книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdfРассмотрим гомологию |
с |
центром |
5 |
и |
парой |
соотве |
тствующих прямых w |
и |
ѵѵ* , |
значит |
о осью и |
- про - |
|
невольной прямой, проходящей черев точку пересечения пря
мых |
w |
и ѵѵ* , |
то есть параллельной данной |
прямой w |
|||
|
|
|
U II w. |
|
переведет |
|
(9) |
|
Эта |
гомология |
прямую |
ѵѵ |
в несобствен |
||
|
V |
|
|
||||
ную |
ѵѵ* |
и каждую пару соответствующих точек |
M , м ' |
||||
заданной |
инволюции |
в пару |
соответствующих |
точек |
М*, М' |
||
абсолютной инволюции. Заданная эллиптическая инволюция
со |
проективно эквивалентна абсолютной инволюции. |
|
Следотвие І.Для любой эллиптической инволюции на |
прямой существуют две точки, ив которых данная инволю ция проектируется ортогонально_й инволюцией. Эти точки
называются |
точками Jlarejrpa^S, S). |
|
|
|
|
|
|||||
Следствие 2. Проективной моделью абсолюта может |
|||||||||||
служить произвольная |
прямая |
w |
с любой |
эллиптической |
|||||||
инволюцией |
со |
на ней. Проективной моделью подобных |
|||||||||
преобразований |
будут |
коллинеации, |
сохраняющие прямуюw |
||||||||
и заданную инволюцию |
со |
на ней. |
|
|
|
|
|||||
* |
> V N ^ |
|
|
|
Моделью |
ортогональных |
|||||
|
|
^ v N ( * | ( f / |
|
прямых |
m |
, |
m' |
бу- |
|||
|
|
/ |
|
|
^ |
дут любые прямые, |
перѳ- |
||||
|
|
цу |
|
|
— с ѳ к а ю щ и ѳ |
ету прямую |
|||||
|
|
L^r\ |
|
|
|
- линию схода в паре |
|||||
|
|
|
|
|
|
соответствующих |
точек |
||||
|
|
|
_ |
|
|
M |
, M ' |
заданной |
|||
инволюции |
со |
. |
В силу ( §56) натуральный |
угол ме |
|||||||
жду двумя прямыми |
т |
и |
п |
вычисляется |
по форму- , |
||||||
лѳ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где т л |
, пл |
- |
прямые |
ортогональные соответственно к |
|||||||||
|
|
|
|
|
т |
и |
п |
|
в |
втой |
модели |
||
|
|
|
|
|
и проходящие чѳрѳа точку |
||||||||
|
|
|
|
|
пересечения |
прямых |
m |
||||||
|
|
|
|
|
и |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между |
прямыми |
m |
||||||
|
|
|
|
|
и |
п |
|
, проходящими |
на |
||||
модели чѳрѳѳ точку Лагѳрра, равен |
истинному углу |
на ос |
|||||||||||
новной |
модели. Действительно, |
в втом |
случае |
|
|
|
|
||||||
|
т ± |
1 |
т> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|
2 |
|
_ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
(m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
|
Значит, |
чтоб |
определить |
||||||
|
|
|
|
|
истинный угол между дву |
||||||||
|
|
|
|
|
мя |
" прямыми" |
|
т |
и |
п |
|||
|
|
|
|
|
можно ВТО делать по фор |
||||||||
|
|
|
|
|
муле |
( |
іо |
|
) , |
а |
можно |
||
|
|
|
|
|
черев точку Лагѳрра |
S |
|||||||
|
|
|
|
|
провести прямые |
SM |
|
||||||
|
|
|
|
|
и |
SM |
" |
параллельные" |
|||||
|
|
|
|
|
прямым |
т |
и |
п |
|
|
и |
||
|
|
|
|
|
вычислить угол между ними. |
||||||||
Моделью окружности |
с центром в |
точке |
|
С |
|
и |
проходя |
||||||
271.
