книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме

значение напряжения, за время отрицательного полупериода от Т/2 до Т, будет иметь значение

иср(.т/г) 3f

Пример 2.3. Среднее значение гармонического тока при однополупериодном выпрямлении.

В технике для питания различных устройств (усилителей, ге­ нераторов и т. п.) необходимы источники постоянного напряже­ ния и тока. Постоянный ток можно получить из гармонического путем его «выпрямления». В качестве выпрямителей используются устройства, пропускающие ток только в одном направлении, на­ пример, ламповые и полупроводниковые диоды.

С помощью однополупериодного выпрямителя получают пуль­ сирующий ток, содержащий только положительные или отрица­ тельные полуперноды гармонического тока (рис. 2.6). С помощью электрического фильтра из пульсирующего тока выделяется сред­

Среднее знамение юла равно высоте прямоугольника с основанием Т и площадью, равной площади одного полупериода.

Пример 2.4. Среднее значение гармонического тока при двухполупериодном выпрямлении.

При двухполупериодном выпрямлении все полуперноды пре­ образуются в полуперноды одного знака и выделяется среднее

-11

Сравнивая результаты примеров 2.3 и 2.4, можно сделать вы­ вод, что при двухполупериодном выпрямлении среднее значение

Как постоянный, так и переменный токи вызывают нагревание нроводника, свечение электрической лампочки, вращение электро­ мотора и т. д. Поэтому действие переменного тока есть смысл сравнивать с действием постоянного тока.

Очевидно, действие периодического тока можно считать рав­ ным действию постоянного тока, если их средние ЭЯ период мощ­ ности, характеризующие выделение тепла в активном сопротив­ лении г, одинаковы.

Используя выражения 1,6 и 1.10, можно записать равенство

тт

ОА

откуда

(8.5)

Выражение 2.5. представляет собой среднеквадратичное значение периодического тока за время, равное одному периоду. Это зня* чение называют действующим значением периодического тока.

Действующим значением периодического тока называют такой постоянный ток, который за время одного периода создает тот же эффект, что и переменный ток.

Аналогично определяются действующие значения периодиче­ ских напряжений и э.д.с.

1в Хж Vm d t .

Действующее значение тока

X-уф- -

42

Аналогично находятся действующие значения гармонических напряжений и э.д.с.:

и - ^ . 0.70? Um ; Е - ^ « 0,70? Еп .

Для измерения гармонических токов и напряжений применя­ ются амперметры и вольтметры переменного тока. Шкалы боль­ шинства приборов градуируются в действующих значениях. Зная действующее значение, легко определить амплитуду, используя выражение 2.6.

В энергетической системе СССР действующие значения напря­ жения составляют 380 В. 220 В и 127 В. При работе с электроус­ тановками следует иметь в виду, что амплитудное значение напря­ жения сети в 1,41 раз больше действующего значения.

§ 2.4. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

При расчете электрических цепей гармонического тока прихо­ дится производить различные математические преобразования: сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование.

интегрирование, решение дифференциальных и интегродифференциальных уравнений гармонических функций. Преобразования гармонического тока, напряжения и э.д.с. в тригонометрической форме или графически с помощью векторных и временных диа­ грамм становятся весьма трудоемкими и сложными при расчете сложных электрических цепей.

Метод комплексных амплитуд значительно упрощает анализ электрических цепей, удобно сочетая аналитические расчеты с гео­ метрическими представлениями.

Метод комплексных амплитуд или просто комплексный метод является одним из символических методов. Сущность всех сим­ волических методов сводится к тому, что действительную (реаль­ ную) гармоническую функцию, называемую «оригиналом», заме­ няют некоторой другой символической функцией, называемой «изображением». Это изображение реальной функции ЯВЛЯЕТСЯ

вспомогательной расчетной функцией. Не имеющей физического

смысла.

Все преобразования, связанные с расчетом цепи, производят с изображением гармонических функций. Полученное результиру­ ющее изображение преобразуют в оригинал и получают реаль­ ную электрическую величину.

В основе комплексного метода лежит представление гармони­ ческих функций в виде векторов, вращающихся на комплексной плоскости. Другими словами, физические (реальные, действитель­ ные) величины (ток, напряжение, э.д.с.), изменяющиеся во вре­ мени по гармоническому закону, заменяют изображающими их комплексными числами.

Мгновенные (текущие) значения реальных гармонического то­ ка i, напряжения и, э.д.с. е, заменяют мгновенными (текущими)

и мнимой вертикальной осями (рис. 2.9). Изобразим на комплекс­

44 '

Комплексное действующее значение тока на основании выра­

вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью м. В любой

Рис. 2.9.

