книги из ГПНТБ / Дунаев В.В. Анализ линейных электрических цепей в установившемся режиме
.pdfM l
Реактивная мощность, потребляемая цепью
Ч - Ч . 1 |
I Pt - U cI s i. n c f -- U Л |
|
■UIH |
\ * |
u i - x Li Si- 6 l<\ja |
u s ij |
pt — u i — xti - - 6 c\r*. |
||
Полная мощность, потребляемая цепью |
|
|
|||
*•’ |
— VJI -> Р |
! |
о |
_ \J -г = р„ |
|
П |
и |
' |
• П |
ь |
с » |
|
|
1це |
|
|
|
|
|
I |
Р. = UI Sin 14* 1 . |
||
|
|
! |
|
|
|
Следует заметить, что реактивная мощность представляет со бой максимальную мощность, потребляемую реактивным элемен том. Отрицательный знак мощности, потребляемой емкостью, под черкивает только емкостный характер цепи
Мгновенная мощность, потребляемая цепью
э ~ .и L= U m s>Ln f<ot ± Q0a) I niS(.ria3t |
”- ~ |
или |
W-iо) |
P - tUIsm2«t ■ |
Энергия накопленная реактивным элементом в момент вре мени t:
Ul2 |
L it ... |
v v |
51 sin c &yb |
LLг
f^ < J -C Q S 2 c o O » 4
или
UI* (/l-C0S2G)t) <JbM )
c г |
= |
г |
cos*w t« |
|
|
4
или
си г
VJc= -~ -(i^C Q S 2c3t) -(3 <2)
Максимальное значение энергии, накапливаемой реактивным элементом
92
|
a |
|
CUm |
|
|
|
|
Ы т |
- L I |
c u e |
<^<4) |
||
I4L |
г |
2 |
||||
|
|
|
||||
Энергия, |
накопленная реактивным |
элементом в момент време |
||||
ни t - T
4л
Энергия, накапливаемая реактивным элементом за время од ного периода тока (напряжения):
Тт
V4(T)« J PdLt - |
w t d t - 0. |
о\
Полученные математические выражения позволяют построить временные диаграммы тока, напряжения и мгновенной мощности (рис. 3.G). На рис. 3.7 представлены временные диаграммы мгно венных мощностей н энергий, построенные на основании выра жений 3.10—3.12.
Проведенный ■анализ цепей по тволнет сделать -следующие вы-.
воды:
1) Напряжение н ток в цепи'с реактивным элементом сдвину ты но фазе на угол ±90'\ В пени с индуктивностью напряжённо опережает ток по фазе на 90°. а в цепи с емкостью напряжение
отстает от тока по фазе на 90а. |
даписит от |
ч а |
|
2) |
Реактивное сопротивление (проводимости) |
||
стоты |
тока источника. |
равна нулю, |
а |
3) |
Активная мошнесть, потребляемая цепью, |
||
'рейАтивиа* мощное?» ло величине равна полной мощности
(eeSf^O) |
Hejrevy в ««пи «псуптауют 6«звв*вра1ные потере» |
ПО-рП'.Н. |
|
4)Мгновенная энергия имеет пульсирующий характер и со
стоит из двух составляющих: постоянной |
составляющей, разно» |
|||
vJm/a |
. н |
гармонической составляющей, |
имеющей |
амплитуду |
V , w 2 |
и |
удвоенную частоту 2ш. Это говорит о том, |
что реактив |
|
ими элемент то накапливает энергию, то отдает ее обратно источ нику.
5) Мгновенная мощность изменяется по гармоническому за кону с удвоенной частотой н амплитудой, ранной реактивной мощности.
6) Положительный знак мгновенной мощности указывает на то, что энергия источника накапливается в реактивном элементе. Отрицательный знак мгновенной мощности говорит о том, что энергия, накопленная в реактивном элементе, возвращается ие точнику.
7) Энергия, накопленная в реактивном элементе за время от ti до t2, численно равна площади, ограниченной кривой мгновен ной мощности <н осью обсцнос в интервале от wti, до оЛ2.
8) Энергия, накопленная в реактивном элементе за время од ного периода тока, равна пулю. Это означает, что происходит ко лебание энергии между источником и элементом. За время, рав ное одному периоду тока, реактивный элемент дважды накапли вает энергию источника и дважды полностью возвращает ее ис точнику.