|
|
|
|
|
|
|
|
щей |
черев |
данную |
точку |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
будет кривая 2-го порядка, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проходящая |
черев |
точку М, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и относительно которой то |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чка |
С |
|
|
будет |
полюсом |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой |
w |
|
, |
а |
ваданная |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
инволюция»- инволюцией по |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
лярно |
сопряженных |
точек. |
|
||||||||
В оилу |
теоремы |
|
§ 32 |
такая |
кривая |
найдется |
и |
будет |
|
||||||||||
единственная. Четвертая |
гармоническая |
|
X |
|
к |
точке M |
|
||||||||||||
относительно пары точек |
С, Q |
, |
где |
Q |
|
- |
точка |
пе |
|||||||||||
ресечения |
прямой |
СМ |
о |
w |
, |
принадлежит |
этой кри |
||||||||||||
вой. Прямые, проходящие черев точки |
M |
|
|
и |
X |
|
|
и |
яв |
||||||||||
ляющиеся моделями ортогональных прямых, в |
пересечении |
да |
|||||||||||||||||
дут |
точки |
втой |
кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
§ 65. |
Проективная |
модель евклидовой |
геометрии |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Бели |
есть |
модель |
абсолю |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
( W, со |
|
) , |
то |
но |
- |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дѳлью параллельного пе |
- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рѳноса ив точки |
Д |
|
|
в |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
точку |
|
|
fl' |
|
будет |
пара |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
болическая |
гомология |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
§ 46 |
) , |
осью |
которой |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
является |
прямая |
|
w |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а парой |
|
соответствующих |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
точек-^очки |
А |
и |
|
ft' |
• |
||||||
и.следовательно, |
центром |
гомологии |
точка пересечения |
пря |
|||||||||||||||
мой |
АД' |
с линией схода |
w |
. Тем самым любой |
|
отрезок |
|||||||||||||
AB |
|
можно параллельно |
перенести |
в |
любую точку |
А ' . |
|||||||||||||
|
Моделью ортогонального |
преобразования |
с |
центром |
|
в |
|||||||||||||
точке |
С |
будет коллинѳация, |
сохраняющая абсолют |
и |
|
||||||||||||||
модель |
любой окружности |
с " |
центром |
" в |
|
точке |
С |
|
(§67). |
||||||||||
272.
|
Если ведала, |
кроме |
модели |
|
|
абсолюта, |
еще и модель |
||
|
единичного |
отрезка |
СЕ , то |
|
|
втот отрѳвок |
можно |
рараллель- |
|
|
но, перенести |
в любую точкуСс?" |
||
|
плоскости. Черев концы £/f "... |
|||
|
проведем модели единичных ок |
|||
|
ружностей, имеющих центрами точ |
|||
ки С' , С" |
и т . д . Моделью движения будет коллинеа- |
|||
ция, сохраняющая абсолют и эту оиотѳму единичных окружно
стей |
( 5 65 ) . Моделью отражения |
относительно прямой |
и |
||||||||
в силу |
§ 65 |
и теоремы § 71 |
будет инволюционная |
гомоло- |
|||||||
гия |
осью |
и центром |
S |
- |
точкой |
линии |
схода |
||||
|
|
' S |
|
w, |
соответствующей в |
инволю |
|||||
|
|
|
|
ции |
со |
точке |
|
|
|
пере- |
|
|
|
|
|
сечения |
прямой .V |
|
о |
линя- |
|||
|
|
|
|
ей схода |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S'=u*w, |
|
|
|
|
(1) |
|
Тогда |
каждой |
точке |
будет |
соответствовать |
точка |
М' |
|||||
такая, |
что |
(SI^MMÎ*-!, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
