книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdf
|
|
|
|
Г ^ к = * е к . |
|
|
|
|
(9) |
|
||
Тогда |
оистеыа |
(9) |
будет иметь решения Ьл>Ьг |
|
t0 |
(даже |
||||||
не одновначныѳ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Итак, |
всякую |
корреляцию можно описать |
формулами |
|
|||||||
|
|
|
|
|
« і " - а ; к < |
|
|
|
|
НО) |
||
где |
Qi K |
= t ^ K |
• Наиболее |
общее |
преобразование, |
осущест |
||||||
вляющее |
ту же корреляцию, |
очевидно, имеет вид |
|
|
||||||||
|
|
|
|
иц |
a,-**1?' |
|
|
|
|
( И ) |
|
|
|
Выясним вид функций |
t/Y (I), Формулы |
(10) |
переведут |
пря |
|||||||
мые |
и; |
, |
проходящие черев точку |
И (x'j |
f |
т 0 |
есть удов |
- |
||||
лѳтворяющие |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(12) |
|
в точки |
X*' |
, удовлетворяющие уравнению |
|
|
|
|
||||||
(аі«*')*к*о. (13)
то есть в втой корреляции точка М(х') должна перейти в прямую m 'fw„')
|
|
|
uK ' = Q l K x \ |
|
|
(14) |
||
|
5 88. |
Аналитическая |
форма |
инволюционной |
|
|||
|
|
|
|
|
корреляции |
|
|
|
|
Пусть два поля |
лс |
и |
дг' |
совпадают, также |
и ре |
||
перы |
R |
и Я ' . Корреляция будет инволюционной, |
если |
|||||
точке |
M |
, независимо от того, к какому полю ее отнести |
||||||
(обозначать |
ее |
координаты через х |
, или через х' |
) , |
||||
соответствует |
одна |
и та же прямая. Формулы ('87.10) |
и |
|||||
(87:.14) должны давать одну и ту же прямую, то есть |
|
|||||||
|
|
м 4 : « , : Ч > = |
<•'/•'w «'; t 'o', |
|
( D |
|||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а , к г ^ а к , - |
|
|
(2) |
||
330.
для |
всех |
индексов t |
и |
к |
, |
то |
есть |
и |
|
|
|
|
О к і = А О ; к . |
|
|
|
(3) |
||
|
Значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QCKS * 4 - K |
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
<ï-V)Cl1 ( f =0. |
|
|
|
(5) |
||
Поскольку |
все |
Qt K |
не |
могут |
одновременно равняться ну |
||||
лю, |
то |
|
Л1 = 1. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||
|
Если |
А |
= - 1 , коэффициенты |
0 1 К |
образуют анти |
||||
симметричный |
тенэор,' |
Qi K = -QK ,' |
, |
определитель |
|||||
|
|
|
О |
|
аЧ 1 а, |
-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 7 ) |
|
- а . 0 - а», о
равен нулю, что противоречит взаимной однозначности с о ответствия. Значит Л . 1 , коэффициенты а ( К симмѳ - тричны
|
Q«\ = |
û « t . |
|
|
|
(8) |
|
фундаментальная кривая инволюционной корреляции - его |
с о |
||||||
вокупность |
таких точек H фс') |
, т о |
соответствующая |
ей |
|
||
прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
«к *•*.•„ |
|
|
|
( 9 |
) |
|
черев нее |
проходит, то |
ѳоть |
|
|
|
|
|
|
аікХ1'хк=0, |
|
<Хы=акі. |
|
(Ю) |
||
фундаментальной кривой может олужить любая кривая |
|
||||||
2-го порядка, потому,что полярное соответствие относи |
- |
||||||
тельно любой кривой 2-го порядка - |
инволюционная коррѳ |
- |
|||||
ляция. Значит, уравнение любой кривой 2-го |
порядка |
име |
|||||
ет вид (10). |
|
|
|
|
|
|
|
Обратно, всякое уравнение 2-ой |
степени |
(которое в с е |
|||||
гда можно представить |
в виде |
(10)), |
будет уравнением |
нѳко- |
|||
331.
