книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме
.pdfПоказательная форма записи комплексного числа
Показательная форма записи комплексных чисел наиболее удобна для умножения, деления, дифференцирования | и интегри
рования этих чисел.
Показательная форма записи получается из выражении триго нометрической формы записи (см. выражения 2.14) путем приме нения формулы Эйлера:
COS d. ± 3 sin dl — e ±J^ ,
где е^2,72 — основание натурального логарифма.
Выражения комплексных действующего, амплитудного и мгно
венного значений |
тока имеют вид: |
|
|
|
I |
|
«г |
■пг |
С2-<5) |
|
|
|
i u t |
|
1к |
х т. с |
|
-tn е |
|
Множитель |
или |
называется оператором |
вращения. В |
|
|
|
|
|
к i Cot Vi |
общем случае умножение числа Хщ на множитель б |
||||
означает поворот |
вектора |
длиной |
1 ^ относительно |
вещественной |
оси на угол cot + v против часовой стрелки, если показатель сте |
||||
пени положительный, и по часовой стрелке, если показатель сте
пени отрицательный.
Следует иметь в виду известные из курса математики соотно
шения: |
±\z% |
t j « |
jo |
||
е ■ е |
- 1 ; е |
- |
Пример 2.11. Записать в показательной форме комплексные амплитудное, действующее и мгновенное значения синусоидального тока
i - 50 sin ( o t - НО0) •
Используя выражения 2.15, найдем
i' - 50 |
t - ОЛ0? 1 - 35Л е*3 |
i K-50 е Нш4' и0,).
Пример 2.12. Записать в показательной форме комплексные амплитудное, действующее и мгновенное значения косинусоидаль ного тока.
Ы
i — 50 COS (co t - 1iO° ) .
Ответ аналогичен ответу примера 2.11.
Пример 2.13. Найти мгновенное значение напряжения по из вестному комплексному действующему значению
Комплексная амплитуда:
\Im- >Г2 \I - 1ЛШ - 14Д e
Мгновенный комплекс напряжения
. j(cot-60е)
а к - Й , 1 e
Мгновенный комплекс в тригонометрической форме
Uk —14,1 tQS(ut-6Q*)+jl4,l Sill (tot60е) .
Мгновенному комплексу соответствует синусоидальное напря жение
а - \ k , \ s m (c o t- 60е) ,
или косинусоидальное напряжение
а - 14,i COS (cot-60° ) .
$ 2.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕИКИ
При использовании комплексного метода для расчета электри ческих цепей приходится производить операции сложения, вычи тания, умножения и деления над комплексными числами. В ко нечном итоге необходимо осуществлять переход от комплексных выражений к реальным гармоническим функциям. В § 2.4 было показано, что такой переход легко осуществляется, если комплекс ные числа записаны в тригонометрической или показательной форме.
Сложение и вычитание комплексных чисел выполняют в алге браической форме записи, а умножение н деление в показа тельной форме. Поэтому необходимо уметь делать переход от ал гебраической формы записи комплексного числа к показательной и наоборот. С полью экономии времени при выполнении этих one' раций рекомендуется использовать логарифмическую линейку. Для расчетов необходимо движок е тригонометрическими шкала ми линейки перевернуть наружу.
52
При расчетах цепей в основном производят операции над ком плексными амплитудными или действующими значениями, т. е. над обычными комплексными числами
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа в общем случае имеют следующий вид:
A —a+j f c; А -А соъф * ]А $ 'т9
Модуль комплексного числа
%
А = >1а 2+ 6г ' =■*
Ь т Ч ’
Аргумент комплексного числа
1. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной
Для перехода к показательной форме необходимо вычислить модуль и аргумент комплексного числа. Вычисление модуля не представляет особых трудностей. Определение аргумента связано с выяснением его знака. Поэтому перед вычислением аргумента необходимо определить, в каком квадранте находится точка, со ответствующая комплексному числу A=a-fjb. Квадрант зависит от сочетания знаков перед вещественной и мнимой частями и лег ко определяется по таблице 1.
