книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме
.pdf§2.6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ
Врезультате сложения или вычитания гармонических колеба ний с одинаковыми частотами со всегда получается гармоническое колебание с той же частотой со. Получить гармоническую функ цию путем тригонометрических .преобразований складываемых или вычитаемых гармонических функций очень трудно. Поэтому сло жение и вычитание гармонических функций с одинаковыми часто тами производят графически с помощью временных диаграмм и векторных диаграмм на обычной или комплексной плоскости, а также аналитически комплексным методом.
Врезультате сложения или вычитания гармонических функ ций с разными частотами полу.чается негармоническая функция. Поэтому их складывают графически на временных диаграммах
или аналитически путем тригонометрических преобразований.
1. Сложение и вычитание на временных диаграммах
Для сложения и вычитания нескольких функций строят их временные диаграммы на одном графике. Затем строят времен ную диаграмму результирующей функции, путем алгебраического сложения ординат всех функций.
Допустим, необходимо сложить два |
гармонических |
напряже |
|
ния с одинаковыми частотами: |
|
|
|
a < - 4 » u * in (M t+4 0 , |
|
|
|
На рис. 2.11 произведено сложение для случая |
|
||
Uпи ■и,ът |
st |
jt |
|
ь |
5 |
|
|
Рекомендуется следующий |
порядок |
построения |
временных |
диаграмм: |
|
|
|
—произвольно выбирают масштаб складываемых функций (например, 2 в = 1 см);
—на оси абсцисс произвольно выбирают размер периода в
радианах и делят его на четное число частей; |
и Ч>£ ; |
— отмечают начальные фазы складываемых функций |
|
— для дискретных значений cot вычисляют ординаты |
(мгновен |
ные значения) складываемых функций и наносят их в виде то чек на график;
—точки на графике соединяют кривой линией, характерной для гармонической функции;
—результирующую функцию строят аналогично путем алге браического сложения ординат складываемых функций.
о;
Ц iU,;U-U,*Ug
Рис. 2.11.
62
Для рассматриваемого примера суммарное напряжение равно:
U - Uf+ s'm (cot + ф)*= «,5 sin (wt + -£•)
Рис. 2.12 иллюстрирует вычитание двух напряжений:
и - и.,- и г - 6 Sin(4O t + |-)-& «,iH .(w t-y-) .
Разностное |
напряжение равно: |
К ,- |
sin (cot- ч>) - i,2Sm (tot - ^г) • |
Оно получено путем вычитания ординат функции 112 от соответ ствующих ординат функции щ.
Рассмотренный метод сложения и вычитания функций эффек тивен своей наглядностью. Однако он весьма трудоемкий и, как любой графический метод, не может дать высокой точности.
На рис. 2.13 показано сложение двух гармонических токов с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, частоты кото рых отличаются в два раза:
5,'tn Scot
В результате тригонометрических преобразований можно полу чить:
I £ Im cos |
Scot COS |
u t |
|
|
~ r |
Полученное выражение указывает на сложную форму резуль тирующего тока. Рис. 2.13 позволяет наглядно представить фор му этого негармонического тока.
При построении временных |
диаграмм период тока I < принят |
равным у . i * . а период тока |
! , |
1 со |
г |
|
JL |
|
со |
2. Сложение и вычитание на векторных диаграммах
Для сложения нескольких гармонических функций с одинако выми частотами на одном графике строят их векторные диаграм мы. Путем геометрического сложения векторов находят резуль тирующий вектор. Зная длину, начальную фазу и угловую ско рость результирующего вектора, записывают выражение резуль тирующей гармонической функции в тригонометрической форме.
Рассмотрим сложение двух напряжений:
u - u ,+ и г - i v , s 'i « . И * ч |
> |
, |
( . ^ + va) |
|
при условии |
Utn, = Uiri.2 = 5i6 , |
<^ —50°, |
фг = Ь0. |
|
Складываемые гармонические функции щ и и2 заменяем вектора
ми \j»nt ,Un,j |
■ Строим |
векторные диаграммы на одном графике |
||
для |
момента |
времени |
t= 0 (рис. 2.14,а). Геометрическим сложе |
|
нием |
вектором строим |
результирующий вектор |
Из векторной |
|
диаграммы видно, что при вращении векторов с одинаковой уг ловой скоростью против часовой стрелки, результирующий вектор будет вращаться с той же скоростью. Взаимное расположение векторов при этом изменяться не будет.
