3 1 , - 6 1 г ” - 3 9 ,9
31^ + 6 1 2 ” 60
61, . — -2 0 И
откуда
I , в 3,35 а •
Подставляя полученное значение в (7), найдем
12 ” Ь,Ъ5 а •
Подставляя.значения 1| н 1г в (1), получим
I 5= -Sa.
Подставляя значения Ь и Ц в (4), найдем
Ть-И ,? а .
Подставляя значение I, ь (5), получим
1 ч “ - < Б , Б а .
Проверим выполнение первого закона Мрхгофа:
3,35 =* 8,35 - 5 —3,35 ;
1 ъ - 1 4 + 1 5 ;
Отрицательные знаки токов Ь й Ц означают, что их положи тельные направления выбраны неправильно. Дадим всем токам положительные значения и укажем их правильные положительные направления на схеме рис. 5.10:
I , -3,55a ’, 1а -& ,35 а; 1 j - 5 а; |
1 5 *1Б,Ба. |
Рис. 6ЛО.
. По закону Ома для участка цепи определим напряжения на элементах цепи и укажем на схеме их положительные направле ния, совпадающими с направлениями соответствующих токов:
и 1- а 11 , - 3 - 3 , Ъ5 * 4 0 b |
; ■U2 ~ a £ I a “ 6 - 8 , ! > 5 * 5 0 B , |
'u s “, * 5 1 b", * '5 " * 0 e * |
^АТ а“ 6 |
И,? Л?0Ь; |
и , - *5 I s - S - « , b « 5 0 Ь . |
|
Проверим выполнение второго закона Кирхгофа: |
— для первого контура |
|
|
E ^ T J, -f\J2 ; |
60 - Ю *50 - 6 0 |
^ |
— для второго контура |
|
|
UA-TJ2 -\Jb - о; |
7о~50-го-0 |
; |
—для третьего контура
-E 4“ "Um- \ J s ; -120 — 70 - 50 «-№ 0.
—для внешнего контура (обход по часовой стрелке)
£ ,- |
-U j -U j , 60-120 -10 -20 -50 , |
«ли
- 6Q - - 60 .
Следует заметить, что при использовании логарифмической линейки расчет производится с точностью до третьего знака.
Пример 5.6. Решить пример 5.3 методом уравнений Кирхгофа.
Р е ш е н и е
Схема рис. 5.5,а содержит два узла и два независимых конту ра. Поэтому система уравнений будет состоять из одного уравне ния по первому закону Кирхгофа н двух уравнений по - второму закону Кирхгофа.
За направление обхода каждого контура примем направление' по часовой стрелке. За условиоположительные направления токов примем направления, указаннречна схеме, Систему уравнений $0*
ставим |
в комплексной |
форме: |
|
|
|
- т а + * тс |
(.О |
|
> F |
- 7 Т + |
(.2) |
|
|
|
|
N. 0 " г с 1 т Г х 1 т е |
|
Из (3) |
имее*^ |
|
|
Подставляя |
|
(4) |
в |
(I), |
получим |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
L5) |
Подставляя |
|
(5) |
в |
(2), |
найдем |
|
Ч |
- и - п г ^ |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
J |
, |
|
i s a _________________l*i___________ i i L , |
mc“ |
- j a + 7 . u^ - j ) |
-j 200 +j200(ki - j ) |
200 |
откуда
0,705
Подставляя значение в (4), получим
i ms, — i 0,705.
Подставляя значения токов в (1), найдем
I * - 0,705-3 0,7О5 - е - ^ ‘
Комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи опре делим по закону Ома для участка цепи:
иm u- |
z u i t t i - j 2oo е j 4 5 - 2 0 0 eAS\» |
V rne“ |
Z cIm e— iiOO-0,705- f « e |
- i 90е |
; |
|
г 1 * * -2 0 0 (- j Q ,705H M |
- 190® |
|
в |
Полученные результаты совпадают с результатами примера 5.3. Проверим выполнение первого закона Кирхгофа:i
i - |
i |
* i mP; 0,?05-]0,705 - 0 , ?05~}0,705 |
ПТ |
|
гПЦ “ с 1 |
Проверим выполнение второго закона Кирхгофа:
— для первого контура
' hi иmu+ |
„ |
|
j*5 |
|
|
200 e |
|
иди |
|
|
|
, |
<44 =•» Щ + j'iM- j (M “ (M |
— для второго контур» |
|
|
^ ' V |
* 0 - |
- j ^ *5 i M - o ; |
— для внешнего контура |
|
|
t -X L + \J |
• i W - W + H M - j l M - W . |
m mu |
|
hi* * |
J |
J |
Законы Кирхгофа |
выполняются. |
|
Переход к мгновенным значениям токов и напряжений осу* ществляется также, как в примере 5.3.
