Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 353 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Параллельные

прямые и

и W

лежат

одной

плоокооти

значит,

имеют общую нѳооботвенную

точку

ІУ*

также

пря

мне

и LT

имеют

об

щую неооботвѳнную

точку

. Предположим,

что

8 т к

точки

не

совпадают,рас

смотрим плоскость

которой

лежат

параллельные

прямые

к иг

, 6

силу

ак

сиомы

ф) все

точки прямых

и н и /

должны принадлежать

етой плоскости f

, в том числе

и точки

- несобственные точки пересечения прямых

иг

прямой

. Прямая

по условию не

лежит

плоско

сти

и мы придем к противоречию

о теоремой

вы

текающей ив аксиом принадлежности. Следовательно,

точки

иW* совпадают.

Следствие 1. Каждой прямой

принадлежит

одна

только

одна несобственная

точка,

именно в

силу

"не

собственная

точка

прямой

лежащая

любой

плоскости,

•проходящей черев

прямую

Таким обравом, несобственную точку, . можно вадать любой

прямой связки, на которой она лежит.

Следствие

2.Плоскооть

и параллельная

ей

прямая

имеют

одну

общую несобственную

точку,

а именно,

несоб-

•

— "

ствѳнную точку прямых плос

кости

параллельных

прямой

£ :

Параллельные

плоскости, имеют общую несобственную

njfeç»

Чтобы доказать,

что

несобственные прямые а *

, і

20.

параллельных

плоскостей

оовпадают,

^докажем, что

каждая

точ-

f ?

ка

А*

прямой

а *

-несобственная точка пло-

/"окостн

о/,

пржнадлеххт

і^*

плоскооти

. Точка

'4-

А*

принадлежат

пуч

ку параллельных

прямых

плоокости

ы,

. Пусть

- одно

на них. -Любая

плоско

сть

, проходящая черев

и не параллельная

р,

пересечет

плоокооть

по прямой

параллельной

£ ,

ибо в противном случае точка пересечения

при

надлежала

бы в

оияу

акоиомы

и плоскости

о<

плос

кости р

, что противоречит их параллельности. Поскольку

прямые

I параллельны,

несобственная

точка

Д*

прямой

принадлежит

прямой

а,

значит,

плоово-

оти

Таким образом,

несобственная

прямая

задается

любой

Ив

плоскостей

пучка, на

которой

она

лежит.

Подытоживая свойотва несобственных элементов заметим,

что

если

два любых основных

объекта • из множества прямых к

плоскостей имеют параллельность, то они имеют и общий несоб ственный элемент, и наоборот. Таким образом, понятие парал лельности равносильно понятию несобственного элемента.

Определение .Евклидово щюст^анствох плоскость, j n n e u , пополненные несоб^твеннымк^лѳмѳнтаіш,^называются соответст венно распаленным пространством ,_раом р ^ н о й_плооіостью _н_ ^аоішіренной прямой.

$ 4 . Принципы	двойственности
Аксиома ф в силу определения свойств несобственных					эле
ментов сохраняется, будем	обозначать	ее	.
В силу задания несобственной		точки" прямой		на которой
она лежит, аксиома параллельности (§)		равносильна		такому	пред

ложению: собственная и несобственная точки определяют одну и только одну прямую.

Объединяя в понятие точки собственные и несобственные точки, аксиомыфи@ можно объединить в одну:

Іг Две точки опр_еделшт^дну_ и только_одну_ прямую^. Предложения @, (|5> и Е § 3 после введения несобственных

элементов объединятся также в одно: две плоскости определяют либо собственную, либо несобственную прямую, или, не различая собственные и несобственные элементы,' получим простое предложе-

rae: I ' йве плоскости определяютjJSHy. и только_одну_ прямую.. Также в силу задания несобственной прямой плоскостью, на

которой она лежит, предложение @) равносильно такому.собствен ная точка и несобственная прямая определяют одну и только одну

плоскость. Также предложение @		эквивалентно		предложению: соб
ственная прямая и несобственная точка определяют плоскость.
Тогда предложения ф	, @ , (^объединятся		в	одно:
I j Прямая_и_не	инцидентная	ей_точка_определяот одну_и__
только_одну_ плоскость.
Предложение © и следствие		2 к теореме	J	§ 3 объединяют
ся в предложение:

І3 ' Прямая_и_не инцидентная ей_плоскость_ощ)еделяют одну_

итолько_одн5 точку..