Л0- • |
|
|
|
|
3 |
/Па5лиц а / |
|
i |
2 |
|
и |
||
р<жыта |
|
|
|
|||
Знап £*• |
|
а >о |
а <о |
|
а*о |
Q >0 |
U*П4Ш*бй |
|
4 >о |
4 >о |
|
S со |
6 <О |
час/wtu |
|
|
||||
Вектор |
|
J |
|
|] |
^ - -8 |
&^Sl.А |
наа |
i |
|
---‘в |
|||
диаграм |
|
a |
а |
о |
А |
|
.на |
0 |
|
||||
Известно, что на шкале танюнсов движка нанесены углы толь ко до 46s. Поэтому для случая 11 ,,а линейке уожно вычислить только вспомогательный угол и, тангенс кото-' рого всегда положительный и меньше единицы (см. таблиц* 2).
|
|
|
|
|
|
|
Ш а б л и ч а |
2. |
||
н В а Э - |
|
i |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
||
р а н п г |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
iJ |
i |
|
|
f |
/ |
|а И « ! |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
\ |
|
|
w |
t . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lo" |
ф |
ф - |
А |
|
|
||
|
|
|
|
|
д |
г |
А ~Sin<< |
|||
V |
* |
У |
= ot У - |
/SO'-Д у 1- |
/ео'-Ы |
у ‘*ск. |
||||
|
|
|||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|а|<1^1 |
||
ч. |
* |
|
А |
|
|
|
V y ' |
|||
|
|
|
|
|
. |
, 1“ 1 |
||||
5» |
|
|
ч |
|
# |
|
|
|||
at |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ч |
|
0К - . |
•а |
к ' " ' |
К |
|
|
|||
> |
|
A» i “ 1 |
||||||||
•ч. |
|
♦ з 9О0-Л |
|
у'=Э0в+с*. |
|
|||||
|
|
У -90*~cL |
|
Sinoi |
||||||
IV)
Затеи по формула» приведения (см. приложение 1) для соответ ствующего квадранта вычисляется истинное значение аргумента. При этом модуль числа определяется отношением меньшей вели- ч»ны|Ь(или|а;к синусу вспомогательного угла.
А. Вычисление аргумента и модуля комплексного числа при условии
|
1 4 - |- -с <0 |
или |
HQ . |
|
1. |
Начало (или конец) движка установить над большим чис |
|||
лом I а | или 1 b I на основной |
шкале чисел корпуса линейки. |
|||
2. |
Нить |
визира |
(бегунка) |
установить над меньшим числом |
1а| или I Ь | |
и отсчитать под нитью визира вспомогательный угол |
|||
ана шкале тангенсов движка.
3.Не сдвигая визира, подвести под его нить значение вспо
могательного угла а, отсчитанного на шкале синусов движка.
4. Отсчитать значение модуля А комплексного числа на основ
ной шкале корпуса под началом (или концом) шкалы тангенсов движка. *
Следует иметь в виду, что модуль всегда больше веществен ной и мнимой частей комплексного числа, но меньше их суммы.
'5. Аргумент ч> |
или у* |
можно определить по таблице 2. При |
||
этом ф берется со знаком «плюс», а ф 1 — со знаком |
«минус». |
|||
Пример 2.14. Комплексное число А—30+j 40 записать в показа |
||||
тельной форме. |
|
|
|
|
Так как |
з> 0 |
и Ь>0, то точка комплексного числа |
находится |
|
в первом |
квадрате. |
|
|
|
Конец шкалы |
тангенсов |
движка устанавливаем цад |
большим |
|
54
числом 40 на основной шкале корпуса линейки, а нить визира— над меньшим числом 30. Под нитью визира отсчитываем на шкале тангенсов движка вспомогательный угол
и=36°50'.
