книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме

Смежного контура, необходимо брать со знаком «плюс», если на­ правления токов одинаковые, и со знаком «минус», если направ­ ления токов различные:

—контурную з.д.с. необходимо брать со знаком «плюс», если

еенаправление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «минус», если направления э.д.с. и контурного тока раз­ личные.

Рис. 5.14.

Пользуясь рекомендуемым способом, легко получить систему уравнений контурных таков 5.9.

В общем случае для схемы с п независимыми контурами сис­ тема уравнений контурных таков имеет вид:

Система уравнений 5.10 удобна для решения с помощью опре­ делителей.

2. Последовательность расчета цепи методом контурных токов

1)Построить дерево графа цепи, определить число независи­ мых контуров и выбрать их на заданной схеме.

2)В каждом независимом контуре произвольно выбрать на­ правление контурного тока и указать его стрелкой.

о) доставить систему уравнений контурных токов с учетом

влияния контурных токов смежных контуров (см. ф. 5.10):

—напряжения на сопротивлениях контура, создаваемые то­ ком данного контура, берутся со знаком «плюс»?

—контурная э.д.с. берется со знаком «плюс», если ее направ­ ление совпадает с направлением тока данного контура, и со зна­

221

— напряжение на взаимном сопротивлении Оерется со знаком «.плюс», если контурные токи в этом сопротивлении имеют одина­ ковое направление, и со знаком «минус», если направления кон­ турных токов разные. *

4)Решить систему уравнений относительно неизвестных кон­ турных токов.

5)Определить действительные токи в ветвях. В сопротивле­ ниях, принадлежащих только данному контуру, действительный ток равен контурному току, а их условно-положительные направ­

ления совпадают. Во взаимном сопротивлении действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих в этом сопротивлении. За условноположительное направление дей­ ствительного тока принимают направление большего контурного тока.

6)Вычислить напряжения на элементах схемы, используя за­ кон Ома для участка цепи.

7)Указать на схеме условноположительные направления дей­

ствительных токов н напряжений.

8) Проверить правильность расчета по выполнению баланса активных и реактивных мощностей.

Пример 5.9. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.9,а, (см. пример 5.5), если известно: Еi==60 в; Е2=120 в; г(= 3 Ом; Г2 = б Ом; Гз=4 Ом; г4= б Ом; Г5 = 3 Ом.

Р е ш е н и е

Дерево графа цепи показано на рис. 5.9,6. Схема содержит три независимых контура I, II, III. Поэтому система уравнений контурных токов будет содержать три уравнения. За условнололожительиые направления контурных токов примем направление по часовой стрелке (см. рис. 5.14).

Составим систему уравнений контурных токов в общем виде

(см. систему 5.9).

Найдем значения сопротивления и э.д.с.:

*«“ *5Г °; *аа“ *а + *з* *4 “ 6 * 6

Подставим численные значения в систему уравнении 5.9.

222

Ч 1 , г ^ е г * 0 - i , 5 - 6 0 ,

' * 6 1 „ М Б 1 га- 6 1 5 г - 0 ,

„o-i«+6-ia, - e i „ - « a o .

Спомощью определителей токи находят по известным из курса

математики формулам:

Найдем численные значений контурных токов:

22:1

Определим действительные токи в ветвях исходной схемы:

I,-5,35a ; i2-*,33a; is-Sa; I4-«,7a;i5-l6,7a .

В этом случае положительные* направления токов будут следую­

щими:

—) It совпадает по направлению с 1ц;

—12 совпадает по направлению с I « ;

—h противоположен по .направлению току 1»;

—14 совпадает по направлению с I22;

—15 противоположен по направлению току 1и. Определим напряжения на элементах схемы:

V s - * 5 1 5 “ 3 ' < 6 , 7 * * 5 0 а .

Направления напряжений должны совпадать с положительными направлениями соответствующих токов.

Укажем на схеме (см. рис. 5.10) положительные направления г.won п ве.твях и напряжений на элементах схемы. Чтобы убеди­ ться в правильности расчетов, проверим выполнение баланса ак­ тивных мощностей. Мощности, развиваемые источниками:

- 6 0 - 3 , 3 3 * 200 Вт;

Мощности, потребляемые активными сопротивлениями:

Pi - I M 4 - < 0 - 3 , 3 3 - 3 3 ,3 Вт;

Рг ~ иа h ~ бт ,

2-2А

Выполнение оаланса мощностей:

гоо + 2000 - 35,5 + 4(7 + 100 + 6(9 + 635

2 2 0 0 6 т * 2 2 0 4 а т .

Пример 5.10. Решить пример 5.3 методом контурных токов.

Ре ш е н и е

Всхеме рис. 5.5 два независимых контура. Выберем условно­ положительные направления контурных таков по часовой стрелке

(см. рис. 5.15,а).

Рис. 5.15.

Составим систему уравнений контурных токов для комплексных амплитуд:

или

^ т н ~ ^ ^■*п2гш Е1т1»

,- * 1 ш 41 + и - 5 * с) 3 - т г г - 0 -

Подставим значения сопротивлений и э.д.с.

225

Решим систему уравнений с помощью определителей

-2 ,8 2 -1 0 - j 2,82-Ю

Определим комплексные амплитуды напряжений на элементах схемы

Условноположительные направления напряжений и токов показа­ ны на рис. 5.15,6.

226

Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, получим ответ, аналогичный1ответу в примере 5.3.

Представляет интерес сравнить решения примеров 5.10; 5.3 и

5.0.

'Л. Особенности расчета цепей, содержащих источники тока

Яхли часть независимых контуров содержит по одному источ­

Пример 5.11. Определить напряжения и токи в схеме рис. 5.16,а,

Р еш ен и е

Схема содержит три независимых контура. В качестве кон­ турных токов первого и третьего контуров выберем токи, равные по величине и направлению соответствующим задающим токам источников тока (ом. рис. 5.16,а);

В этом случае из трех контурных токов оудет неизвестным только контурный ток второго контура. Для решения примера достаточ­ но составить лишь одно уравнение:

Напишем выражения комплексных амплитуд задающих токов и э.д.с.:

227

Подставим численные значения в уравнение контурного тока и ре­ шим его

c

-№

IJ

4>iln

e

-e - o-J

1 h

I mtt

л

Рис. 5Дв.

Найдем комплексные амплитуды токов в ветвях.

22В

Ha рис. 5.17 укажем условноположительные направления токов

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа. Для узла 1:

+ ^ тс ^ т г \ ’

* ,7 3 - j -2 ,7 3 + J 0 . 7 1 - - 1 - j 0,29 ,

- i - j 0,29 - -

Для узла 2:

Аналогично можно проверить выполнение первого закона Кирхгофа для узлов 3 и 4.

Найдем комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи:

22J

На рис. 5.17 укажем услоаншоложитея*т>1е н»й^&яеяи(1 напря жоний. Комплексную амплитуду напряжения на втором* генерато­ ре тока найдем из уравнения составленного по второму''!закону Кирхгофа для третьего контура:

U,mr2 U mu- U nva £

откуда

у » « - u mM- u 1M-- w v - j5 4 6 - 5 6 5 i? i M V

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа. Для второго

Для проверки выполнения баланса активных и реактивных мощ­ ностей определим мощности развиваемые источниками и потреб-’ ляемые пассивными элементами.

Комплексная полная мощность, развиваемая первым генера­ тором тока:

Комплексная полная мощность, развиваемая вторым генератором тока: