книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

соотвѳтотвущая

прямой £

прямая

t

должна

про­

ходить чѳрѳэ соответствующую

точку

L'

, то еоть

в

оилу (2)

(S)

прямые

I

n i

' пѳрѳоѳкаютоя в точке

L,

, прина­

длежащей ооя

і*е'=іс».

(4)

Пусть

(Aft')

,

(OB')

- проиввольныѳ две па -

ры соответствующих точек, не лежащих на одной пряной.

Прямые

А А '

и

ß ß

/ в пересечении

определят

точку S

flY*ôô'=S,

(5)

точки, проходит черев вту точку ~S

' .

Если точка

M

не принадлежит прямой

ЙЬ

М$АЬ,

( Б )

то ей соответствующая

точка

м '

не принадлежит

со­

ответствующей

прямой А'Ъ'

М'І(\Ъ:

(7) •

• Поэтому точки

й ,

ß ,

M

п

й' , В'

,

M'

образуют два треугольника,

л ЙЬМ

% д

йЪ'м'

flB»flfe'=Kew,

dM*flfa»qenj.

BM*b'M*Rev.

(?

) '

Значит, треугольники удовлетворяют условиям теоремы

Деварга, повтому

прямые Ай',

&6't

ММ'

П ро

-

ходят черев одну точку, то есть в

силу

(5) прямая

W

проходит черев точку S

ММ '=>S.

(8)

Если

точка Р

лежит

на

прямой

Aß

РсАЬ,

(9)

то ей

соответствующая

точка

Р

лежит на

соответст­

вующей прямой

йЪ'

Р'<=АЪ'

(10)

Коллинеация

на

соответствующих

прямых

\і = AB

и

м'^АЬ'

устанавливает

проективное

ооответст

-

вне

іГ(АЬКР^)

Х1Г'(А'&'Н'Р{..),

у

( И )

Так как

точка

К

принадлежит оси,

она, совпадает

со

своей

соответствующей

H

/

тогда

ряды

и

и if' перспективны

^(AàHP...)

Яѵ'(А'ъ'К'Р'-).

<1S)

рядов A fi

,

ß ß

/

РР

Проходят

черев

одну

точ­

ку,

ѳначит, в

силу

(5)

прямая

проходит

черев ту

же

точку

S

.

Следствие 1.В гомологии двойными точками являются

все точки оси и центр, двойными прямыми - все прямые,

проходящие

черев центр, и сама ось.

Действительно

вовьыѳм произвольную прямую

t

,

проходящую черев

центр

S

dS, .

( M )

и на ней точку

L

пересе­

чения о осью и еще одну точ­

ку

А

, отличную

от

S

Actt

АФІ,

A*S.

( 1 5 )

Точка

й /

,

соответствующая

точке

й ,

должна

лежать

на

этой же

прямой

t

, так как прямая .

flu'

долж­

на

проходить черев центр S

fifi'^S,

(16)

и,значит,

в

силу

(14),(15)

с

С

имеет

две

общие точки

й

и

S

,

с ней совпадает, то есть

А с £

(17)

Тогда

прямой

ê

, как прямой соединяющей две

точки

L

и

й

,

будет

соответствовать

прямая

£

,

соединяющая

точки

L

ъ

fl'

, то

есть

она

сама

Центр

S

также является двойной точкой, как точка

пересечения

любых двух

прямых-

S

и.

п

,

черев

нее

проходящих, поскольку

вти

прямые двойные

Других двойных

точек

и двой

-

них прямых в гомологии нет,

ибо в противном случае имелось

бы четыре двойные точки, по три

не

лежащие на одной

прямой,или

точку,

и коллинеация

в силу

следствия

2 § 41

была "бы1

тождественным

преобразованием.

Таким обравом, если_в_коллинеаия_и_ РРУх полей,

совмещенных на

одной

плоскости,

имеется

прямая w двой­

ных точек,'то

имеется

и пучок

5 двойных прямых.

Следствие

2.

Применяя

малый принцип

двойствен­

ности,

получим,

что

если в коллинеации

двух

полей

,

совмещенных на

одной

плоскости

имеется

пучок

двой

-

обравом

отроится ей соответствующая.

В самом деле,

если точка

M

, не принадлежит

Прямой"

ftft , то

прямая flM

отлична от АА'

- не

черев

Л'

и

черев точку

пересечения

" м

с

осью

flM*w

= k,

(23)

то

есть

соответствующая

точка

M

должна лежать

и

на

А Ь

и на

SM

• M=AL*SM.

(24)

2)

Если

точка

Я

лежит

на

прямой

Л ft'

,то

соответствующую

точку

Я

можно построить

аналогично,

ѳамѳнив

пару

А А'

парой

соответствующее

точек

ММ',

только

что построенных

и не

лежащих на

ft

А'

Докажем более того,.что прояавохьно можно ваять

точку

S

,

прямую

w

и пару

точек

А, А

, л е ­

жащих о

S

на

одной прямой,и

найдется

гомология,для

которой

точка

S

будет

центром,

прямая

и/

осью,

а

пара

точек

fl,

Я'

-

парой

соответствующих

точек.

