книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме
.pdfРп |
С зло |
pn - ' f p * + ~ p * |
С.ЗЛ2) |
Ч’ —a^ tt^ —- |
(зла) |
*» (rtctcj ~ - |
Сзлл) |
Следует заметить, что" сГучетом знака фазового сдвига реак тивная мощность, потребляемая емкостью,, имеет отрицательный знак.
Определим мгновенную мощность, потребляемую обеими це пями:
Р*“ Ui “ U^SlW^Git ± |
cot =“ |
-- u lm . [cos<j* - tos(гcot t <?)] -
-\TIco*c?-UItos(£ut* q )
или окончательно
P - P - P n cQ S (,2«t± < f) • |
CSAS) |
Знак перед фазовым сдвигом <р берется положительный, если цепь содержит активное сопротивление и индуктивность. Для це пи с активным сопротивлением и емкостью берется знак «-минус».
Энергия, потребляемая цепью от источника за 'время, равное одному периоду тока
Yl |
т |
т |
е |
|
|
\ Pdt - |
\ Рd t- ] PnC0s(SLCdt * cf4) dt “* |
||||
|
|
о |
О |
т |
|
- |
рт- “ |
|
(,2wt i су)^ - |
рт |
|
Результат |
совпадает |
с выражением |
3.3. |
Значит за период |
|
энергия источника потребляется безвозвратно только активным
сопротивлением цепи.
На рис. 3.13 представлены временные диаграммы тока, напря жения на зажимах цепи и мгновенной мощности для обеих це
пей (Р| и. Р2).
Проведённый анализ позволяет сделать следующие выводы: 1) В цепи с последовательным соединением активного сопро
тивления и индуктивности напряжение на зажимах цепи опере
жает |
ток по фазе |
на yroл о с ^ с — |
(угол <р положительный). В |
цепи |
с последовательным соединением активного сопротивления |
||
и емкости напряжение на зажимах |
цепи отстает от тока по фазе |
||
на yronCk^i ^ |
(угол <р отрицательный). |
||
2) |
Величина фазового сдвига ip зависит от соотношения между |
||
активным и реактивным сопротивлениями, а знак — от характе ра реактивного элемента (положительный для индуктивности и отрицательный для емкости).
3) Полное сопротивление цепи зависит как от параметров це пи, так и от частоты источника. Характер полного сопротивления активно-индуктивный (активно-емкостный).
4) Мгновенная мощность содержит две составляющие: посто янную составляющую, равную активной мощности, и гармониче скую составляющую с удвоенной частотой 2м и амплитудой, рав ной полной мощности. Положительный знак мгновенной мощно сти указывает на то, что энергия источника потребляется цепью.
Отрицательный знак мгновенной мощности говорит о том, что энергия возвращается источнику.
5) Энергия, потребляемая цепыо за период тока, равна энер
гии, безвозвратно потребляемой активным |
сопротивлением. За |
||||
ото же |
время индуктивность |
(емкость) |
дважды |
накапливает |
|
энергию |
и дважды |
возвращает |
ее источнику. Между |
источником |
|
и индуктивностью |
(емкостью) |
происходит |
колебание энергии. |
||
Энергия, потребляемая цепью за время от ti до численно равна площади, ограниченной кривой мгновенной мощности и осью абс цисс в интервале от orti, до <ot2.
6) Лмплитуднбе (действующее) значение напряжения на за жимах цепи равно геометрической сумме амплитудных (действу ющих) значений напряжений на активном сопротивлении и реак тивном элементе.
Пример 3.1. В схеме рис. 3.14 известно:
е “ lOOs'lh £>280t; t -= 400 ом j С = 0,Бмк.ф
Требуется определить:
i , L , и. £ , u.c , и.
102
г
Р е ш е н и е Определим линейную частоту э.д.с.