рой кривой 2-го порядка, если имеет хоть одно решение. Действительно, коэффициенты а<;к этого уравнения опре делят инволюционную корреляцию, в которой уже имеется од на самосопряженная точка, значит, фундаментальной кривой будет кривая 2-го порядка, уравнением которой будет урав нение (10).
Обобщая, будем говорить, что уравнение
не имеющее ни одного действительного решения ( то есть нет ни одной точки плоскости, координаты которой удовле
творяют этому уравнению), также определяет кривую 2-го по
рядка - мнимую кривую 2-го |
порядка. |
|
|
|
|||||
|
Инволюционная корреляция - полярное соответствие |
|
|||||||
относительно |
ее |
фундаментальной кривой 2-го порядка |
|
|
|||||
|
|
|
|
а , к ж'зс к = о . |
|
|
( І |
° 5 |
|
Значит, для |
точки |
Pfcc') |
полярой |
р |
будет прямая |
|
ей |
||
соответствующая |
в |
инволюционной корреляции |
|
|
|||||
|
|
.. |
|
U T - Q t - K S ^ |
|
|
|
|
( I I ) |
и, следовательно, |
уравнением этой |
поляры |
будет |
|
|
||||
|
|
|
(й;кхк)х^О. |
|
|
|
( 1 2 ) |
||
Это будет также условием полярной сопряженности двух |
т о |
||||||||
чек |
Р(х') |
и |
Q(x') |
относительно |
кривой 2-го |
по |
- |
||
рядка |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
§89. Каноническое уравнение кривой 2-го порядка относительно автополярного
треугольника |
1 - г о |
рода |
Автополярным треугольником 1-го рода называется треу гольник, каждая вершина которого является полюсом проти воположной стороны.
332.
|
Итак, |
пусть имеем |
кривую 2-го |
порядка |
k |
|
; точ |
|||||||||
ку |
А о |
берем произвольно внутри |
кривой, |
в качестве |
Ал |
|||||||||||
берем Произвольную |
точку на ее поляре, в качестве точки |
|||||||||||||||
|
|
|
|
MW) |
|
|
|
|
At |
|
берем пересечение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поляр точек |
Ал |
и А01 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Й А0АлАг |
|
|
будет |
авто - |
||||
|
|
|
|
|
|
|
полярным 1-го рода. Поляра |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
внутренней |
точки |
не пѳресе- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ к а е т |
кривую, |
эначит |
точки |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
' |
Ал |
|
и |
|
fi^ |
будут |
внеш |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ними |
относительно |
кривой. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Кроме |
того, хордой прикосно |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вения касательных, проведѳн- |
|||||||||
ных |
ив внешней |
точки |
|
будѳт |
ее |
поляра |
Дв Дв |
, |
||||||||
вначит, точка прикосновения любой касательной, |
проведен |
|||||||||||||||
ной |
из |
Ал |
к |
кривой, |
лежит |
на |
АаАг |
|
. Одну из них |
|||||||
возьмем |
за |
c"j |
. Также |
одну |
из |
точек |
прикосновения |
ка |
||||||||
сательных, |
проведенных |
из |
À-t |
|
к |
кривой, |
возьмем в |
ка |
||||||||
честве |
ft |
, |
Она |
будет |
лежать на |
АаАл |
|
, В качѳ |
- |
|||||||
стве |
единичной |
точки |
Е |
возьмем |
точку пересечения |
|
||||||||||
АгЕл |
|
и АлЕ'1 |
, |
Репер |
готов. Кривая |
к |
|
отно |
||||||||
сительно него, как и относительно любого репера,'имеет |
||||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но точки |
|
А0(0:о--і) |
|
и |
4.^(1:0:0) |
полярно |
сопряжены, |
|||||||||
значит, подотавляя их координаты в |
условие |
(95.12), по |
||||||||||||||
лучим |
|
|
а„=о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Аналогично условие полярной |
сопряженности |
точек |
|
||||||||||||
венно вид |
|
и точек |
|
|
и |
А. |
|
имеет |
соответст- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
- i t |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
333.