Аксиомы • (§)и		©сохраняются, будем их обозначать	соответ
ственно I , и	І^.
- Аксиома©	в	отношении прямой усиливается: каждой	прямой

принадлежит по крайней мере три точки (добавляется к двум имеющимся третья несобственная) . Впрочем, можно доказать,что

она является следствием					аксиом I и I j .
Предложения®				@,	D	объединятся в		одно:
I	.Две прямые.,, имеющие					общую точку.,_опредаляют			рдну_плос-
кость.	•		-~		•
Предложения QJ) и D					также объединятся в одно :
І5 '^£ве		прямые^ имеющие^общую плоскость,_определяют одну
точку,.			15
Предложения				и		являются	следствиями предыдущих
аксиом.
Видим,		что основных			предложений		стало	меньше	I j . I g . I j ,
1^,1^,1^,1^ и они стали					более простыми.
Более		того,	заметим, что между рядом					этих аксиом имеется

22.

так	навиваемая		двойственность:		ееля	в	аксиомах І 8 ,		І3	, І У
слово		"точка"	заменить	словом	" плоскость" и наоборот,					то
они	перейдут в		аксиомы	I , ' ,	Іу '		и,	наоборот,	аксиомы
І г«	l / t	Іѵ " перейдут в		аксиомы	І г ,	І 3	,	І ѵ , . Аксиома ^ п е р е й
дет	сама в себя.				^
	Но доказательство			всякой теоремы,				касающейся	взаимного

расположения точек, пряных и плоскостей,состоит иг комбина^ ции ѳтих аксиом. Если в каждой аксиоме этой цепочки гаме - нить слово " точка" на слово " плоскость" и наоборот, то каждое звено цепочки останется верным - каждая аксиома за менится двойственной, а, аначит, и заключение втого дока зательства - формулировка теоремы перейдет в верную теоре му - двойственную. Таким образом, мы доказали большой прин цип двойственности:

Всякая_тео£емаА к^асаюп^ся_взаиіиого_^оположения т о - чек,_прямых и плоскостей^остается ве|иой х если_в_еѳ форму лировке замѳнить_слово__"_точка2 на_слово_"_плоскость^ и_ наоборот.

Большой принцип двойственности имеет очень большое значение в проективной геометрии. Во-первых, в силу него

уменьшается в два раза количество доказательств	теорем-
- одни теоремы доказываются, а другие получаются	примене

нием принципа двойственности к формулировке теоремы. Вовторых, благодаря принципу двойственности иногда упрощает ся доказательство. Например, если нужно доказать теорему относительно совокупности прямых и плоскостей, проходящих

черев одну	точку,	применим к ней принцип двойственности -
- подучим теорему		о	прямых и точках одной плоскости-плани-
метрическую	теорему,		ее доказать проще, а потом обратно

применяя принцип двойственности, получим іотиннооть исход ной теоремы.

Кроме большого принципа двойственности сущеотвует ма лый - планиметрический, касающийся в званого расположения точек и прямых на плоскости.

Рассуждая аналогично тому как делали при выводе боль» шого принципа двойственности, получим на плоскости лишь

23*

две аксиомы принадлежности:

1., Две точки определяют одну и только одну прямую, им инци дентную.

і/.Двѳ прямые определяют одну и только одну точку, им инци дентную.

Эти две аксиомы переходят друг в друга вамѳной слова ? точка" на олово " прямая", и, вначнт, будет верен малый принцип двойственности.