Так к;.к f а|< 1 Ы , то согласно таблице 2 —-90°—а = 58°1O'.
Перемещаем движок (не двигая визира), до совмещения угла а=36°50' на шкале синусов с нитью визира. Конец шкалы движка укажет на основной шкале корпуса линейки модуль А=50.
Ответ:
s o ^ A O - s o e ’5*’40’
Пример 2.15. Записать комплексное число А——2-f-j4 в показа тельной форме.
Согласно таблице I вектор А находится во втором каадракте. Оперируя движком и визиром, находим
aC-26°35'; Ч> - |
cl= fleas' ; А « * > ? . |
Ответ: -2+3** = 4,Ч ? е ,Н* 35 •
Пример 2.16. Записать комплексное число А = —15—J5 в аоказательной форме.
Вектор А находится в третьем квадранте. Начало шкалы двой ка устанавливаем против большего числа 15, а hhtj визир* против меньшего числа 5 на основной шкале корпуса. Под штыо визира на шкале тангенсов ,,вижка отсчитываем вспомогательный
угол а=18°25'. |
. |
По таблице 2 находим |
Ч» =180°—а=161°35'. Знак аргумента |
отрицательный.
Не сдвигая визира, подводим под его нить значеияе утла а = 18°25' на шкале синусов движка и иод началом шкалы движка на основной шкале корпуса читаем значение модуля А= 15,8-
Ответ: - i5 - jS = 15,8 е'-1**1*15' .
Пример 2.17. Записать комплексное число А = 120—)Э0 а и>- казатслыюй форме.
Вектор А находится в четвертом квадранте. Оперируя двяжком и визиром, находим: = и отрицательный, Л = 124.
Ответ: 120 - jjo -
Б. Вычисление аргумента и модуля комплексного числа при условии
10*. 6 i. 100 или Ю^. а i 100 .
Модуль комплексного числа А принимают равным большему числу I а I или 1b I . Вспомогательный угол а отсчитывают под нитью визира на средней шкале ST движка. Аргумент <ц> находят по формулам, приведенным в таблице 2, в зависимости от номера квадранта.
Пример 2.18, Записать комплексное число А=0,1+]1,5 в пока зательной форме.
Принимаем А=1,5. Конец шкалы тангенсов движка устанавли ваем над большим числом 1,5, а нить визира — над меньшим числом 0,1 на основной шкале корпуса. Под нитью визира на средней шкале ST движка читаем вспомогательный угол а=3°50'. Так как вектор А находится в первом квадранте, то аргумент (см. таблицу 2) равен
ц> |
—90°—а = 86°50'. |
|
Ответ: |
. „ |
„ 186*Ео' |
0,1 + j 1,5 = |
|
|
В. Вычисление аргумента н модуля комплексного числа при условии
-S- >100 |
ИЛИ — > <00 . |
X |
°- |
Модуль комплексного числа А принимают равным большему числу 1а 1 или I bi. Вспомогательный угол а определяется на сред ней шкале ST движка и делится на 10. Все операции с линейкой такие же, как и в предыдущем пункте.
Пример 2.19. Записать комплексное число А—150-+-j0,7 в пока зательной форме.
Принимаем А =150. Начало шкалы движка устанавливаем над большим числом 150, а нить визира — над цифрой 7. Под нитью визира на средней шкале ST .движка читаем вспомогательный угол а = 2°40'. Так как вектор А расположен в первом квадранте, то, на основании таблицы 2,
г *4 о' Ч> ю 16
Ответ: |
150 +j 0,7 = 150 е |
2.Переход от показательной формы записи комплексного числа к алгебраической
Переход производят через тригонометрическую форму записи комплексного числа:
A— Acosv + s Л Via ф - a + j6 .
Так как на логарифмической линейке отсутствует шкала ко синусов, то. вещественную часть комплексного числа опреде
ляют через синус дополнительного угла:
й - Abin{QQ°- 9) . &=*AsLny .