. _ |
со |
5280 |
Ю5ги, 1кги, . |
|
е й ” |
Ь,28 |
|
|
|
||
Емкостное сопротивление |
|
|
|
X, |
_ L |
ш ' |
Ъ\% ом |
|
|||
|
соС |
ьг&о- Q,5 |
|
Полное сопротивление |
цепи |
|
|
Z —>Г**а +- =>JmS02- ^ 8 2” 5Uom .
Величина фазового сдвига между напряжением на зажимах цепи и током
¥ - a « t « 3 - ^ - a a c t < a - ^ * 5 * e50' .
Амплитуда тока
_ |
£-т |
<00 |
|
- у |
* - 5^ - ^ 0,145 а - <95 ма . |
г
и.
I
о -
Рис. 3.14.
Так как ток в цепи опережает по фазе э.д.с. на угол ф (см. рис. 3.9,6), то мгновенное значение тока равно
I - I к Sin ( o t + 4) - 0,(95 Sin.(.S2801 + 58вЪ0') .
Амплитуды напряж£нии на активном сопротивлении, емкости и зажимах цепи:
1 1 m - 400 0,(95 - 78 S ;
103
v m~ |
- 1006 |
или |
|
Ъ Хпг= 5vl' |
* tOO й . |
Мгновенные значения напряжений:
U* - Um*s’m ^ + tv>0“ 78s’m CWSQt + :5^ 0’) »
так как напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током (см. рис. 3.2,а);
a ceU tnc sln- (“ t + “ 90 ) — ea slrt (b280t51a50') ,
так как напряжение на емкости отстает от тока по фазе на угол
90° (см. рис. 3.5,6);
a |
+ 4>i - 4’) = <00 Sin. 62801 |
, |
|
так как напряжение |
на зажимах цепи отстает от тока по |
фазе |
|
на угол ф (см. рис. 3.9,6). |
цепи |
равно |
|
Следует заметить, |
что напряжение на зажимах |
||
э.д.с. Второй закон Кирхгофа для амплитудных значений напря жений не применим:
\Jrn>, + Umt ; |
<00+78-1-62 • |
|
||||
Пример 3.2. В схеме рис. 3.15 известно: |
|
|||||
I -= 0,195 bin. <ot ^ "2 =■ 400 |
ом |
|
Хи—628 ом , |
L " 0,5 гм |
||
Требуется определить: |
$ ; |
и ^ ; |
|
и. и и . |
|
|
Определим линейную частоту тока: |
|
|
|
|||
со |
Xu |
628 |
1256 p |t |
, |
||
U |
0,5 |
|||||
|
|
|
||||
откуда
1256
200 ги, .
6,а&
Мгновенное значение тока
i. - 0,195 Slri 1256 t •
Полное сопротивление цепи
7L - / г * * X * J Ь о о 2 + 6 2 = » m ом .
104
Фазовый сдвиг между напряжением на зажимах цепи и током
< y -a * c t< 3 |
а * с Ц ^ « 5 0 вг 4 ' . |
Амплитуды напряжений на элементах и зажимах цени:
у т и “ х | Д т “ b 2 » - 0 ,M S - « 5 s ,
или
V*. “ * 1 т -*71Л.О,А95 - ^ 5 Ь ,
Мгновенные значения напряжений:
и.^— и ^ и г (^cot + ^ / ) “ 7& sia i25b t ,
так как напряжение на активном сопротивлении совпадает по фа зе с током (см. рис. 3,2,а);
+<f|+<50o)«42Ssm(j25(>t+ 90°) ,
так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на
90° (см. рис. 3.9,а);
Sin. (q \. + “ АЦ5 si.n .(j256t * 5 o ° 2 ^ ') ,
так как напряжение на зажимах цепи опережает ток по фазе на угол ф.
Пример 3.3. Для примера 3.1 проперить выполнение баланса
активных и реактивных мощностей.' Р еш ен и е
Активная мощность, потребляемая цепью:
поз
■) — А-00 |
0,195* |
*7,6 вт. |
" - ч - Ч т Р 4* |
|
|
Реактивная мощность, потребляемая цепью: |
||
Pt - x c l2- |
вар • |
|
Активная мощность, развиваемая генератором э.д.с. |
||
Рг » Е IC O S^ — Ю° ;- |-- |
5 C0S3%e50'*7,6 Ьт . |
|
Реактивная мощность, развиваемая генератором з.д.с.