Воякая_тѳор8маА касаюа\аяоя_вааимного_расположе«ия точек к щмшнх_на плоскости оставтоя_вѳдіОй, _ѳодн в ѳѳ_формули_-

~ ровке 8амѳнить_слово^точка2 оловом_н _прямая".

Применение к планиметрической теореме малого принципа двойственности, а потом к обеим большого принципа даст че - тыре теоремы.

Таким обрааом, в втом случае принципы двойственности вчетверо сокращают количество доказательств.

{ 5 . Теорема Деаарга

Прекрасным примером проективной теоремы и применения принципов двойственности является теорема Дѳэарга.

Лемма Дезарга.Еели соответствующие стороны двух тре - 2ГОгьнкков_*ежилих_в_рааных плооноотяхА пересекаются^ то_ прямыеj_ соединявшее соответствующее вѳршины,_п£оходят чѳрѳѳ 2Дну_точку. /S

Так

как прямые

А^В^ имеют общую точку Я

то они

имеют в

силу аксиомы

І у , и

общую плоскость

. Прямые

A А^

силу

предложений; (QP , (§))

также

принадле

жат плоскости

потому

в>силу

аксиомы'.І£

имеют одну-

.общую

точку

Аналогично

пересекаются

A А^

» также

CCj

и ВВ^.Точ

ка

пересечения

СС^ и

Кк^,

будучи

точкой прямой AAj плоско

сти

принадлежит

плоскости

СС^

Также

точка

пересечения

СС^ с

ВВ^ принадлежит

СС^.

Прямая СС^

не

принадлежит плоскости

, так

против

ном случае в силу аксиомы

точки

С,С.

принадлежали бы

плоскости

треугольники

АБС

А^В^С^

принадлежали

бы одной

плоскости

что

противоречит

условию.

Значит,

СС^ в

силу

аксиомы

І 3

с плоскостью

имеет

лишь .одну

общую точку

Поэтому точки

пересечения

СС^

АА^

ВВ^

совпадают

этой

точкой S

CC,.*flflt =S;

C C ^ ß ö ^ S ,

( 2

)

то

есть

точка

принадлежит

воем трем-пряма* . AAj, ВВ^

Двойственное предложение.Поскольку лемма Дѳварга имеет

не

планиметрический

характер,

к ней можно применить лишь

большой принцип двойственности. Получаем: Если_ у_ двух^грехгранников с равными вершинами каждая_пара соотвѳтству_юцжх р_ебер_ принадлежит одной плоскости, _то прямыѳ_пeje сечения_с о- ооветству_ющих граней_лехат_в_одной_плоскости^_

Теорема Деаарга.Коди для двух треугольников, лежащих в

однрВ плоокости точки пересечения ооответств^тощк сторон _лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие

вершины ,_проходят через о/щу_точку.

лежат	на одной прямой к
		L,	И, X с	и.				(4)
Проведем		через	прямую, ц'плоскость		s	,	отличную от тс
и в ней проведем три прямые, проходящие					черев		точки L		,
M	; Я	и не	проходящие черев одну точку. Они попар
но пѳрѳоекутся и определят треугольник ABC .- Треугольник
ABC о каждым иа треугольников				AjB\|Ci	к	AgBguj		удовле	-
творвет лемме Дѳварга, и, значит, в силу					втой		леммы прямые
АА^, ВВ^, CCj		проходят' черев		одну точку		S%	и	также	пря-

26.

< " >

CjCg проходят через одну

будем называть соответст-

27.

Точки

iS*.

не

лежат

плоокости

лг

ибо

противном случае прямые

3 < f l d j

.SA,

S,C4

54 Д^ 5,ег ,5,С,

лежали

бы в

плоскости

ас

и,

значит,

плоскости

лежали бы принадлежащие этим прямым «очки

А,В,С,

то есть

треугольник АБС лежал

бы в

плоскости

зс

что

противоре

чит

построению.