А. Вычисление вещественной и мнимой частей комплексного числа при условии
1) Начало (или конец) шкалы движка установить над значе нием модуля А на основной шкале чисел корпуса линейки.
2) Нить визира установить .над значением дополнительного уг ла 90°— V на шкале синусов движка и отсчитать под нитью ви зира на основной шкале чисел корпуса линейки вещественную
часть комплексного числа а. |
на шкале |
3) Установить нить визира над значением угла |
синусов движка и отсчитать под нитью визира на основной шкале чисел корпуса линейки мнимую часть комплексного числа Ь.
Следует иметь в виду, что всегда
ICLUA, 1$1*А , l a U I l l > А
Пример 2.20. Записать в алгебраической форме комплексное число
А*» UQ |
• |
Начало |
шкалы движка устанавливаем над числом ПО на ос |
новной шкале корпуса. Устанавливая нить визира на шкале си нусов сначала над дополнительным углом 40°, а затем над углом
v =50°, |
отсчитываем на основной шкале корпуса линейки а = 70,5; |
||
Ь= 84. |
|
|
|
Ответ: |
«о е* |
—70,5+ j 84 |
• |
Пример 2.21. |
Записать |
в алгебраической форме комплексное |
|
число А= 0,06 е А; 80°.
Конец шкалы движка устанавливаем над числом 0,06 на основ ной шкале корпуса. Устанавливая нить визира на шкале синусов сначала над дополнительным углом 10°, а затем — над углом 80°,
получаем |
а = 0,0104; Ь = 0,059. |
Отпет: |
о,оз е^8э(>*= о.оща vjo.oss . |
57
Пример 2.22. Записать и алгебраической форме комплексное число А=5 e j20°
Конец шкалы движка устанавливаем над числом 5 на основной шкале чисел корпуса. Устанавливая нить визира на шкале синусов яящ углом 70° и 20°, получим на основной шкале корпуса линейки
=4,7- Ь = 1,7. |
jeo |
|
|
Ответ: |
5 е |
|
|
V? *'Ц,7 - |
|
||
|
Б. Вычисление вещественной и мнимой частей |
. |
|
|
комплексного числа для любого аргумента |
||
Если V >90°, то для определения вещественной а и мнимой b частей комплексного числа необходимо пользоваться формулами
приведения. В таблице 3 даны формулы Эйлера для вычисления а и Ь во всех квадрантах.
|
|
|
Тдбли ц 4 3 |
К*«1РДЧ7 ЗНАчСмиС |
ф о р м у л ы ПС Р .ОУОПА |
в А АГС$рАИ Ч С С * У ►© |
|
|
|
Ф о р м у з а п и с и |
|
Л |
0<чгл.до’ |
a :Asin(9o~4^) |
S z Asinv |
|
|||
гQJ'*= - Sin (Ч>-90’) + j Sin (/eo°-4'J
a =-Asin(4-9oV g-AsinOeo-v)
3
л
e j 4' = - $ i n ( p ? o ° - 4 'j -j |
Uftf'f - i e o V |
a --Asin(z?o-4') |
Sr-Asin^-m o") |
e J y= sin ( Ч ' - г ? о °1 ~ J s i n ( i c o ' ~ V |
|
a тA s m ( 4 ^ S P o V |
& - - A s i n f i M ’- v j |
|
Если аргумент |
отрицательный, то его заменяют положитель |
||||
ным путем прибавления 360° и далее пользуются таблиц''»’: 3. |
||||||
|
Для |
определения порядка величин1а\иib lследует иметь в ви |
||||
ду. что всегда I а 1 < А, иlb к А, и ! a |
l ’ Ы >А . |
|
||||
|
Пример 2.23. |
Записать |
в алгебраической форме |
комплексное |
||
число а » (го |
. |
|
|
|
||
|
Из таблицы 3 следует: |
|
|
|
||
е |
^^50 |
о |
|
180*- 150е ) = -Sin |
30° . |
|
“ - S i r i ^ O -90°Н |
||||||
Таким |
образом, |
а » - iso sin 60° f |
S = <го s'm 30е . |
|
||
58
Для определения вещественной части устанавливаем конец шка лы движка над числом 120 на основной шкале корпуса, а нить ви зира — над углом 60° на шкале синусов движка. Под нитью ви зира на основной шкале читаем число 104.