• уравнение кривой примет вид |
|
|
аллх^а1гх^ |
а,ох'х=о. |
|
Условие того, что точки |
ЕЛ ('">'• О-"1) |
и |
принадлежат кривой, имеет |
тогда вид |
|
Q« + Û 0 0 = Q
то ѳоть уравнением кривой будет
ихн
ОС1 + а с ' 1 - oc0*» О
или в неоднородных проективных координатах
o c * - u l = l .
(4)
^(о.чі)
(5)
(7)
(8)
$'90-. Аффинное уравнение аллипеа и гиперболы
относительно автополярного треугольника 1-го рода
Аффинная система координат - его проективная с од ной несобственной стороной.
Ни одна ив сторон автополярного треугольника 1-го
рада не касается кривой, Значіт, для параболы аффинная система координат не может быть .автополярным треуголь
ником 1-го |
рода. |
|
|
|
|
|
|
|||
Для вллшса несобственная |
прямая -не .пересекает |
кря |
||||||||
вой, |
значит, ее |
|
можно ваять sa |
сторону |
АЛЛ1 |
, |
Т 0 |
|||
есть |
ва |
А„ . |
примем ее |
полюс |
- центр кривой - |
внутрен |
||||
нюю точку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л, |
fi* |
, |
flo |
ftt |
Ö W * |
сопряженная диамѳтрамя |
тре- |
|||
1 угольяккА.fl*Л *_ |
автополярный треугольник |
1-го рода |
и |
|||||||
334.
аффинная система координат.Значит, в этой аффинной сноте-
не |
координат |
уравнение |
эллипса |
примет вид |
|
|
|
||||
|
|
|
э е Л л с ' - cc° l =o |
|
|
|
(1) |
||||
или |
в однородных |
координатах |
|
|
|
|
|||||
|
Для гиперболы несобственная прямая пересекает кривую, |
||||||||||
и,следовательно, |
ее |
|
можно ваять |
эа сторону ä0At(mja |
Л оЛ <) |
||||||
автополярного треугольника 1-го |
рода. Тогда |
А, |
- |
полюо |
|||||||
ее, |
- центр |
гиперболы, |
й0 |
- любая внутренняя |
несобствен |
||||||
ная |
точка, |
flz |
- |
внешняя |
точка. |
|
|
|
|||
|
Стороны |
Аі Аг |
|
п |
й^Й, |
_ сопряженные диаметры. |
|||||
Относительно этого репера уравнение кривой имеет вид |
|||||||||||
Переименуем |
вершины |
й0 |
и |
Й^ |
, то есть |
рассмотрим рас |
|||||
пер |
fß.-^J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В . Я А , , |
|
И , » * . , |
8 , » « . , |
|
|
<4> |
|||
Как |
видели |
( § 80), |
при этом преобразовании |
обмениваются |
|||||||
координаты |
хл |
и |
* ° |
,то |
есть |
относительно |
этого |
репера |
|||
уравнение кривой |
принимает |
вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
зс° + эс* - эсЛо |
|
|
|
(5) |
|||||
или |
в неоднородных |
координатах |
|
|
|
|
|||||
|
|
х * . 5 ' - 4 |
|
|
|
|
|
(б) |
|||
Но проективная система |
|
|
совпадает |
о аффинной* |
|||||||
Значит, в этой аффинной системе координат уравнение кривой имеет тот же вид (6) .
335.
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
||||
|
Глава первая. Проективное пространство |
|
|||||
§ I |
. Введение |
|
|
|
|
я |
|
§ 2 |
. Примеры отображений, преобразований и |
|
|||||
|
соответствующих геометрии |
5 |
|||||
§ 3 |
. Несобственные |
элементы |
13 |
||||
5 4 |
. Принципы двойственности |
21 |
|||||
5 5 |
. Теорема Дѳварга |
|
|
24 |
|||
5 б |
. Сложное |
отношение |
4-х точек,одной прямой, |
|
|||
|
4-х прямых |
одного |
пучка |
29 |
|||
§ 7 |
. Гармонивм |
"~" |
|
|
|
36 |
|
§ 8 |
. Полный |
четырехугольник |
38 |
||||
5 9 |
. Полный |
четырехсторонник |
44 |
||||
510 |
. Порядок |
точек |
на прямой |
45 |
|||
§11 |
. Непрерывность |
• |
|
|
51 |
||
512 |
. Леммы об упорядоченном соответствии |
51 |
|||||
§13 |
. Аксиомы проективного |
пространства |
56 |
||||
514. |
Модели |
проективной |
плоскости |
57 |
|||
§15. |
Основные проективные |
многообразия |
59 |
||||
|
Глава |
вторая. |
Проективное |
|
|||
|
соответствие |
одномерных линейных ' |
|
||||
|
|
многообразий |
|
|
|||
6 16. Проективное |
соответствие по сложному |
|
|||||
|
отношению |
|
|
|
|
63 |
|
§ 17. Перспективное |
соответствие |
68 |
|||||
§ 18. Разложение |
проективного соответствия |
|
|||||
|
на перспективные |
|
|
72 |
|||
|
Глава третья. Кривая 2-го порядка |
|
|||||
§ 19. Простейшие |
свойства кривой 2-го порядка |
78 |
|||||
§ 20. Теорема Штейнѳра |
|
|
83 |
||||
5 2 1 . Теорема |
Паскаля |
|
|
86 |
|||
336.
§ 22. |
Пучок прямых 2-го порядка |
|
90 |
|
§ 23. |
Теорема Маклорена |
|
92 |
|
§ 24. |
Теорема Брианшона .. |
|
96 |
|
§ 25. |
Полюс и поляра относительно кривой |
98 |
||
|
2-го порядка |
|
|
|
§ 26. |
Полярно сопряженные элементы, |
107 |
||
§ 27. |
Аффинная теория кривых 2-го порядка |
114 |
||
§ 28. |
Проективное |
соответствие |
между, двумя, |
|
|
кривыми 2-го порядка |
|
120 |
|
|
Глава |
четвертая. Инволюция |
|
|
5 29. |
Необходимое |
и достаточное |
условие |
|
|
инволюционности |
|
125 |
|
§ 30. |
Вторая теорема Дезарга |
|
129 |
|
§ 31. Общая сопряженная пара двух инволюций |
133 |
|||
§ 32. |
Связь инволюции с полярным |
|
||
|
соответствием |
|
137 |
|
§ 33. |
Инволюция на кривой 2-го порядка |
141 |
||
|
Глава пятая. Конусы и поверхности |
|
||
|
|
2-го порядка |
|
|
§ 34. |
Проективное |
соответствие |
между двумя |
|
|
ііііііимі іііиаи линейными многообразиями |
145 |
||
|
в пространстве |
|
||
§ 35. |
Конусы 2-го порядка |
|
146 |
|
§ 36. |
Пучок плоскостей 2-го порядка |
14В |
||
§ 37. Линейчатые поверхности 2-го порядка |
151 |
|||
$ 38. |
Аффинная теория конусов и линейчатых |
|
||
|
поверхностей 2-го порядка |
|
161 |
|
|
Глава шестая. Коллинеации |
|
||
§ 39. |
Эквивалентность проективных соответствий |
|
||
|
. по гармонквму и сложному отношению |
163 |
||
§ 40. |
Проективность коллинеации |
, |
169 |
|
§ 41. |
Задание коллинеации |
|
177 |
|
337.