где М0 |
точка пересечения |
прямой SM |
|
о осью u |
|||||||
|
|
Мв |
= 5 М х и . |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Моделью расстояния |
q(Ab) |
между двумя точками |
А |
и |
|||||||
б |
будет |
оложноѳ |
отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с(АЬ) = {Ве*Х> |
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
где |
Я" |
-точка |
схода |
пря |
|||
|
|
|
|
мой |
Ab |
, а |
£ |
- |
та |
ив |
|
|
|
|
|
точек пересечения |
прямой |
||||||
|
|
|
|
АЪ |
с "единичной |
окруж - |
|||||
ностыо^ имеющей центром |
|
точку |
А(§5фмя |
которой |
|
|
ßE—fttf |
|||||
Следствие .Поскольку |
проектируя из |
точки врѳния |
.S |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
евклидову |
плоскость о< |
|||||
|
|
|
|
|
|
на картинную |
плоскость |
|||||
|
|
|
|
|
|
а£ |
, |
а затем |
вра |
- |
||
|
|
|
|
|
|
щая |
плоскость |
àe |
|
|||
|
|
|
|
|
|
около линии ее пересе |
||||||
|
|
|
|
|
|
чения о |
о< |
, до |
сов- |
|||
падения с |
с< |
, получаем |
коллинеацию в |
плоскости |
о< |
|
, |
|
||||
то изображение на картине является проективной моделью |
|
|||||||||||
изображаемой |
евклидовой |
|
плоокости. |
|
|
|
|
|
|
|||
Имея изображение на картине одного квадрата с |
еди |
- |
||||||||||
ничной стороной, легко |
получить линию схода, ѳллиптичѳс |
- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
кую инволюцию на |
ней, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
единичные |
окружности |
|
||||
|
|
|
|
|
|
и значит, |
построить |
|
||||
|
|
|
|
|
|
полностью модель |
ев |
|
||||
|
|
|
|
|
|
клидовой |
плоскости <*, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
не проектируя ее не |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
посредственно. Этой |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
теорией (теорией |
пер |
|
||||
|
|
|
|
|
|
спективы) |
пользуются |
|
||||
художники |
при |
рисовании |
картин. |
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
плоскооть |
°< |
перпендикулярна |
картинной |
|
|||||||
плоокости |
|
ас |
, то она ' называется предметной плоско |
- |
|
|||||||
стью X |
, |
а |
ее линия |
схода |
- линией |
горизонта. |
|
|
|
|
||
§ 66 .Проективная модель геометрии Лобачевского
Поскольку любые две кривые 2-го порядка проѳктивно йкв«валентны, то с точностью до проективного соответствия
существует лишь одна группа Лобачевского и одна ѳе модель
в виде совокупности коллинеации, сохраняющих какую-нибудь одну любую кривую 2-го порядка, например, окружность еди
ничного |
радиуса. Эту |
кривую 2^го порядка навовем абоолю |
- |
||||
|
О |
том |
соответствующей |
геометрии. До |
|
||
|
сих |
пор аксиоматика |
геометрии, со |
||||
|
ответствующей данной |
группе |
прео |
- |
|||
|
брааований, получалась |
почти |
что |
|
|||
|
автоматически. Дело |
в |
том, что мы |
|
|||
получали расширенную плоскость - модель проективной плос кости ив евклидовой и аффинной, на которой выполнялись со ответственно аксиомы евклидовой и аффинной геометрии, и повтому проективно эквивалентные им модели удовлетворяют тем же аксиомам.
В отношении группы Лобачевского мы не имеем аналогич ной ситуации. Поэтому мы здесь инеем нетривиальную возмож ность продемонстрировать построение аксиоматики по группе преобразований. Во-первых, поскольку автоморфные преобра
зования кривой 2-го порядка |
к |
внутренние |
точки пере |
водят |
во |
внутренние, |
а внешние - |
- во внешние, то модель соответст вующей геометрии естественно рас падается на два куска - две моде? ли - внутреннюю область абсолюта
ивнешнюю.
