книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

где все

три

числа

и,-

одновременно не

равняются

нулю.

Величины

и,-

называются однородными

координатами

прямой U

.

Прямая

u(ut)

проходит через

точку

M (x')J

если

выполняется

условие

и,-ос'=о.

(30)

Поэтому,

если

и,-

зафиксировать,то (30) будет уравне­

нием на

х'

-

условием

того, что точки

M(xlj

лежат

на этой прямой. Если же зафиксировать точку

л ' = х'а

,

то

условие

о

( 3 1 )

будет уравнением

на

и,-

, условием

того,

что прямые

и (и,)

проходят

череа_ одну

точку

х'0

, то есть урав­

нение (31) будет

уравнением

пучка прямых о центром в точ-

кѳ

xi

.

'

Если

три прямые

иі

Cü i K ) (^Ksqi,!)

проходят черев

и^хИ=0,

"и&Ч

(32)

определитель

системы равен

нулю

/ и * / * а

(зз)

Если три

точки Ml(xll<)

(t',Kzo/,v

лежат

на

одной

прямой, то координаты ѳтой прямой удовлетворяют

системе

уравнений

u^x,'<=0J

г.

(34)

Следовательно

эта сиотѳма уравнений на

ик

.будет

венная

прямая

пересекает

или касается

кривой,

то есть

для гиперболы

и параболы.

Если

кривая

- гипербола, то

в качестве

вершин

й±

,

Аг

автополярного треуголь­

ника можно ваять несобственные точки гиперболы

(ft*

и

,

тогда прямая

(\лЙг

будет несобст­

венной,

прямые

АаАл

и

А0вг

-

асимптотами,

вершина^

- центром.

Система

/ ^ a ^ f l j f j l

-

аффинная. Таким

обра -

вой, аффинное уравнение гиперболы, отнѳоенной

к асимпто­

там,

имеет вид

или

х у = 1 .

(2)

В случае параболы несобственная прямая касается кри­

вой. Значит, несобственную

прямую можно ввять

в

качестве

стороны

А0йі

(или

ft„flK

)

автополярного треугольника

2-го рода. Вершина

flt

будет

точкой, прикосновения па­

раболы к несобственной прямой. За Аг

можно взять любую

точку

параболы,и,следовательно,

fl,^

будет диаметром ,

проходящим через

эту точку. Уравнение

кривой

относитель­

но репера {AijEJ

имеет

вид

эсх*-х"г=о.

Переименуем

вершины

fl0

и

Аг

,то есть

рассмо­

трим репер

{fbcjj

, где ß 0 =

fl,, \

= ü0,

=

Как видели,

при таком

преобразовании

координаты

х" и X*

обменяются,и,следовательно,

уравнение

кривой

относительно

{&•^fj будет

иметь вид

Х*к°-х*

= о.

(3)

Но проективная

сиотѳма

£J

совпадает с аффинной.

довательно, в неоднородных координатах будет

иметь вид

Ч1~-Х'

(4)

§ 79.

Аналитическая

форма

проективного

преобразования на

прямой

Пусть

между

рядами

и

.и

и'

имеется

проективное

соответствие

Р

. Возьмем на

них две

проективное

систе­

мы координат:

К{А0)АЛ}£\

на

прямой

u

и

Пусть

точку

M

с Координатой

х

отно­

сительно

репера

Л

прѳобравова

-

ние

Р

переводит

в

точку

Му

с

координатой

х/

относительно

ре ­

пера

Я

* Точке

М(ѵ)

соотве

-

тотвуѳт точка ï\'(x')

. Зяачит,*''-

функция

X

и

обратно

*

-

фунц

ция

ЗГ

Нужно выяснить вид этой зависимости. Пусть ооот-

Р

переводит

репер

^.\A0jAbEJ

в

репер Я % Л , ' ^

ветствиѳ

точки которого относительно

репера

Я

имеют

соответствен­

но

координаты

ав

,

, е

. П о овойотву

репера

но

в силу

свойства сложного

отношения

(2)

Итак,

X =

(3)

Коэффициенты

с<

-

произвольные,

ибо я з .

соотношений

(о<-е; : - Q0 (V е; •fo-е): - о, (ав-е)

«<*-.•ja

.^S

(4)

получаются

единственные

значения

* ' *

(5)

5(1

удовлетворяющие соотношениям ( 2 ) .

Таким образом, проективное соответствие описывается

общей дробно-линейной, функцией в^провктивных

координатах.

""

-""

з і ё .

Так как аффинная и декартова система координат явля­

ются частным случаем

проективной,

то и в

втгос

координатах

проективное соответствие будет иметь вид ( 3 ) .

В частности,

если прямые и

н и '

совпадают

я

репер

в

совпадает

о

R

,

то

формула

(

з

) даст

проективное

преобразование

одной прямой в

проективных,

аффинных и декартовых коорди­

натах.

х'

Разрешая

формулу

(8)

относительно

,

получим

•

a c ' - ^ f -

(6)

Если проективное соответствие - инволюция, то соответст­

вие

(8),

примененное

к

х

,

должно дать

х'

,

то есть,

сравнивая

с (3) должны получить тождественное

равенство

0*£С+ft _ -Sx*fi

(7)

то

есть

S

оС

(8)

или

c U - t f .

(9)

Таким образом,

инволюция

описывается формулой

я ' .

*.х*Р .

(10)

В однородных проективных, аффинных, декартовых

координа

-

тах проективное преобразование имеет вид

ос^

о с а д а х » "

5? ~-\х^"ех"'г

U D

то

есть

.

.

' ,

^хл-<*.хл,4

j,x~

где

с»

-

произвольная

функция

от

ос"1 ,

х°

,

в

частности

•Çf

можно брать

равным 1 ,

так

как

f

изменяет

лишь нор­

мировку

точки

,

,

.

'

X°z

ох"

+

Ьх°,

§ 82. Аналитическая форма коллинеации

а) Преобразование

точек.

Пусть между

полями

плоскостей Jt

к х '

установле­

на коллинеация

С

. Возьмем в них две

проективные систе­

мы координат

fl/X/^Д

в

плоскости

Jt

и

^(^o,Âi,Ât>£J

в

плоско­

сти

х' .

Пусть

точку

M

с

однородными

проективными

коор­

динатами

эс" ,

зс' , о:1 '

относительно репера

в

колли­

неация

С

переводит_в точку M

о координатами

ас* х°

относительно

репера

R

. Тогда

зс' '

будут

функциями

ас"

и наоборот:

Выясним вид

этих

функций

Ç

.

Пусть коллинеация

С

переводит

первый

репер

f\[Atß^^,^l

о уравнениями

ото-

рон

А Д :

х:л=о,

Д.А,: ж' - о,

Я Д

эс°=о

и единичной

точкой

f

О, "1,1 )

в

треугольник

^

^ ' j с

уравнениями

сторон

* f V = 0 ,

(2)

в"

» О

относительно

репера

ß

и единичную точку

Е'

О коорди­

натами

е*

.(Три прямые А'а(\л\К^і,

fl/fli

в

силу свойства

коллинеации

не

проходят через

одну

точку. Значит

—

i e j i * 0 .

(з )

Точка

с

не лежит

ни на

одной иѳ

этих

прямых,

то

воть

(4)

Значит

уравнения

(1)

должны быть таковы,

что

уравнение

f(x«')--0

(5)

319.