Длину и начальную фазу результирующего вектора можно оп
ределить на графике или аналитически, используя известную тео рему косинусов:
►U■=.Л'Ч1^( + < г ^ и т ^ ь г г М*<Р
где
VI гт\, Si.n Ч\ T-\Jtnг SiflH’j»
cos 4V "Urn2cos 9а
Мгновенное значение результирующего гармонического напря жения можно записать в виде синусоидальной или косинусоидаль ной функции.
Мгновенное значение синусоидального напряжения равно про екции вращающегося вектора на вертикальную ось, если началь ный угол отсчитывается от горизонтальной оси:
Ц —U m si. п. + ф ) .
Мгновенное значение косинусоидального результирующего на пряжения равно проекции вращающегося вектора на вертикаль ную ось, если начальный угол отсчитывается от вертикальной оси:
u. “ VJrn Cos ( o i + ф - 90 ) •
Для рассматриваемого примера суммарное напряжение равно:
а *=■u., + u a = и ,5 sin (cat + 45 ) ,
или
и « н ,5 cos(4et. •*- Ч5 9 0 c o s ( o jt - Т5") .
64
Рис. 2.14,6 иллюстрирует вычитание гармонических напряже ний:
и » u , - Ua~ U.-U,i i n (b i t <- <£,) -У m гSinUot *- } • |
|
|
Геометрическое вычитание вектора Vm£ на |
вектора |
заме |
няют геометрическим сложением вектора VJm, |
с вектором |
\3гпг . |
взятым с противоположным знаком. Для случая LVx^'Um.j” fe 6 , V,-30°, ч\ получаются следующие результаты:-
Um**3.2e, ц>' =- 45° ; и - 3,2 s'ih. (ojt - ^5*) ,
ИЛИ
и - з.а cos^cot - 135°) .
Метод сложения и вычитания гармонических функций с по мощью векторных диаграмм обладает достаточной наглядностью. Трудоемкость метода возрастает при увеличении числа векторов. Как и любой графический метод, метод векторных диаграмм не может дать высокой точности.
3. Сложение и вычитание комплексным1методом
Комплексный метод позволяет производить сложение и вычи тание гармонических функций графически и аналитически.
Амплитудные или действующие значения реальных гармониче ских функций заменяют комплексными амплитудными или дей ствующими значениями. Графическое сложение н вычитание про изводят с векторами на комплексной плоскости. Графический ме-_ тод обладает такой же наглядностью п точностью, ка- и метод обычных векторных диаграмм.
Аналитическое сложение н вычитание производят в алгебраи ческой форме записи комплексных чисел. Результирующее ком плексное число переводят в показательную или тригонометриче скую форму записи, от которой переходят к мгновенному значе нию реальной результирующей функции.
Рассмотрим |
прежний пример сложения двух напряжений |
||
U “ |
Um, sin (Wt + V, ) + XW-, Sin(<ot + S\) , |
||
где |
|
|
|
Ur. |
Lj |
; |
ч\ ~'SoD, <*> =feo |
|
- - |
м |
|
Заменим амплитуды реальных напряжений комплексными ампли тудами:
Uш, ^ Т*Г\ - ^ |
;J0 |
;бо |
fee |
* fee |
На рис. 2.15 построена векторная диаграмма на комплексной плоскости и произведено сложение векторов. Внешний вид диа граммы аналогичен виду обычной векторной диаграммы (см. рис.
1.14,а). Поэтому все построения также аналогичны. Путем геоме трического сложения векторов или применением теоремы косину сов находим результирующую комплексную амплитуду:
Um. - Um e JV= U ,5 eii,s\
Мгновенный комплекс результирующего напряжения в показа тельной и тригонометрической формах записи:
u K-S,e |
- |
+ |
. |
Мгновенное значение реального результирующего напряжения равно вещественной части, если складываемые функции косину соидальные, или мнимой части — если складываемые функции — синусоидальные.
