Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
9.14 Mб
Скачать

3 1 , - 6 1 г ” - 3 9 ,9

31^ + 6 1 2 ” 60

61, . — -2 0 И

откуда

I , в 3,35 а •

Подставляя полученное значение в (7), найдем

12 ” Ь,Ъ5 а •

Подставляя.значения 1| н 1г в (1), получим

I 5= -Sa.

Подставляя значения Ь и Ц в (4), найдем

Ть-И ,? а .

Подставляя значение I, ь (5), получим

1 ч “ - < Б , Б а .

Проверим выполнение первого закона Мрхгофа:

3,35 =* 8,35 - 5 —3,35 ;

1 ъ - 1 4 + 1 5 ;

Отрицательные знаки токов Ь й Ц означают, что их положи­ тельные направления выбраны неправильно. Дадим всем токам положительные значения и укажем их правильные положительные направления на схеме рис. 5.10:

I , -3,55a ’, 1а -& ,35 а; 1 j - 5 а;

1 5 *1Б,Ба.

Рис. 6ЛО.

. По закону Ома для участка цепи определим напряжения на элементах цепи и укажем на схеме их положительные направле­ ния, совпадающими с направлениями соответствующих токов:

211

и 1- а 11 , - 3 - 3 , Ъ5 * 4 0 b

; ■U2 ~ a £ I a “ 6 - 8 , ! > 5 * 5 0 B ,

'u s “, * 5 1 b", * '5 " * 0 e *

^АТ а“ 6

И,? Л?0Ь;

и , - *5 I s - S - « , b « 5 0 Ь .

 

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа:

— для первого контура

 

 

E ^ T J, -f\J2 ;

60 - Ю *50 - 6 0

^

— для второго контура

 

 

UA-TJ2 -\Jb - о;

7о~50-го-0

;

для третьего контура

-E 4“ "Um- \ J s ; -120 — 70 - 50 «-№ 0.

для внешнего контура (обход по часовой стрелке)

£ ,-

-U j -U j , 60-120 -10 -20 -50 ,

«ли

- 6Q - - 60 .

Следует заметить, что при использовании логарифмической линейки расчет производится с точностью до третьего знака.

Пример 5.6. Решить пример 5.3 методом уравнений Кирхгофа.

Р е ш е н и е

Схема рис. 5.5,а содержит два узла и два независимых конту­ ра. Поэтому система уравнений будет состоять из одного уравне­ ния по первому закону Кирхгофа н двух уравнений по - второму закону Кирхгофа.

За направление обхода каждого контура примем направление' по часовой стрелке. За условиоположительные направления токов примем направления, указаннречна схеме, Систему уравнений $0*

ставим

в комплексной

форме:

 

 

 

- т а + * тс

(.О

 

> F

- 7 Т +

(.2)

 

 

 

 

N. 0 " г с 1 т Г х 1 т е

 

Из (3)

имее*^

 

 

212

Подставляя

 

(4)

в

(I),

получим

 

 

 

^

 

 

 

 

L5)

Подставляя

 

(5)

в

(2),

найдем

 

Ч

- и - п г ^

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

J

,

 

i s a _________________l*i___________ i i L ,

mc“

- j a + 7 . u^ - j )

-j 200 +j200(ki - j )

200

откуда

0,705

Подставляя значение в (4), получим

i ms, — i 0,705.

Подставляя значения токов в (1), найдем

I * - 0,705-3 0,7О5 - е - ^ ‘

Комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи опре­ делим по закону Ома для участка цепи:

иm u-

z u i t t i - j 2oo е j 4 5 - 2 0 0 eAS\»

V rne“

Z cIm e— iiOO-0,705- f « e

- i 90е

;

 

г 1 * * -2 0 0 (- j Q ,705H M

- 190®

 

в

Полученные результаты совпадают с результатами примера 5.3. Проверим выполнение первого закона Кирхгофа:i

i -

i

* i mP; 0,?05-]0,705 - 0 , ?05~}0,705

ПТ

 

гПЦ “ с 1

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа:

— для первого контура

213

' hi иmu+

 

j*5

 

 

200 e

 

иди

 

 

 

,

<44 =•» Щ + j'iM- j (M “ (M

— для второго контур»

 

 

^ ' V

* 0 -

- j ^ *5 i M - o ;

— для внешнего контура

 

 

t -X L + \J

• i W - W + H M - j l M - W .

m mu

 

hi* *

J

J

Законы Кирхгофа

выполняются.