момент времени длина вектора остается неизменной. С течением времени изменяется только положение вектора, т. е. изменяется угол относительно вещественной оси

o)t + V .

Мгновенным комплексом тока называют вектор i*., длина ко­ торого равна амплитуде реального тока, а угол отклонения отно­ сительно вещественной оси равен текущей фазе реального тока

cot + Ч> ■

Из курса математики известно, что для комплексных чисел применяют три формы записи: алгебраическую, тршопометрнческую и показательную. Каждая форма записи имеет свои преи­ мущества и недостатки. Рассмотрим каждую форму записи ком­ плексного числа.

■■1Г>

Символ Re означает «вещественный» нлн «действительный», а символ Зт. — «мнимый».

Выражение R e i ^ означает величину, равную проекции век* тора itft на вещественную ось и называется вещественной частью комплексного числа, im. •

Выражение TJtnim.означает величину, равную проекции век* тора i w на мнимую ось, и называется мнимой частью комплекс­ ного числа i m-

Символ j называют оператором вращения вектора или мнимой единицей

j - л Г Т .

При раочетах необходимо помнить соотношения, известные из

где п и к любые целые числа.

Действующее комплексное значение и мгновенный комплекс

Следует заметить, что запись мгновенного комплекса в алге­ браической форме практически не используется.

Из курса математики известно, что модуль комплексного чис­ ла представляет вещественное число и равен корню квадратному из суммы квадратов вещественной и мнимой частей этого числа:

(.г.ю)

Выражение для модуля комплексной амплитуды легко получить из рис. 2.9. на основании теоремы Пифагора. Очевидно, модуль комплексной амплитуды (комплексного действующего значения) тока равен амплитуде (действующему значению) реального тока.

- Напомним правило сложения и вычитания комплексных чисел:

46

Для сложения (вычитания) комплексных чисел необходимо сложить (вычесть) отдельно их вещественные и мнимые части.

Перемножение комплексных чисел производится по обычному правилу умножения многочленов.

Два комплексных числа называют сопряженными, если они от­ личаются только знаком перед мнимой частью.

Комплексному действующему значению тока

I —Re I + i 3m.1

соответствует сопряженное комплексное действующее значение то­ ка

Произведение двух сопряженных комплексных чисел пред­ ставляет собой вещественное число и равно квадрату модуля комплексного числа

Это свойство используется для преобразования комплексного зна­ менателя дроби в вещественное число:

-(geiiReia^- 3m ii 3mla>KReia3m.j,-Rei«3mia) .

A

Пример 2.5. Написать в алгебраической форме комплексные амплитудное и действующее значения реального синусоидального тока:

Для определения комплексной амплитуды попользуем выра­ жение 2.8 и рис. 2.9

47

Комплексное действующее значение тока

Пример 2.6. Написать в алгебраической форме комплексные

амплитудное и действующее значения реального косинусоидаль­ ного тока:

i ■»» 5С0Ъ^со1; + 50°) •

Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости (рис. 2.10). Векторная диаграмма строится с учетом того, что

Легко найти

Re I m_"“ ~ I m Sirup 5sia 5Q°— - 2,5

I m C0«»S>=5c0b 50° « М *

1 — -2.5 -e’jA.ib

X - -l,77+jap6 .

Пример 2.7. Написать в алгебраической форме комплексное действующее значение реальной э.д.с.:

Действующее значение реальной ч.л.с.

48

Re Ё— юсо^-бо0) — to cqs60°- 5*.

3m E -< 0sm (-6O *) = - |Q s ia 60*= -8,66

E m 5 - j 8,66

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел наибо­ лее удобна для перехода от комплексных чисел к реальным гар­ моническим функциям.

Из рис. 2.9 следует:

R e i « “ I m c o sv ; з « 1 т - 1 та* л ч>, u . u )

Re хк- i meoi(,<irt*40; 1т iK-x lnVm(ut'-v).

Подставляя выражения 2.13 в выражен) я 2.8 и 2.9, получим три­ гонометрическую форму записи комплексных действующего, ам­ плитудного и мгновенного значений гармонического тока:

Из анализа выражений 2.14 следуют важные выводы:

1. Вещественная часть мгновенного комплекса в тригономе­ трической форме записи является мгновенным значением реаль­ ной косинусоидальной функции, а мнимая часть — мгновенным значением реальной синусоидальной функции.

2. Нельзя сравнивать мгновенный комплекс с мгновенным зна­ чением реальной гармонической функции, так как мгновенное значение является проекцией вектора только на одну из осей, а мгновенный комплекс характеризуется двумя проекциями.

, Пример 2.8. Записать в тригонометрической форме комплексные амплитудное, действующее и мгновенное значения синусоида.1» юго« тока

49