В нашем случае
и « |
) . |
Обычно при переходе от комплексной амплитуды к мгновен ному значению реальной функции очевидный переход к мгновен ному комплексу и от него к мгновенному значению производят для краткости записей мысленно. По этой причине комплексный метод получил название метода комплексных амплитуд. Следует заметить, что перед применением комплексного метода необхо димо складываемые (вычитаемые) функции превратить в синусо идальные или косинусоидальные.
Произведем теперь сложение напряжений щ и и2 комплексным методом аналитически. Для этого комплексные аМплиууды за пишем в алгебраической форме:
Vlm ,ecs |
Vin - 5,i&+jз ; |
(>n
Um2 ” Ут.£ COS S |
Ц>2 *= 1^ j 5.<b .. |
Найдем результирующую комплексную амплитуду:
"™&И6 ^ j 8Л6 .
Определим модуль и аргумент результирующей комплексной амплитуды:
ои®
Можно мысленно представить мгновенный комплекс в показа тельной или тригонометрической форме
U к и,5 еKcot^S’ )
а к -И,5 COS (iot + j H,5s'in(cot + i*5*) ■
Так как складываемые напряжения синусоидальные, то мгно венное значение реального результирующего напряжения равно мнимой части мгновенного комплекса:
и. —И,5 sin. (cot 1*5* ) .
Пример 2.28. Произвести вычитание гармонических напряжений:
U - 6 sin (cot + io“) - 6 Sin (cot + 60 *) .
Запишем в алгебраической форме комплексные амплитуды на пряжений:
Найдем комплексную амплитуду результирующего напряжения:
Urtt-Snb + ii-s-jS n s —a .is-ja.K .
Определим модуль и аргумент результирующей комплексной ам плитуды:
U m = ^ М бг+2,^ г 1■= 3,2 , Ч> - a t c t o“ 2 ,1 & |
- Ц59 . |
Так как все напряжения синусоидальные, то мгновенное зна чение реального результирующего напряжения также синусо идальное
-а - 8,2 Sin (cot -45») .
Пример 2.29. Произвести аргеорпическое сложение трех гармо
нических ТОКОВ L- 1( + |
где i = |
, |
|
|
в? |
1г = 5соз(со1 + dO*), i- j ” 4 s in ( o t - to*) .
Сначала необходимо все функции привести к одной форме — синусоидальной или косинусоидальной. Затем перейти к комплекс ным амплитудным значениям и произвести их алгебраическое сложение. Рассмотрим оба варианта одновременно.
Реальные значения токов:
i, “ 4;5 sin (cot -+45° ) j |
|
I, — 4,5 cos.(cot *45°- qo*) — |
||
ia —5si n (cot +S0Oj>90*) |
> |
- |
4.5 c o s (w t- 45*) , |
|
“* 5 sin |
(cot + HO* ) , |
|
i£ ■» |
S COS (cot + 20* ) ; |
i j —4 sin |
(cot - to* ) . |
|
i-5 » 4 cos (cot-(0*-50*) «= |
|
|
|
|
—4 cos(<ot- <oo°) . |
|
Запишем комплексные амплитуды в показательной форме и опре делим квадранты векторов:
Im , “ 4,5 е |
|
1 ^ - 4 ,5 |
е 'Н5' |
|||
первый |
квадрант, |
|
четвертый |
квадрант, |
||
• |
_ |
.1н0* |
|
. т . . |
5е |
|
1 «пj "* 5е |
|
|
|
|||
второй |
квадрант, |
|
первый |
квадрант, |
||
Х в с ,- |
|
|
|
1вг5- 4 е |
■J юо |
|
|
|
|
|
|||
четвертый |
квадрант. |
|
третий |
квадрант. |
||
Запишем |
комплексные амплитуды |
в алгебраической форме |
||||
|
|
|
|
5.T6 - |
|
|
|
|
j4.7 |
|
+ !<,?< |
|
|
1 т ь ~ |
5,94 -j 0,656 |
I |
0 ,696 - j 5,94 . |
|||
Произведем алгебраическое сложение комплексных амплитуд.
