книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме

3. Особенности расчета цепей, содержащих идеальные источники

В отличие от метода контурных токов, который применим к анализу любых линейных цепей, метод узловых напряжений мож­ но испг тьзовать для анализа цепей с идеальными источниками только при выполнении определенных условий. Это объясняется тем, что генераторы э.д.с. не могут быть заменены эквивалентны­ ми генераторами тока (см. § 4.8).

При составлении системы уравнений узловых напряжений для схемы, содержащей генераторы э.д.с, следует придерживаться сле­ дующего правила:

1) В качестве опорного узла следует выбрать узел, который является общим для всех генераторов э.д.с. Если такого узла нет. то требуется либо преобразовать схему, либо применить другой метод.

2)Генераторы э.д.с. необходимо заменить узловыми напряже­ ниями, равными э.д.с.

3)Проводимости ветвей с генераторами тока принять рапными

нулю.

4)Уравнения узловых напряжений составляются для узлов, к которым не подключены генераторы э.д.с.

5)Число уравнений узловых напряжений меньше числа неза­

Ej). Очевидно, в качестве опорного узла следует выбрать узел 2

или узел 3.

Выберем в качестве опорного узел 2. Преобразуем исходную схему в схему с проводимостями и источниками тока (рис. 5.23), заменив генератор эд.с. узловым напряжением Um^ E i. Укажем усливноположительные направления всех узловых напряжений.

241

к

Рис. 5.25.

242

Число уравнений узловых напряжений согласно выражению 5.15:

^В.ЗЛ-С " 4 - i - i - 2. .

Уравнения составляем для узлов 1 и 4:

Собственная проводимость первого узла

Взаимная проводимость первого и четвертого узлов

Собственная проводимость четвертого узла

'S« - S. + - ' V ’4 * ' V

Взаимная проводимость четвертого и третьего у-злов

Узловой так первого узла

Узловой ток четвертого узла

^4^ “ “ Х Р4 ~ 1р2 •

Подставляя значения, запишем систему уравнений узловых' на­ пряжений в окончательном виде ^

- -‘i ' V C V V V ^ ) V ' V W t v ^ E , -

Систему уравнений следует решить относительно неизвестных уз­

243

Преобразуем исходную схему в схему с проводимостями и ис­ точниками така (рис. 5.25), заменив генераторы э.д.с. узловыми напряжениями и приняв равной нулю проводимость ветви с ге­ нератором тока. Укажем также условноположительные направле­ ния узловых напряжений. В схеме .рис. 5.25:

Число уравнений узловых напряжений согласно выражению 5.15

^33 " ^3 + ^4 • '

Взаимная проводимость третьего н четвертого узлов

Взаимная проводимость первого и третьего узлов равна нулю. Узловой ток третьего уела

* 3 3 - 1 .4 * 1 Г5 •

Подставляя значения в уравнение узлового напряжения, запишем его в окончательном виде:

Пример 5.16. Определить напряжения и токи в схеме рис. 5.24, если известно:

Р е ш е н и е

Преобразуем исходную схему в схему рис. 5.25 и определим ее параметры:

244

Определим собственную проводимость третьего узла и взаим­ ную проводимость третьего ,и четвертого узлов:

" ° ’01 "*■° ’0 ^ * 0,02 Сим

^ = 0,01 С им .

Подставим значения в уравнение узлового напряжения (см. при­ мер 5.15):

0,02 U j0» 0,01 •15 + 0,01* 50 ■ '•2 .

Найдем узловое напряжение

Укажем на исходно» схеме (рис. 5.24 и 5.26) положительные на­ правления найденных напряжений U3 0 , .

Определим ток п ветви п, Ei по закону Ома для полной цели или по второму закону Кирхгофа:

245

и, * e 1I i -100- 0,45 =45 В,

Определим так в ветви с сопротивлением г2:

Определим так в ветви 1—0:

1 Ю= 1 1+ 1 2 = 0’45 + °’25 ~ 0’7 а -

Определим ток в ветви 3—0.

