книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме

Токи в ветвях можно определить, используя выражения для делителя тока (ф. 5.2). Однако в данном случае удобнее восполь­ зоваться законом Ома для участка цепи:

Подставляя в полученные формулы значения параметров це­ пи, можно найти:

В правильности расчета можно убедиться путем проверки вы­ полнения первого и второго законов Кирхгофа.

Пример 5.2. Определить напряжения и токи в схеме рис. 5.4,а, если известны параметры цепи: 1р =60 ма; п = 6 ом; r2= 1 ом;

Га*=3 ом; г<=4 ом; г6 = 2 ом.

Р еш ен и е

Считая известным положительное направление задающего то­ ка генератора тока, укажем стрелками положительные направле­ ния токов и напряжений. Преобразуем исходную схему (рис

|'ие. 5.4.

5.4,6) и найдем эквивалентное сопротивление участка исходной схемы с сопротивлениями г3, г4, Гб:

•3 4 5

* Ъ ' + Ч + ^5

J J I

Используя соотношения для делителя тока (ф. 5.2}, найдем токи в ветвях исходной схемы:

Напряжения на элементах схемы можно опрещелнть, исполь­ зуя соотношения для делителя напряжения (ф. 5.П. Однако в данном случае удобнее воспользоваться законом Ома для участ­ ка цепи:

Подставляя в полученные формулы значения параметров це­ пи, можно найти:

В правильности расчетов можно убедиться путем проверки вы­ полнения первого и второго законов Кирхгофа:

Пример 5.3. Определить напряжения и токи в схеме рис. 5.5.а, если известно:

е—Mlscnojt; г= 200 Ом;

для частоты <о реактивные сопротивления равны Х ,,*хс ~200 Ом.

Р е ш е н и е

Произвольно выберем условноположительное направление э.д.с, В соответствии с ним укажем на схеме условноположитель ные .направления токов и напряжений. Решение проведем в коми лексной Форме для амплитудных значении

Комплексная амплитуда *.д.с.

Ё = E m e j0 = < u . Щ, Ml

Комплексное сопротивление участка цепи с активным сопро­ тивлением и емкостью (рис. 5.5,6)

Рис. 5.5.

Используя соотношения для делителя напряжения, найдем комплексные амплитуды напряжений на элементах схемы:

Комплексные амплитуды токов определим по закону Ома для

203

От комплексных амплитуд легко перейти к мгновенным эначе ниям:

и и = 2 0 0 sLn(<oi + 4 5 °) ;

u.c - ih< sin (cot - 90°);

ll t = Hi slh. (cot- go0) ;

i- Sin (cot -45 e) j

Ц■=■0,705 sire (cot - 90°);

0,705 Sin to t .

Проверим правильность расчета но выполнению законов Кирх гофа в комплексной форме:

Пример 5.4. Определить напряжения и токи в схеме рис. 5.5,а, если известно: е= 100coso>t; г= 200 0м; для частоты <о реакгппные сопротивления равны хь *t Хс =200 0м.

Р еш ен и е

Определим комплексное сопротивление участка цери, содер­ жащего параллельное соединение емкости и индуктивности (см.

рис. 5.0,6):

304

Очевидно, общий ток в цепи равей нули»

Напряжение на активном сопротивлении также равно нулю

U шг —-г! m * 200-0 = 0 .

Согласно второму закону Кирхгофа

"Щ '■ 'W U m •

откуда

U m - 100

Комплексные амплитуды токов в индуктивности и емкости оп­ ределим по закону Ома для участка цени:

Рис. 5.6.

Мгновенные значения токов н напряжении:

i - 0 ; u.2 " 0 ; и - юо cos o t ;

0,5 cosfcot v go0); i b~ 0,5 cos (cot - go0).

Читателю предлагается самостоятельно объяснить физические процессы в схеме.

§ 5.2. ГРАФ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Ранее были рассмотрены методы анализа простейших и сме­ шанных цепей, основанные на использовании законов Ома, Кирх­ гофа и применении преобразования схем. Под анализом цепи по­ нимают определение электрических величин (напряжений и то­ ков) при заданной схеме и параметрах электрической цепи. Слож­ ную схему нельзя привести к одноконтурной или к схеме с двумя узлами. Поэтому для анализа сложных ценен применяют более общие методы, основанные на составлении ц решении системы уравнений с неизвестными токами в ветвях или напряжениями

между узлами. К таким методам относятся методы уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых напряжений и другие.