Для определения м н и м о й части устанавливаем начало шкалы движка против числа 120 на основной шкале корпуса, а нить ви зира над углом 30° на шкале синусов движка. Под нитью визира на основной шкале читаем число 60.
Ответ пишем с учетом знака вещественной части:
-IiSO* |
»=• - <0<t + j 60 . |
|
120 е |
||
Пример 2.24. Записать в алгебраической форме комплексное |
||
число А=100 е*Ьоо°* |
аргумент |
положительным, по таблице |
Заменяя отрицательный |
||
3 находим: |
|
|
е-.MOO " вJ J 60 |
Я л 1.270 |
- 26Q ) - |
j а т ^ З в о * - (80*) *■ - j sin |
(о*- j si. п &0* |
|
Таким образом, a - - i o o s m i o e, S « - юа 6ia Ю* •
Совмещая начало и конец шкалы движка с началом и концом основной шкалы корпуса линейки, получаем под нитью визира против угла 10° (на шкале синусов) на основной шкале число 17,3; против угла 80° — число 98,5.
Ответ:
100 е-j (00*—- (7,3-] 3 8 .s .
Пример 2.25, Записать в алгебраической форме комплексное число А=40 е "j6°*.
Заменяя отрицательный аргумент |
положительным значением, |
|||||
по таблице 3 находим |
|
|
|
|
|
|
-j6Q* J |
»<><>' . |
. |
|
. . |
о |
|
* |
■■ € |
*“ Ьсп 30 |
|
-jV,n%0 . |
||
Установив конец шкалы движка против числа 40 и нить визира сначала над углом 30°, а затем над углом 60°, получим ответ:
;о е •О60°—2o - j j ^ . 6 .
54
В. Вычисление вещественной и мнимой частей комплексного числа при условии V 4-?0
Если аргументу , или дополнительный к нему угол 90° —У , или угол, вычисленный по формулам приведения таблицы 3, имеет величину в пределах от 35' до 5°35', нить визира следует устанав ливать над углом на средней шкале ST движка. При этом одна из частей (вещественная или мнимая) будет меньше модуля в де сятки раз, а другая часть практически равна модулю комплексного числа.
Пример 2.26. Записать в алгебраической форме комплексное число A - g o e jffs°.
Из таблицы 3 имеем:
j95° |
о |
5 - |
- Slа(55°-90°) + j sin 80°- 55® ) - |
—- sin 5* + jSln as0.
Установив конец шкалы движка против числа 90 на основной
.шкале корпуса, а нить визира — над углом 5°’ на средней шкале ST движка, читаем под нитью визира на основной шкале корпуса величину вещественной части 7,87. Следует обратить внимание на то, что порядок полученного числа должен быть на один порядок ниже порядка модуля. Мнимую часть принимаем равной модулю. Ответ:
j9S®
go е |
-- 7 ,8 ? +: 90 . |
Пример 2.27. Записать в алгебраической форме комплексное число Л =100
Из таблицы 3 имеем:
-jie iJS7° , .
е- е - SLn87e-)*i-n.50 .
Совмещая начало шкалы движка с началом основной шкалы корпуса линейки и нить визира с углом 3° на средней шкале ST движка, отсчитываем под нитыо визира на основной шкале вели чину мнимой части 5,2. Порядок этого числа должен быть ниже на один порядок порядка модуля. Вещественную часть прини
маем равной |
модулю. |
Ответ: |
_]5* |
|
too е = <оо - j 5,г • |
60