Очевидно,

что проиэве^ениѳ_двух

перспективных

о

плоокооти

на плоскость

о<о

о

центроы_в_точ-

кѳ

Si

o f f r t . . . ; І Ч с ѵ . . )

( 2 5 )

и

с плоскости

ы.0

на плоскость

ы.'

, совпадающую

с

плоскостью

о<

« ' а <*,.

(26)

ив точки Ss

<*о (М 0 ...)л «'(H'...)

(27)

будет колдинеацией двух полей, совмещенных на_одной_

шюокости, и имеющей двойными точками

все

точки_прямой

w

пересечения

плоокоетей

<х

и

<*«,

w

* « * " о ,

(28)

то_еоть

гомологией.

Докажем

обратное.

Теорема?Каковы бы ни были точка

S

, прямая

w

и пара точѳк_

^^'_> ^ежащих_с_ними

_в_одной_плоскости

_°L _ iL »a^ogHOÄjnpHjioa js_S_>

_найд,ѳтоя

гомология,

для

которой точка _S_ _ _бу^^ет_центромх

прямая_ w _ _-осыох

а

точки

_ А _ ^ _ / _ _ооответству

Проведем

через

прямую w

произвольную

плоокооти

«„'

,

отличную

от

о<

.

Спроектируем на

нее

ив

произвольной

точки

S 4

плоскость

<*

, точка

А

при

втом

пе

-

рѳйдет

в

точку

Я о

,

точка

S

в некоторую

течку S„

vftS,.. .) Я

* e ( ï ? 0 w . S o . . . ) .

(29)

В плоокооти

йй'й0

лежит

и точка

S,

как

точка

пря­

мой в в'

и течка

St

,

как

точка

прямой

Я А»

,

зна­

чит в одной етой плоокооти

лежат

и прямые

$St

и

rt0rt„

поэтому

они

пересекаются в

точке

S a

S S ^ M - S , .

( 8 0 )

Проектируем

из

S{

пдоокость

<*о

на плоскость

« 7

rt's«,

(31)

точка

Я0

перейдет

в точку

Я1

, S0~

обратно

в 5

« ^ ( / l . w S e . j l , . ( / f f i ' w 5 , . . ;

(32)

+(AwS...)x«'(À'y»S...)

( 3

3 )

с прямой w

двойных точек,

те есть гомологией,

о

двойной точкой

S

-

центром

гомологии и парой со ­

ответствующих

точек

А,

А

AS

гомологии,

опреде -

ліш для них

ѳто от­

ношение

К

0

= (AA'sflJ

(34)

и докажем, что

для

любой другой

пары

a

'

Im

соответствующее

сложное отношение

равно

отношению (34)..

Если

соответствующие

точки

M

,

M

не лежат на

прямой А А'

то

соответствующие прямые

ДМ

и

й'М'

пересекаются

на

о с и . w

AM * f l м ' = Т«ѵ/.

(36)

Проектируя

о прямой

о, - SA

напрямую

m =SM

ц 8

точки

Г

,

получим в силу теоремы

I § 6

(Afl'sfi0)=(MM'sMol

(87)

и,

еначит,

в

силу (1341

CMM'SMjrJ.

(38)

Если

соответствующие

точки

X

,

Х'

лежат на

прямой

XX

(39)

то

и соответствующие прямые

М/Г

и

мѴ

пѳрѳоекутоя

на

оси ѵѵ

(41)

Проектируя иа точки R

прямую Уп - SH

на прямую

м = SX

» получим

аналогично

(M'SXWMM'SMJ,

( 4 2 )

и,значит,

в силу 08)

(Xß'sXJ^.

(43)

плоскости

*

, должна перевести несобственную прямую

плоскости

<*

в неообственную прямую, то есть в себя,

иі* проходит

черев

центр, то есть центр гомологии

- несоб­

ственный

S*

, а

ось поэтому собственная; 2) ось

гомоло­

1) Для первой гомологии, так

как центр

S*

несобственный

двойные

прямые,проходящие

через него

-

параллельны.

у

Абсолютный

инвариант О

в силу определения слож-

ного отношения с несобственной точкой

(6Л5)

равен

простому отношению

3

А0А

_

(1)

В силу теоремы з § 45

оно будет одним и тем же

числом

для любой пары соответствующих точек

В, в';

С,с';...

,

то

есть ВТо будет растяжение

(сжатие)

вдоль двойных прямых

с

коэффициентом растяжения (сжатия)

H

равным

инварианту

К» Л

(2)

(называется иногда родством).

2) Для второй гомологии так как ось несобственная,

все соответствующие прямые,

пересекаясь

на

ней, параллель­

ны. Инвариант

гомологии

J

равен

простому

отношению

ч -

.

6J

= $â

(S)

З -

SA'

SA"

то есть соответствие является гомотетией о коэффициентом

гомотетии

f

• К -

(4)

3) Для параболической гомологии о несобственной

осью** и несобственным

центром

S*

'

для каждой пары точек

rt,M

соответствующая

прямой

ftM

,

прямая

А'М'

ей параллельна

дм и в'м; (б)

и проектирующие прямые

параллельны

АА'нмм'.

(6)