2. Особенности расчета цепей, содержащих идеальные источники (генераторы э.д.с. и тока)
Особенности расчета цепей рассмотрим на примере схемы рис. 5.U.
л
Рис. 5.11.
Рассматриваемая схема аналогична по виду схеме рис. 5.9,а. Поэтому для нее можно построить такое же дерево графа и сам граф (рис. 5.9,6).
• При заданных э.д.с., задающем токе 1г и параметрах схемы можно заметить следующие особенности:
1) Для контура I нет смысла составлять уравнение по второ му закону Кирхгофа, так как напряжение Un между узлами 1 и 3 известно и равно э.д.с. Е. Для внешнего контура и контура III нельзя составить уравнение из-за наличия генератора тока.
2) В схеме известии два тока: задающий ток в пятой ветви и ток во второй ветви 1г= X. .
d) Так как в схеме неизвестными являются только три тока, то достаточно составить систему из. трех уравнений с тремя неиз вестными токами.
Последовательность расчета цепи, содержащей идеальные ис точники, аналогична последовательности расчета цепи, не содер жащей идеальные источники. Число необходимых уравнений мень
ше числ,. ветвей на количество |
ветвей, содержащих |
генераторы |
э.л.с. и тока: |
|
|
|
N^p ” Ng~ |
p g H |
^5.6) |
Пример 5.7. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.11, |
если известно: Е=100 в; I ==10 a; Ti=2 Ом; гг=4 Ом; |
|
Гз=5 |
Ом; |
|
|
г4 = 6 |
Ом. |
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
Число уравнений Кирхгофа согласно формуле 5.6 |
|
|
N^p “ 5*2 - Ь ■ |
|
Уравнения по первому закону |
Кирхгофа составим для узлов 1 и |
2. и по пторому закону Кирхгофа — для контура II.
Подставим численные значения в систему уравнений
1 , - 1 |
ъ + 50 |
, |
0) |
Xi, |
- 1 |
^ + '0 |
f |
12) |
41. |
= 5 1 ,-IOO . |
IS) |
к Э |
|
^ |
|
|
Умножим па л почленно уравнение (2) и тгычтем его из yp4i>- иения (3).
4 1 , + 5 1 ^ -1 0 0
- 5 1 , + 5 1 ; - 5 0
откуда
5,56 а
Подставляя 'значение 13 в (1), получим
I , - 55,6 а .
Подставляя значение 13 в (2), найдем
|
\ * |
<5,6 а , |
|
|
|
Е |
J00 |
50а • |
|
* 2 “ |
“ |
2 |
|
|
Определим напряжения на элементах цепи по закону Ома для участка цепи:
иг - » а 1 5 - ^ ’ 5,56 - 2 2 , 2 8,
U S “ в 3 1 4 - У - « , 6 - 78 В,
V * - « 4 ХР - в-Ю “ 606,
TJ, - Е - 400 6 .
На рис. 5.12 показаны положительные направления напряже ний и токов.
Рис. 5.ia,
Пример 5.8. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.13,а, если известно: £r —cos (cat—45°); г—200 Ом; для частоты о> реак тивные сопротивления равны хь » Хс —200 Ом.
Р е ш е н и е
Построим дерево графа цепи (рис. 5.13,6). Схема содержит один независимый узел и два независимых контура. Так как неиз вестными являются два тока, то достаточно составить систему из двух уравнений.
Составим систему уравнений в комплексной форме. Одно урав-
некие запишем по первому закону Кирхгофа для узла I. Второе уравнение запишем по второму закону Кирхгофа для правого кон тура, приняв обход по часовой стрелке
I |
ги*г |
+ |
X _ |
— X |
шг |
» |
|
|
*пс |
|
zС i |
т с - |
ч ! moi - о |
|
|
|
г |
|
+ |
i |
|
|
|
- j 200 i |
- |
200 :L |
- о . |
|
J |
|
|
me |
|
nva |
|
Из уравнения (2) найдем
J ^ та •
Подставляя imc в уравнение (1), получим
1т , < . ' * П - е - Н5 °
или
I т , - ( г е И 5,- |
е- ! ‘5” |
•П® |
•) |
откуда
Xw^ o |7 Q ?e-j90°~ -3
Ток в емкости
± в д - 0,707 .