Тогда прямая

не

принадлежит

плоокости

в силу акоиомыГ^іересекаѳтоя с ней в одной точке

S„St "je =S,

(б)

Докажем, что

точка

принадлежит

одновременно

прямым

AjAg, BjBg, С^С2 . Действительно, прямые S,fi±

имеют

общую точку

, а,

значит

оилу

, ;

І 5

- и

общую пло

скость

ы.

. В силу

аксиомы 1., точки

S 1

S l j

fl±J

бу

дут

принадлежать втой плоскости

значит и прямые

S A ,

fltflt

. 5 А С < * ,

Л Д с « .

(7)

Тогда

в силу

аксиомы

j £

зти

прямые

(\,(\t

пересека

ются

одной

точке

эта точка пересечения будучи точкой прямой А^А^ плоокости

зс.,

в силу аксиомы

1,,

принадлежит

плоокости

то есть является общей точкой прямой

плоскости

то есть

точкой

Таким

обравом,

точка

принадлежит

прямой

Й^Я2

			5 c f l l f l t ,
Аналогично доказывается,					что та же точка 5
жит	прямым		BjBg. и	CjCg
			s c & A ,	s c C l c 2 ;
то	есть	три	прямые	kfa,	В ^ ,
точку		. Точку		и прямую

СЮ). принадле

венно точкой и прямой Дезарга для данных треугольников.

S	і	м	ff
Следотвие 1.Применяя		к теореме Дезарга	малый принцип

двойственности, получим теорему: Жсли_у_двух треугольников лежащих в одной плосксюти,_прямыѳ,^оѳ^иняк^е_соотвѳтствующие вѳршины,_пр_оходят черѳэ одну_точку^ то_точни_пѳ^ѳсѳчения соответствующих сторон лежат на одной' прямой. Таким образом, получим автоматически обратную теорему к теореме Дезарга.

Следствие 2.Применяя к теореме Деэарга большой прин цип двойственности, получим теорему: Если у двух трехгранни ков с общей вѳршинойРплоскости^_ соединяющие соотвѳтству_ющие ребра^проходят черѳэ одну прямую, то_прямые пересечения со ответствующих граней лежат в одной плоскости.

Очевидно, что ѳта теорема будет проекцией теоремы Дезарга И8 точки Р .

Следотвие Э.Применяя большой принцип двойственности к

28.

обратной теореме Деварга,				подучим теорему,обратную				к преды
дущей.
Интересной проективной теоремой являѳтоя также теорема
ПаппаіЕоля противоположные вершинышестиугольника								лвжщвгр_
в одной плоскости, _лежат_на Двух_прямых,_то точки								пѳ£еоечения
противоположных сторон_лѳжат_на						одной	прямой.
							У шестиугольника вер
							шины 8анумерованн:1,
							2, 3 , 4-, 5 , 6 .
							Противоположными вер		-
							шинами навиваются вѳр-
^	.						шины, не идущие -под -
ряд: вершины 1,3,5		лежат		на	прямой I		, вершины 2 » Ч , б		-
- на прямой	m	.
Сторонами будем называть прямые, соединяющие соседние
вершины: 12,	23,	34,	45,	56,	61.
Противоположными сторонами называются стороны, идущие
черев две:_12 и 45 ;23 и 56; 34						и 61	. Теорема утверждает,
что точки пересечения			противоположных сторон
	I2*ÏS=L,		ггЯбм,			лцхбі-Х		(12)

лежат на одной прямой. Доказательство это! теорема получим в дальнейшем как частный случай теоремы Паскаля (§ 21)

§ 6.Сложное отношение четырех точек одной прямо!. четырех прямых Одного пучка

Кроме принадлежности при центральной проекции сохраня ется еще сложное отношение четырех точек одной прямой.

Определение.Сложный	отношением четырех точек	(собствен
ных) (fiBCD) одной прямой	и называется отношение двух простых
отношений, в которых точки.второй пары (CD) делят		отрезок
ду точками первой пары (AB)
(№CD)=§:g-		а ;

<<< < Предыдущая 1 23 / 353 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