6

Допустим, в схеме рис. $-7,а известными являются э.д.с. и па­

жество контуров. Очевидно, число неизвестных токов равно числу ветвей. Для определения неизвестных токов необходимо соста­ вить и решить систему из девяти уравнений с девятью неизвест­ ными токами.

Для составления уравнений можно использовать законы Кирх­ гофа. По первому закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов содержится в схеме. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно числу контуров. Количество уравнений, которое можно составить тю законам Кирхгофа, зна­ чительно превышает необходимое количество. Это объясняется тем, что уравнения зависимые.

Например, число уравнений по первому закону Кирхгофа рав­

206

но шести. Но каждая ветвь связывает два узла. Поэтому ток каждой ветви будет дважды с разными знаками входить в урав­ нения, записанные по первому закону Кирхгофа. Известно, что решение системы зависимых уравнений дает тождество вида 0=0. Поэтому необходимо использовать только независимые уравнения.

Число независимых уравнений, составленных по первому зако­ ну Кирхгофа, меньше числа узлов на единицу и равно N^=1 •

Узлы, для которых можно записать независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, называют независимыми узлами.

В рассматриваемой схеме в качестве независимых узлов мож­ но выбрать любые пять узлов из шести.

Число независимых уравнений, составленных по второму за­ кону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. В рассматри­ ваемой схеме число независимых контуров равно четырем.

Для расчета сложной цепи необходимо знать число независи­ мых уравнений. Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа узнать легко. Определение числа независимых уравне­ ний по второму закону Кирхгофа тем труднее, чем сложнее схе­

ма.

С целью облегчения определения числа независимых уравне­ ний введено понятие о графе и дереве графа цепи.

Графом электрической цепи называют графическое изображе­ ние совокупности узлов и ветвей без изображения самих элемен­ тов.

На рис. 5.7,6 показан граф цепи, в котором все ветви изобра­ жены сплошными линиями. Граф содержит информацию о всех

Рис. 5.8.

Для одного и того же графа можно составить разные деревья. На рис. 5.8 показаны некоторые деревья графа рассматриваемой

207

уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу дополнитель­ ных ветвей, а по второму закону Кирхгофа — числу главных вет­ вей. Общее число независимых уравнений равно числу ветвей.

2) Поочередно к дереву графа добавляются главные ветви. Любой контур, образованный добавлением главной ветви, явля­ ется независимым, так как он отличается от предыдущих конту­ ров новой ветвью

§ 5.3. МЕТОД УРАВНЕНИИ КИРХГОФА

Метод уравнении Кирхгофа является классическим методом анализа сложных электрических цепей постоянного и переменно­ го токов. Сущность метода заключается в составлении и решении системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Недостатком метода является то* что при большом числе вет­ вей и узлов в цепи решение системы уравнений получается гро­ моздким и трудоемким.

1.Последовательность расчета цепи

Рассмотрим последовательность расчета цепи, представленной на рис. 5.9.а, считая известными э.д.с. и сопротивления непи.

1)построить дерево графа цени, сам граф (рис. 5.9,6) и опр

делить: ___

—число ветвей N& =5;

—число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа,

равное числу дополнительных ветвей

— число независимых уравнений по второму закону Кирхго­ фа, равное числу главных ветвей

Nrb = ~ Н ал = 5 -2 ~ ^ •

2) Выбрать независимые узлы, например 1 и 2.

208

4)Произвольно выбрать направления обхода каждого конту­ ра, например, по часовой стрелке. Указать стрелками направление обхода внутри каждого контура.

5)Указать произвольно условноположительные направления «еизвесгных токов в ветвях.

6)Составить систему уравнений по первому и второму законам

Кирхгофа.

**ис. 5.9.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа ус­ ловимся брать токи со знаком «плюс», если они входят в узлы 1 и 2, и со знаком «минус», если они выходят из углов.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа бу дем брать со знаком «плюс» э.д.с. и токи, направления которых совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «минус», если их направления противоположны направлению обхода кон­ тура:

7)Решить систему уравнений относительно неизвестных токов.

8)Используя закон Ома для участка цепи, вычислить напря­

жения на элементах цепи.

У) Правильность расчета проверить по выполнению первого и второго законов Кирхгофа или по выполнению баланса мощнос­

тей./

20Э

Пример 5.5. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.9,а,

“6 1 г - Н 0 1 ъ - б 1 5 - 0

-Ы ь + Ч 1 5 - - 120 .

Первое уравнение умножим на 3, второе на 2 и сложим их по­ членно

210