§ |
42. |
Аффинная коллжнеацяя |
|
|
|
|
18? |
|||
5 |
43. |
Перспективная |
коллинеация |
|
|
189 |
||||
§ |
44. |
Разложение коллинеации |
на |
перспек |
|
|||||
|
|
тивные коллинеации |
|
|
|
|
|
196 |
||
§ |
45. |
Гомология |
|
|
|
|
|
|
|
199 |
§ |
46. |
Аффинные гомологии |
|
|
|
|
|
208 |
||
§ |
47. |
Инволюционная коллинеация |
|
|
211 |
|||||
§ |
48. |
Разложение коллинеации в одном поле |
|
|||||||
|
|
на гомолога |
|
|
|
|
|
|
|
214 |
§ |
49. |
Двойные точки |
коллинеации |
в |
одном |
|
||||
|
|
поле |
|
|
|
|
|
|
|
216 |
§ |
50. |
Двойные прямые |
коллинеации |
в |
одном |
|
||||
|
|
поле |
|
|
|
|
|
|
|
225 |
§ |
51. Классификация |
коллинеации |
в |
одном |
|
|||||
|
|
поле |
|
|
|
|
|
|
|
232 |
|
|
Глава седьмая. Основные |
подгруппы |
|
||||||
|
|
проективной |
группы и |
соответствующие |
|
|||||
|
|
|
геометрии |
|
|
|
|
|||
I |
52. |
Автоморфизмы |
из данной |
группы |
|
|||||
|
|
преобразовало |
|
|
|
|
|
|
234 |
|
§ |
53. |
Аффинная группа А и |
центропроективная |
|
||||||
|
|
группа |
|
|
|
|
|
|
|
235 |
§ |
54. |
Эжвиаффщвная группа |
|
|
|
|
|
236 |
||
§ |
55. |
Подгруппы, состоящие |
из |
гомологии |
238 |
|||||
§ |
56 |
Группа подобных преобразований Б |
241 |
|||||||
§ 57. Ортогональная группа 0 |
|
|
|
250 |
||||||
§ |
58. |
Группа движений D |
|
|
|
|
|
254 |
||
§ |
59. |
Проективная форма расстояния |
|
|
||||||
|
|
между двумя точками |
|
|
|
|
|
255 |
||
§ 60. |
Группа Лобачевского |
|
|
|
|
|
257 |
|||
|
|
Глава восьмая . |
геометрий |
|
|
|||||
|
|
Проективянв модели |
|
|
||||||
§ |
6 1 . Группы преобразований я |
соответст |
|
|||||||
|
|
вующие геометрии |
|
|
|
|
|
262 |
||
338.
§ 62. |
Сопряженные подгрупп и соответствую- |
264 |
|||
|
|
щие геометрии |
|
аффинво! геометрии |
|
§ 63. |
Проективная модель |
265 |
|||
§ 64. |
Проективная модель элементарно! гео |
|
|||
|
|
метрии |
|
' |
268 |
§ |
65, |
Проективная модель |
евклидовой геометрии |
272 |
|
§ |
66. |
Проективная модель |
геометрии |
|
|
|
|
Лобачевского |
|
' |
274 |
|
|
Глава девятая |
|
||
|
|
Корреляции |
|
||
§ |
67. |
Задание корреляции |
|
282 |
|
§ |
68. |
Инволюционная корреляция |
288 |
||
§ |
69. |
Связь инволюционной корреляции с поляр |
|
||
|
|
ным соответствием относительно криво! |
|
||
|
|
2-го порядка |
|
|
295 |
|
|
Глава |
десятая |
|
|
|
|
Аналитическая |
проективная геометрия |
|
|
§ |
70. |
Система координат, |
соответствующая |
|
|
|
|
данной группе |
|
|
299 |
§ 71. Проективная система координат на прямо! |
300 |
||||
§ |
72. |
Аффинная система координат на прямо! |
301 |
||
§ |
73. |
Проективная система |
координат на |
|
|
|
|
плоскости |
|
|
302 |
§ |
74. |
Аффинная система координат на плоскости |
306 |
||
§ 75. Декартова система координат на плоскости |
306 |
||||
§ |
76. |
Уравнение Прямо! в проективных коорди |
|
||
|
|
натах |
|
|
307 |
§ |
77. |
Уравнение криво! 2-го порядка в проек |
|
||
|
|
тивных координатах |
|
312 |
|
339.