2. Анализ цепей комплексным методом
Рассмотрим схему рис. 3.3,в, справедливую для индуктивности и емкости. Мгновенный комплекс тока
Мгновенный комплекс напряжения (см. ф. 2.17; 2.18)
Полеченные соотношения выражают закон Ома в комплексной форме. Множители ji»L и 1/jcjG имеют размерность сопротивле ния и представляют собой комплексные индуктивное и емкостное сопротивления
Комплексные сопротивлении имеют чисто мнимый характер. Мо дули комплексных сопротивлений равны реальным реактивным» сопротивлениям:
cj i. = |
\ , |
tbIT) |
A c" |
сое |
<.Ы&) |
|
|
|
Л С |
||
Комплексное сонроывлсние и показательной форме |
|||||
I |
1 |
0.(9) |
2. = хге |
<чЪ.го) |
|
■ Г \ Л |
|
||||
|
|
^ |
с |
|
|
т. |
|
|
I. к. |
-1 »/а |
|
i*/e |
|
- , |
|||
.1 *=■€ |
|
|
«= е |
|
|
Комплексная приводимоегь цени в пока 1аЛ'_льиой и. алгеооаи'ь*- ской форме-
чi
или
^U" i Le'
где
j |
-e |
|
г |
* \ .a |
|
|
|
* |
1 |
OV |
tv«) |
t—• |
r |
||
Ni |
му |
i |
i |
е |
i * |
|
г» ---- |
|
|||
“С |
|
г с' |
\ с |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
i */г |
|
|
|
V V |
|
УЪ.22) |
|||
|
|
||||
где
\i = & |
- i |
i (.5.25) |
'j = &с |
1! |
=» Wv, |
. ^.2А) |
Ju |
u |
« L |
|
Мгновенный комплекс напряжении на зажимах цени в показа
тельной |
форме- |
|
|
|
||
а |
KL — 2 и к «* |
и к Г “ С 1 К. |
||||
|
|
|
|
|
|
i( o t - « |a ) |
|
|
|
|
|
|
- *с »n е |
ИЛИ |
|
|
|
|
ц ы Ь * /г ) |
и л и |
w.u, =»li |
|
|
||||
|
£ |
■КС И1С |
||||
|
KL |
|
',пц. |
|
||
г д е |
1 Г |
|
- |
х л |
где |
|
|
|
|
||||
|
mu |
|
У, *■m |
|
||
.Мгновенный |
комплекс напряжения |
на оокнмах цепи в тригоно |
||||
метрической |
форме |
|
||||
|
t t K L " ^ c o s iw t* i"V |
|
||||
+ iU _ « (,Д о ( - ? 1 |
|
|||||
Мгновенное значение напряжения |
на зажимах цели |
|||||
I
u l- u tnu SinCu t +t ) |
ttc* u meain |
' T ) |
Комплексная полная мощность в показательной форме:
или |
или |
Комплексная полная мощность в алгебраической форме
Pn - ru ul - iP u (.3.25) |
Pft— iUt I — iPt |
где
Комплексная полная мощность, потребляемая реактивным элементом, представляет собой чисто мнимую величину. Модуль комплексной мощности ранен реактивной мощности. Очевидно, активная мощность, потребляемая реактивным элементом, равна
нулю.
Проведенный анализ цени позволяет сделать 'следующие пи-
воды:
1) Напряжение и ток в цепи с реактивным элементом сдвину
ты по фазе на угол ± ^ . В цепи”с индуктивностью напряжешь: опережает ток по фазе на угол® /£,а в цепи с емкостью напря жение отстает от тока по фазе на угол Л/а.
2)Реактивные сопротивления (проводимости) завися г от ча стоты тока источника.
3)Активная мощность, потребляемая реактивным элементом, равна нулю, а реактивная мощность равна полной мощности. По
этому в цепи отсутствуют безвозвратные потери энергии. Между источником п реактивным элементом происходит колебание энер гии.
Сравнивая результаты анализа обычным методом (см. ф. 3.8 и 3.9) и комплексным методом (см, ф. 3.15^-3.26) можно сделать выводы,, важные при использовании комплексного метода:
—на индуктивный характер сопротивления .цепи указывает положительный знак перед мнимой частью комплексного сопро тивления и комплексной мощности или знак «минус» перед мни мой частью комплексной проводимости;
—на емкостный характер сопротивления цепи указывает знак «минус» перед мнимой частью комплексного сопротивления н ком плексной мощности или знак «плюс» перед мнимой частью комп лексной проводимости.