^ v<ь |
- п» д, |
- . |
- |
- а ,47 4 } 6.56 |
S.5& -v ;(а,47 |
Определим аргумент |
и модуль |
результирующей комолем ной |
|
амплитуды |
|
|
|
l m " %,91 , ф « |
А' |
lm |
, с^> с-, (о 4‘ |
Запишем мгновенный комплекс результирующего тока н пока
дательной и тригонометрической |
формах |
i„. -8 ,9 1 еK ut + m V ) |
= 8,91 euwt *щ*ч‘у “ |
~ а, 91 CQs(ut-40%V) + |
*= 8,91 cost w t‘ ibV ) 4' |
4 j 8,9t sm(ci>i+ Юб*ч') |
+ j 8,91 svn (u t ♦ f&V) |
При переходе к мпюпенному значению реального результиру ющего тока следует взять в первом случае мнимую часть мгновен ного комплекса, а во втором случае вещественную часть
Находим мгновенное значение результирующего тока
1“ 8,91 |
cot Aio^'v) . |
i. - 8,91 tas(wt H6%') . |
Следует заметить, что оба значения одинаковые Это легко доказать:
sin, (cot + 1Q&V) - CQS(ot*lO$V- 90*)=»C0S(cot + 1&V\
или
CQ%(wt + 18*4') “ sln.'(6it+ 1SV+ 90*)= 5'ni (yot-nOsV) .
§2.7. УМНОЖЕНИЕ. ДЕЛЕНИЕ, ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ, ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ИИНТЕГРИРОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
I. Умножение и деление
Умножение и деление гармонических функций удобнее произ водить комплексным методом в показательной форме записи.
Пример .2.30, Найти результирующее напряжение:
|
|
|
LLj■И2 ' |
5 |
|
|
|
а ш --------------- > |
|
||
|
|
|
а ц- а 5 |
|
|
где |
u , = |
a o sia y c o t-* 30*) ; |
и г — АО co%(cot-чо*у |
, |
|
|
и , - |
5 :os '« I - |
60е Ч ■ |
и.,= щ S4i(.wt-i?o*y . |
по |
|
5 |
- |
* ’ |
4 |
|
U s %Q sin ( u t + 100*) .
Сначала следует привести все напряжения к одному виду гар монической функции — синусоидальной или косинусоидальной. Затем заменить все функции мгновенными комплексами и произ вести умножение и деление. Результирующий мгновенный ком плекс записывают в тригонометрической форме. Мгновенное ре зультирующее напряжение равно вещественной части мгновенного комплекса, если все напряжении косинусоидальные, или мнимой части, если все напряжения синусоидальные,
Рассмотрим оба |
варианта. |
в виде сш^соидальных функций: |
||
а) Все Напряжения запишем |
||||
U , - 2 0 S i П ( c o t + |
SO®) , 11г ” |
4 3 |
М П |
) , |
U j—5sin. |
150°); |
( 0 |
Siu u l - |
); |
u 5 ■» 80 sin (.cat +■too*)
Перейдем к мгновенным комплексам в показательной Форме и произведем умножение и деление:
2oeiCut+3° Ч о е ^ * 50 ' 5eicuttl5a,)
j(sdt-|20°) 3(cot+300*)
|
/ое v |
SOe |
5e |
j(Cot + 250°) |
i(wt-M0*) |
■" S e |
|
Переходим к тригонометрической форме записи
и л* 5 с а * Ы ^ “ио°) + jSs'm U otuo°) .
Мгновенное значение результирующего напряжения:
I* “ Ssin (cot - но”) '
о) Все напряжения запишем п виде kochi.усоидальных функций:
2QCQS(4w -t-^Oe )-, |
U-2 |
^0 |
Ц0°); |
<-ц =* Scqs (rot ■*so* ) |
а ц“ |
m cos (cot.-гю * ); * |
|
Ц,g <+’ 40 CTs (w t + 10* ) . |
|
|
|
Далее» ге л упае) диалогично пункту a y
70