 

Переход к мгновенным значениям токов и напряжений осу* ществляется также, как в примере 5.3.

2. Особенности расчета цепей, содержащих идеальные источники (генераторы э.д.с. и тока)

Особенности расчета цепей рассмотрим на примере схемы рис. 5.U.

л

Рис. 5.11.

Рассматриваемая схема аналогична по виду схеме рис. 5.9,а. Поэтому для нее можно построить такое же дерево графа и сам граф (рис. 5.9,6).

• При заданных э.д.с., задающем токе 1г и параметрах схемы можно заметить следующие особенности:

1) Для контура I нет смысла составлять уравнение по второ­ му закону Кирхгофа, так как напряжение Un между узлами 1 и 3 известно и равно э.д.с. Е. Для внешнего контура и контура III нельзя составить уравнение из-за наличия генератора тока.

2) В схеме известии два тока: задающий ток в пятой ветви и ток во второй ветви 1г= X. .

214

d) Так как в схеме неизвестными являются только три тока, то достаточно составить систему из. трех уравнений с тремя неиз­ вестными токами.

Последовательность расчета цепи, содержащей идеальные ис­ точники, аналогична последовательности расчета цепи, не содер­ жащей идеальные источники. Число необходимых уравнений мень­

ше числ,. ветвей на количество

ветвей, содержащих

генераторы

э.л.с. и тока:

 

 

 

N^p ” Ng~

p g H

^5.6)

Пример 5.7. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.11,

если известно: Е=100 в; I ==10 a; Ti=2 Ом; гг=4 Ом;

 

Гз=5

Ом;

 

 

г4 = 6

Ом.

 

 

 

Р е ш е н и е

 

Число уравнений Кирхгофа согласно формуле 5.6

 

 

N^p “ 5*2 - Ь ■

 

Уравнения по первому закону

Кирхгофа составим для узлов 1 и

2. и по пторому закону Кирхгофа — для контура II.

Подставим численные значения в систему уравнений

1 , - 1

ъ + 50

,

0)

Xi,

- 1

^ + '0

f

12)

41.

= 5 1 ,-IOO .

IS)

к Э

 

^

 

 

Умножим па л почленно уравнение (2) и тгычтем его из yp4i>- иения (3).

4 1 , + 5 1 ^ -1 0 0

- 5 1 , + 5 1 ; - 5 0

9 1 ,

= 5 0

откуда

5,56 а

Подставляя 'значение 13 в (1), получим

I , - 55,6 а .

Подставляя значение 13 в (2), найдем

\ *

<5,6 а ,

 

 

Е

J00

50а •

* 2 “

2

 

Определим напряжения на элементах цепи по закону Ома для участка цепи:

иг - » а 1 5 - ^ ’ 5,56 - 2 2 , 2 8,

U S “ в 3 1 4 - У - « , 6 - 78 В,

V * - « 4 ХР - в-Ю “ 606,

TJ, - Е - 400 6 .

На рис. 5.12 показаны положительные направления напряже­ ний и токов.

Рис. 5.ia,

Пример 5.8. Определить токи и напряжения в схеме рис. 5.13,а, если известно: £r —cos (cat—45°); г—200 Ом; для частоты о> реак­ тивные сопротивления равны хь » Хс —200 Ом.

Р е ш е н и е

Построим дерево графа цепи (рис. 5.13,6). Схема содержит один независимый узел и два независимых контура. Так как неиз­ вестными являются два тока, то достаточно составить систему из двух уравнений.

Составим систему уравнений в комплексной форме. Одно урав-

216

некие запишем по первому закону Кирхгофа для узла I. Второе уравнение запишем по второму закону Кирхгофа для правого кон­ тура, приняв обход по часовой стрелке

I

ги*г

+

X _

— X

шг

»

 

 

*пс

 

zС i

т с -

ч ! moi - о

 

 

 

г

 

+

i

 

 

 

- j 200 i

-

200 :L

- о .

 

J

 

 

me

 

nva

 

Из уравнения (2) найдем

J ^ та •

Подставляя imc в уравнение (1), получим

1т , < . ' * П - е - Н5 °

или

I т , - ( г е И 5,-

е- ! ‘5”

•П®

•)

откуда

Xw^ o |7 Q ?e-j90°~ -3

Ток в емкости

0 )

ISO

± в д - 0,707 .