Рчг™ЕI Sin.«? = "°° °’^ 5 - Sin ^Se50‘ * 6,05 вар
Баланс мощностей выполняется:
Рг-Р; р*г - Ре .
2. Анализ цепей комплексным методом
Рассмотрим |
схемы |
рис. 3.8,в, г. |
Мгновенный комплекс |
гока |
|
|
|
|
1 - е ju t |
|
|
Уравнение |
по второму |
закону Кирхгофа в комплексной форме: |
|||
|
|
+■LL |
|
U-K5* a |
|
U'K « +U'KU° |
|
|
|||
=» |
+ I |
CUK |
|
|
|
__ |
|
* ,4"tK'v T V |
<=r |
||
к |
u |
dt |
|
||
яl i< + i cO LI Ui
или |
или |
^ K * jc o t1K |
«'k"C «+jw b )\.K- ( k4 + jX u> Kk
Полученные соотношения выражают закон Ома в комплексной форме. Множитель в скобках имеет размерность сопротивления и представляет комплексное полное сопротивление цепи:
Z = ^+jcoL- a + jXu. СЗЛ6) |
i |
Модуль комплексного сопротивления
Аргумент комплексного |
сопротивления |
«f— a a c t t j b s . |
С.3 Л 8 ) |
юв |
|
+ Х
9 = * a ^ c t o ~ - (А ч?) i с
Комплексное полное сопротивление в показательной форме записи
|
Z |
г е JV |
Если |
д- то полное сопротивление цепи имеет активно- |
|
индуктивный характер. Если — —-<.с/40 , то оно имеет активно емкостный характер. г
Комплексная полная проводимость цепи в показательной фор ме записи
1_
г |
г * |
|
или |
-3е? |
|
>»- 'je |
||
|
где модуль комплексной проводимости
£х1*Г
'и
Комплексная проводимость в тригонометрической форме записи
j\|S L n ^ .
Комплексная проводимость в алгебраической форме записи с уче том знака фазового сдвига:
где |
з - q |
- i k |
• |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
; |
6 Ц*= |
cf - |
|
|
6c“ Njbln.tf. |
|
Аргумент |
комплексной |
проводимости |
цепи |
|
|
|
|
|
|
- §L |
С 3.50) |
- |
, |
&с |
0 -5 1 ) |
-4>-a«tg - у |
CL^cto |
-т1= |
|||||
|
|
|
|
|
|
<3 |
|
Знак «минус» подчеркивает тот факт, что |
аргументом |
ком |
|||||
плексной .проводимости |
является величина |
|
|
|
|||
|
|
|
- Ц>= |
9 ^ . |
|
|
С3.52 ) |
Если аргумент отрицательный (—*р<0), то полная проводи мость цепи имеет активно-индуктивный характер.
Мгновенный комплекс напряжения на зажимах цени в показа тельной форме записи
107
и-к в
или
а - ^■к
где
|
=>20 |
1 ^ 0 |
jcot |
|
|
||
и |
e !c “ |
t * 4’> |
, |
|
m с |
|
Ч т- П т~ 1 т < г ^
Мгновенный комплекс напряжения на зажимах цепи в триго нометрической форме записи:
ttteUrncos(at+чО+jU^ iLn(«t+ч).