§ 3.4. ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ИНДУКТИВНОСТИ, АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ЕМКОСТИ
Допустим, по цепи (рис. 3.8,а, б) проходит ток с начальной
фазой, , ааной нулю |
=0): |
|
i » I m S in cot |
Ток создает напряжения на элементах цепи и на ее зажимах. Выбрав произвольно условноположительное направление тока,
Рис. з.а.
примем условноположительные направления напряжений совпа дающими с направлением тока. Проведем одновременно анализ обеих цепей обычным и комплексным методами.
1. Анализ цепей обычным методом
Согласно закону Ома для участка цепи:
U. = Ч.I =* |
Sin cot |
t |
t J f t v j • |
V |
|
|
|
На основании выражений 1.14 и 1.1П |
|
||
u . * |
L ~ |
|
* 90°) . |
b |
d t |
|
|
где |
U m.u oiL I |
|
|
|
>rt 4 |
^ |
|
Совершая обход контура каждой цени по часовой стрелке, на пашем уравнения по второму закону Кирхгофа:
0 - и |
г + U.u - U . |
o - V |
u c - u |
|
|
||
ИЛИ |
|
ИЛИ |
|
U - |
и г + |
. |
с |
Построим векторные диаграммы тока и напряжений (рис. 3.9). За исходный вектор удобно взять вектор тока. Вектор напряже ния на зажимах цепи находится путем геометрического сложения векторов напряжений на элементах цепи.
Из векторных диаграмм напряжений легко определить вели
чину и знак фазового |
сдвига между напряжением |
на зажимах |
||
цепи и током |
|
|
,а также мгновенное значение напряже |
|
ния на зажимах цепи: |
|
|
|
|
О |
40е |
- <30** ч ц . |
0 |
|
a -Um Vm(cat+ <*)
где угол f взят по абсолютной величине.
Векторные диаграммы легко преобразовать в треугольники на
пряжений (рис. 3.10).
Из треугольника напряжений можно определить амплитуду на пряжения на зажимах цепи и абсолютную величину фазового
сдвига:
Из треугольников напряжений следуют также очевидные со отношения:
V |
u « cos^ ’ Ч*.г Ч п* п «г . Ч ч с - Ч * * * 1 * • |
98
4)
Рис 3.9.
Urnx
Рис. 3.11.
Рис. 3.12.
.»S>
Если стороны треугольника напряжений разделить на ампли туду тока, получится треугольник сопротивлений (рис. 3.11) Активное сопротивление цепи
|
г |
и* |
|
|
|
I |
|
||
|
|
|
||
Реактивное сопротивление |
цепи |
|
||
у - |
Ч п ь - Ч |
U, |
т |
|
УП |
||||
u |
I |
|||
Из треугольников сопротивлений следуют очевидные соотношения:
8 * |
ZCOS^ |
*8 = XGOScJ |
||
Xl“ 2 51и.<£ |
XG= |
2 |
$Ltaq> |
|
|
(3.32) |
|
|
.(з.зз) |
|
Ха |
t - |
J |
с |
|
u |
|||
|
X, |
|
|
Xc |
Если |
стороны треугольника |
напряжений |
г |
|
разделить на /I T и |
||||
умножить на действующее значение тока, получится треугольник мощностей (рис. 3.12). Треугольник мощностей можно полечить и из треугольника сопротивлений, умножив его стороны на квад рат действующего значения тока.
Активная мощность, потребляемая новью |
|
P = U * I - < a i2 = ( ^ |
Сз.ъ*0 |
Абсолютная величина реактивной мощности, потребляемой цепью
О-55) 1 Pt=U,l-otI2 С«е)
Реактивная мощность представляет собой максимальную мощ
ность, потребляемую реактивным |
элементом. |
|
Полная мощность, потребляемая цепью |
|
|
Рп =ХГ1 = 2 1 |
г . |
(.3.37) |
Из треугольника мощностей следуют очевидные соотношения:
Р — РпС0%<у— их соъу |
Сз.зв) |
|
Pu- ‘ Pn S iK ^ (.3.59) |
Рс= Рп Via ч |
(ь*о) |
100