Определим напряжения на элементах схемы:

*]2 оое-j*5°2 оо еjitSb;

^ тс ■-j 200 0,10*7—-J* <44 —

е - ’' 90,

-j 9о®

217

Проверка выполнения законов Кирхгофа и переход к мгно­ венным значениям токов и напряжений производятся также, как

а |

$

Рис. 5.13.

в примере 5.3. Представляет интерес сравнить решения обоих примеров.

§ 5.4. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей. Его целесообразно приме­ нять в том случае, если число независимых контуров в схеме меньше числа независимых узлов.

1.Обоснование метода контурных токов

Сущность метода заключается в использовании уравнений контурных токов, составленных по второму закону Кирхгофа с учетом первого закона Кирхгофа. При этом число уравнений уменьшается и равно числу независимых контуров.

В качестве примера составим систему уравнений контурных то­ ков дли схемы рис. 5.9,а.

Из системы уравнений 5.5 выпишем уравнения по первому за­

кону

Кирхгофа:

 

 

 

 

V

4

- i s

- o -

Из уравнений получим выражения токов

общих

для контуров I,

II и

III.

 

 

 

 

1 , - т ,

4

- 1

 

Перепишем уравнения по второму закону . Кирхгофа из системы 5,5, подставив в них выражения таков 12 и 1«

'

+ г г С х , - х 5^ - Е ,

,

 

z 3 '4 +'

*

. h U 5 - i j ) - b i s - t f

После несложных преобразований получим систему из трех урав­

нений с тремя неизвестными токами

13, 15:

' - z 4 i t + u 4* ^ i o v I ‘. i 5 ” 0 >

Введем некоторые определения, которые позволят решить сис­ тему уравнений 5.7 с помощью определителей и дать общую фор­ му системы уравнений .контурных токов.

Собственным сопротивлением К-го контура Z K(4 называется

сумма сопротивлений, входящих в к-й контур.

Общим или взаимным сопротивлением К-го и /-го контуров.

ZK? называется сумма сопротивлений,

входящих в состав К-го и

/-го контуров.

 

Контурной э.д.с. К-го контура

называется алгебраическая

сумма э.д.с., входящих в состав К-го контура:

к •

(.5.8)

Для схемы рис. о.».

собственное сопротивление первого контура

^м “ ^ <+ ^ 2 1

контурная э.д.с. первого контура

—>собственное сопротивлене второго контура

^•52 в

+

»

— контурная э.д.с. второго контура

Ег2=0;

— взаимное сопротивление первого н второго контуров

^<2 ”

i

— собственное сопротивление

третьего контура^

219

— контурная э.д.с. третьего контура

Ё33=Н2;

— взаимное сопротивление второго и третьего контуров

Zi2j ” ^ %9 ~ ^ U.

Очевидно, первый и третий контуры не имеют общих сопро­ тивлении. Поэтому взаимное сопротивление первого и третьего контуров равно нулю:

2 <3 " Z 5\ = 0 -

Введем теперь понятие контурного тока. Под контурным то­

ком К-го контура

X

будем

понимать

ток, проходящий в эле­

ментах только К-го контура.

 

 

Для схемы 5.9:

 

 

х = х •

— контурный ток первого контура

— контурный ток второго контура

= Xj »

— контурный

ток

третьего

контура

1 5 .

Следует заметить, что во взаимных сопротивлениях проходят то­ ки, равные алгебраической сумме контурных токов смежных кон­

туров.

Введение определений позволяет переписать систему уравне­ ний 5.7 в ином виде:

2 м

“ 2 1 2 ^ гг+ 0 ‘ *зз *

»

~^ н +

. 0 и + ^ 32 ” 2зз h i = h i ■

Покажем теперь, что систему уравнений 5.9 для схемы рис. 5.9,а можно составить следующим образом:

1) Предположим, что в каждом независимом контуре 'прохо­ дит контурный ток с произвольно выбранным направлением (рис. 5.14). '

2) Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для каж­ дого независимого контура с учетом влияния контурных таков смежных контуров. При этом будем придерживаться следующего правила:

напряжения, создаваемые на сопротивлениях контура то­ ком данного контура, необходимо брать со знаком «плюс»;

напряжение, создаваемое на взаимном сопротивлении током

220

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