Мгновенное значение напряжения на зажимах цени;
|
U “ 5’U>n b'm (cot+ у ) |
|
|
|
где |
gr |
|
0<. \ Ч \ < - %■ • |
|
|
0 ^ 4 |
|
|
|
Комплексная полная мощность, потребляемая цепью, в пока |
||||
зательной форме записи |
|
|
||
Р = \ri= \J eJSPie"jQ= |
Pn«=ui=TJe”l4ie 'j0- |
|||
- |
u i e l4*= PneJC* - |
- \ j i e _w- p n e ‘j 4 |
' |
|
Комплексная мощность в тригонометрической форме записи |
||||
Р„= pn CQS<? + j pnsla c ^ |
Ря " РПС Л Ч :\Р П^ Ч |
• |
||
Комплексная мощность в алгебраической форме с учетом зна |
||||
ка |
фазового сдвига |
|
|
|
|
Рп“ Р+1ри |
^-55) |
P n ' P - i P u |
|
где |
|
|
где |
|
|
Р=- Рп C05>Cf*Ul CQStf |
P = PnCQS<f = UlC0*C£ |
||
|
РЦ«Р П |
Vin.4> |
Рс = Pn -bun.c$«UI ь1пф |
|
очевидно, |
|
Рс ^ О . |
|
|
|
|
Р ц ^ О , |
|
|
108
Проведенный анализ цени позволяет сделать следующие вы
води:
1) Напряжение на зажимах цели и ток сдвинуты но фазе на угол 0 4 . • В цепи с активным сопротивлением и индуктив ностью напряжение на зажимах цени опережает ток по фазе на угол ф, а в цепи с активным сопротивлением и емкостью напря жение отстает от тока но фазе на угол ф.
2)Полное сопротивление (проводимость) цени зависит от час тоты тока источника.
3)Цепь потребляет активную и реактивную мощности. Актив
ная мощность характеризует безвозвратные потери энергии в активном сопротивлении цепи, а реактивная — накопление энер гии в индуктивности (емкости). Между реактивным элементом и
источником происходит колебание энергии.
4) На активно-индуктивный характер цени указывает положи тельный знак перед мин мой частью комплексного полного сопро тивления и комплексной мощности или отрицательный знак перед мнимой частью комплексной полной проводимости. На активноемкостный характер цепи указывает отрицательный знак перед мнимой частью комплексного полного сопротивления и комплекс ной мощности или положительный знак перед мнимой частью комплексной полной проводимости.
Пример 3.4. Решить примеры 3.1 и 3.3 комплексным методом.
Р еш ен и е
Линейная частота э.д.с.
Емкостное сопротивление
Мгновенный комплекс э.д.с.
Комплексное полное сопротивление цели
Z » ‘S - jX c -4 0 C -i5 (&
Модуль комплексного полного сопротивления цепи
Аргумент комплексного сопротивления
. - * с |
, -318 |
» , |
==--SB 30 .
Комплексное сопротивление в показательной форме
£ - 2 e - v - 5 i i e " jS6 30
Мгновенный комплекс тока
Л1гновенное значение тока
8,^ |
100 e j6280t |
j(6280t + 38°30') |
sn e “j5a°30' ** ^ ,,g 5 e
Мгновенное значение .иадюяжещщ на активном сопротивлении
U г - 2 L - 78 sin ^62801 + Ъ8 °Ь0 ') .
Мгновенный комплекс напряжения на емкости
Из рис. .1.14 видно, что напряжение на зажимах цепи равно э.д.с. Комплексная полная мощность, потребляемая цепью и развивае мая источником
Р „ - и ! |
юо pi0 o,i35 |
-1з&вьо'_ |
|
>ГС |
* |
||
‘ |
|||
= 9,45 е-)Ъ%° 30'- |
9,*?5 С0ЪЗа°Ъ0*- i 9,7S SiTT. 58°30' |
||
откуда легко определить активную и реактивную мощности, раз виваемые генератором з.д.с.:
Рг - 7 ,& а т ; |
Рк г - - 6 , 0 5 Ьар . |
Мощность, потребляемая активным сопротивлением
р ** Ъ 1а«400- 0,195 г —7,6 Вт .
Комплексная мощность, потребляемая емкостью
62 -i 51е SO* 0,195 -3 38°30*
н,05
4 Г -
Мощность, потребляемая емкостью
1ie>