Определим ток в ветви с генератором э.д.с. Е3:

I 04= I U>+ I 50“ °>7 M ’2 i “ ',’9 5 a -

Определим ток в ветви r4, Е4 по второму закону Кирхтофа:

откуда

0,78 a .

100

Очевидно, ток 14 имеет направление, совпадающее с направлением Um в рассматриваемой ветви.

Напряжение на сопротивлении г4:

-2 А1 Ь - ЮО 0 , 7 8 = 7 8 ь .

Определим напряжение на сопротивлении rs:

246

- z s I г5 - iOO - 2 *=■200 6 .

Укажем положительные направления токов н напряжений в исходной схеме (рис. 5.27).

Рис. 5.27.

В правильности расчета можно убедиться путем проверки вы­ полнения законов Кирхгофа или баланса активных мощностей.

§ 5.6. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Метод наложения целесообразно применять для расчета цепей, содержащих два-три источника электрической энергии.

В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции (принцип независимости действия), справедливый только для ли­ нейных цепей.

Принцип суперпозиции гласит: «В любом элементе линейной

электрической цени ток (напряжение) равен алгебраической сум­ ме токов (напряжений), вызываемых в этом элементе каждым из источников в отдельности».

1. Последовательность расчета цепи методом наложения321

1) Определить токи в ветвях цепи или напряжения на зажи­ мах ветвей, создаваемые одним из источников электрической энер­ гии. Для этого остальные генераторы э.д.с. следует замкнуть на­ коротко, а ветви с генераторами токов разорвать.

2)Таким же способом необходимо определить токи или на­ пряжения, создаваемые каждым из остальных источников.

3)Найти результирующие токи или напряжения путем сумми­ рования таков или напряжений, создаваемых каждым источни­

зультирующие напряжения (токи) легко находятся по закону Ома для участка цепи.

247

4) Условноположи тельные направления юкон и напряжений следует указать на исходной схеме и проверить правильность рас чата по выполнению законов Кирхгофа или баланса мощностей.

Пример 5.17. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.28,а. если известно:

Е ~НОО & ; I г *=20 а ; г , = г г = г Ом ,

2 э «= & Ом .

Р е ш е н и е

Определим токи, создаваемые источником напряжения (рис. 5.29,а). По закону Ома для полной цепи

Е(00.

I ' ~ А г+ а (0 а »

в з

очевидно,

1а - 0 •

Определим токи, создаваемые генератором тока, используя соот­ ношения для делителя така (рис. 5.29,6).

их г _ Ъ- 20

Определим реальные токи в исходной схеме и укажем их положи­ тельные направления (рис. 5.28,6).

I, ~ i" ~ l‘, - <6 - ю - б а ;

i ; - I p - 2 0 a

Is= 13 + Ij-40 *4 — 14а .

Используя закон Ома для участка цели, определим напряжения на элементах цепи и укажем их положительные направления на исходной схеме (рис. 5.28,6).

U, =- 2^ — 2 -6 = 12 ft

, - 2г 1а “ 2 20 = 40 Ь

218

Рис. 6.28.

Рис. 5.29.

а)

Рис. 5.30.

•249

U 3 - * 3 Ч “ S - й = U2 & .

Легко убедиться в правильности расчета по выполнению зако­ нов Кирхгофа. Следует заметить, что источник напряжения не отдает эдектрнческую энергию, а потребляет ее от генератора то­ ка.

Пример 5.18. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.30,а, если известно:

1 Ом

Р е ш е н и е

Определим напряжения, создаваемые первым источником на­

пряжения (рис. 5.31,а), используя соотношения для делителя на­ пряжения:

с

37,5 8 •

З г ? 5

* г + а з

Определим напряжения, создаваемые вторым источником напря­ жения (рис. 5.31,6).

250