Определим напряжения на элементах схемы:
*]2 оое-j*5°— 2 оо еjitSb;
^ тс ■-j 200 0,10*7—-J* <44 — |
е - ’' 90, |
-j 9о®
Проверка выполнения законов Кирхгофа и переход к мгно венным значениям токов и напряжений производятся также, как
Рис. 5.13.
в примере 5.3. Представляет интерес сравнить решения обоих примеров.
§ 5.4. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей. Его целесообразно приме нять в том случае, если число независимых контуров в схеме меньше числа независимых узлов.
1.Обоснование метода контурных токов
Сущность метода заключается в использовании уравнений контурных токов, составленных по второму закону Кирхгофа с учетом первого закона Кирхгофа. При этом число уравнений уменьшается и равно числу независимых контуров.
В качестве примера составим систему уравнений контурных то ков дли схемы рис. 5.9,а.
Из системы уравнений 5.5 выпишем уравнения по первому за
кону |
Кирхгофа: |
|
|
|
|
V |
4 |
- i s |
- o - |
Из уравнений получим выражения токов |
общих |
для контуров I, |
II и |
III. |
|
|
|
|
1 , - т , |
4 |
- 1 |
|
Перепишем уравнения по второму закону . Кирхгофа из системы 5,5, подставив в них выражения таков 12 и 1«
' |
+ г г С х , - х 5^ - Е , |
, |
|
z 3 '4 +' |
* |
. h U 5 - i j ) - b i s - t f
После несложных преобразований получим систему из трех урав
нений с тремя неизвестными токами |
13, 15: |
' - z 4 i t + u 4* ^ i o v I ‘. i 5 ” 0 >
Введем некоторые определения, которые позволят решить сис тему уравнений 5.7 с помощью определителей и дать общую фор му системы уравнений .контурных токов.
Собственным сопротивлением К-го контура Z K(4 называется
сумма сопротивлений, входящих в к-й контур.
Общим или взаимным сопротивлением К-го и /-го контуров.
ZK? называется сумма сопротивлений, |
входящих в состав К-го и |
/-го контуров. |
|
Контурной э.д.с. К-го контура |
называется алгебраическая |
сумма э.д.с., входящих в состав К-го контура: |
к • |
(.5.8) |
Для схемы рис. о.».
—собственное сопротивление первого контура
^м “ ^ <+ ^ 2 1
—контурная э.д.с. первого контура
—>собственное сопротивлене второго контура
— контурная э.д.с. второго контура
Ег2=0;
— взаимное сопротивление первого н второго контуров
^<2 ” |
i |
— собственное сопротивление |
третьего контура^ |
— контурная э.д.с. третьего контура
Ё33=Н2;
— взаимное сопротивление второго и третьего контуров
Zi2j ” ^ %9 ~ ^ U.
Очевидно, первый и третий контуры не имеют общих сопро тивлении. Поэтому взаимное сопротивление первого и третьего контуров равно нулю:
2 <3 " Z 5\ = 0 -
Введем теперь понятие контурного тока. Под контурным то
ком К-го контура |
X |
будем |
понимать |
ток, проходящий в эле |
ментах только К-го контура. |
|
|
Для схемы 5.9: |
|
|
х = х • |
— контурный ток первого контура |
— контурный ток второго контура |
= Xj » |
— контурный |
ток |
третьего |
контура |
1 5 . |
Следует заметить, что во взаимных сопротивлениях проходят то ки, равные алгебраической сумме контурных токов смежных кон
туров.
Введение определений позволяет переписать систему уравне ний 5.7 в ином виде:
2 м |
“ 2 1 2 ^ гг+ 0 ‘ *зз * |
» |
~^ н +
. 0 и + ^ 32 ” 2зз h i = h i ■
Покажем теперь, что систему уравнений 5.9 для схемы рис. 5.9,а можно составить следующим образом:
1) Предположим, что в каждом независимом контуре 'прохо дит контурный ток с произвольно выбранным направлением (рис. 5.14). '
2) Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для каж дого независимого контура с учетом влияния контурных таков смежных контуров. При этом будем придерживаться следующего правила:
—напряжения, создаваемые на сопротивлениях контура то ком данного контура, необходимо брать со знаком «плюс»;
—напряжение, создаваемое на взаимном сопротивлении током