0dt * |
о |
о |
Так как |
|
4ln d S in ji i [ w ^ d - J > ) - C 0 b ( d ^ ) ] , |
|
TO |
|
1 о |
0 |
Второй интеграл, как интеграл от гармонической функции за пе риод, равен нулю.
Р - ^ |
ч \ ) <*t - н г |
Ч - и I э |
. |
в |
|
|
|
Множитель cosq> называют коэффициентом мощности. |
цепыо, |
||
Таким образом, |
активная мощность, |
потребляемая |
|
равна произведению действующих значений напряжения, гока и коэффициента :
79
? — U I cos су =* Рп cos ^ . |
|
|
< Я 35) |
|||
Активная мощность измеряется |
в ваттах, |
а |
также |
в дольных |
||
и кратных единицах: микроваттах, .милливаттах, |
киловаттах и т. д.: |
|||||
1 st “ Ю |
6 |
мк.бт = |
Ь |
- 5 |
кбт . |
|
|
Ю мет ** нО |
|
||||
При фазовом сдвиге <|j, |
стремящемся к нулю, cos<p |
стремится |
||||
к единице, а активная мощность к своему максимальному значе нию, равному полной мощности.
Фазовый сдвиг между напряжением и током равен нулю толь ко в цепи с одними активными сопротивлениями. Поэтому актив ная мощность характеризует потери энергии только в активных сопротивлениях. Следует заметить, что активная мощность всегда
имеет положительный знак.
Под реактивной мощностью понимают максимальную скорость изменения энергии, запасаемой в реактивных элементах.
Реактивная мощность, потребляемая цепью, равна произведе нию действующих значений напряжения, тока и синуса угла сдви га фаз:
Px = UISi.*i<f - • С2.34)
В отличие от активной мощности реактивная мощность изме ряется в вольт-амперах реактивных (вар).
Выражение 2.34 можно объяснить следующим образом.
Если |
цепь содержит только |
активные сопротивления, то |
<р = 0 и |
реактивная мощность равна |
нулю. В цепях с чисто реак |
тивными элементами угол сдвига фаз достигает своего максималь ного значения /а . При этом реактивная мощность достигает своего максимального значения, равного полной мощности. Сле дует заметить, что реактивная мощность может иметь положитель
ный и отрицательный знак.
Произведем сложение квадрате® активной и реактивной мощ ностей:
оа+ Р х- ( и IC 0S4)2+ Си 1 Ч ) г ~ { \ п ) й = Рп •
Таким образом, полная мощность равна |
геометрической сум |
ме активной п реактивной мощностей |
|
р „ - у [ р * ^ ? Г - |
i“ 5> |
В энергетических системах важно, чтобы вся энергия, выраба тываемая электростанциями, полностью потреблялась промыш ленными электроустановками. Это возможно, если коэффициент мощности будет равен единице. Поэтому повышение коэффициен та мощности потребителей электрической энергии представляет наж in ю техи и ко-экономическую задачу.
но