"Рассмотрим внутреннюю обла е т е Сначала введем" неопреде -
ляемые" понятия. На проективной плоскости |
е |
(расши |
ренной плоскости), на которой осуществляется |
интерпрета |
|
ция, имеются точки, прямые, принадлежность |
и |
раадѳляѳмо- |
сть, которые сохраняются при всех коллинѳациях, значит и при автоморфных коллинѳациях абсолюта.Соответственно это
му автоморфные коллинеации любую внутреннюю точку |
А |
|
переводят во внутреннюю точку А' |
- внутренняя |
точка |
275.
Д |
абсолюта |
будет |
моделью некоторого объекта |
геомѳ - |
|
трик |
Лобачевского - |
" точки Лобачевского". Внутренние |
|||
точки |
любой прямой, |
пересекающей кривую |
к |
- хорды |
|
кривой к |
, переходят при автоморфных |
коллинеациях |
|||
во внутренние точки соответствующей прямой, таким обра - вом, хорда UV без концов U , V является мо делью некоторого понятия соответствующей геометрии - пу
сть " |
прямой Лобачевского ". Точки U |
и V |
- концы |
хорды |
будем называть ° несобственными" |
точками |
"прямой |
Лобачевского'* ( они ей не принадлежат). Принадлежность внутренней точки хорде будет переходить в принадлежно - сть соответствующей внутренней точки соответствующей хорде, тем самым породитоя понятие " принадлежности "
" точки Лобачевского" " прямой Лобачевского*. Если точ
ка |
6 |
" прямой" |
w |
|
с |
любой ив |
" несобственных |
||||||||
точек" II |
\ |
или |
V |
) |
разделяют |
пару |
внутренних |
то |
- |
||||||
чек |
А |
и |
С |
той же |
прямой |
и., |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
eiZ-rflC; |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|||
то |
и соответствующие |
точки |
ß |
и |
If |
разделяют |
со |
||||||||
ответствующие |
точки |
А* |
,С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ßl/' - f - rtfc . ' |
|
|
|
|
( |
2) |
|
||||
Но при автоморфных коллинеациях внутренние точки |
|
|
|
||||||||||||
А> |
ß , |
С |
перейдут |
во |
внутренние |
по отношению |
к |
||||||||
к |
точки |
Л\ |
ft'j.C |
и точка |
У |
|
кривой |
к |
|
|
|||||
перейдет |
в точку |
V |
той же кривой |
|
к |
. Тем öa |
- |
||||||||
мым можно ввести понятие внутренней точки |
Ô |
отрев- |
|||||||||||||
ка |
АС |
условием (1): |
точка |
6" |
|
"лежит |
между" |
точ |
|||||||
ками |
А |
и |
С |
, -если |
они |
лежат |
на. одной |
прямой и |
|
||||||
выполняется условие ( І ) . Нетрудно проверить, что для |
|
||||||||||||||
таким обрааом введенных понятий выполняются |
вое |
аксио |
|||||||||||||
мы Гильберта |
І,П,У |
групп. Действительно, |
если |
плоско |
|||||||||||
сть |
G |
- расширенная плоскость, то на ней выполня |
|||||||||||||
ются все |
аксиомы Гильберта евклидовой |
геометрии, |
в |
том |
|||||||||||
276.
числе аксиомы 1,П и У групп, а если к - эллипс, что как видели, всегда можно предположить, то на куске евкли
довой |
плоскости, |
ограниченной кривой |
к |
основные по - |
нятия |
" точка", |
" прямая","принадлежать" на |
евклидовой |
|
плоскости и на нашей модели совпадают, поэтому будут вы полняться аксиомы 1,П,У, регулирующие эти отношения, и на построенной модели геометрии Лобачевского. Введенное поня
тие |
" лежать между" позволяет ввести понятие |
А |
отрезка |
AB |
||||
как |
множества точек, |
лежащих между |
точками |
и |
ß , |
|||
и луча |
прямой |
w , |
исходящего из |
точки О |
|
,. как |
мно |
|
жества |
точек,ни |
между какими двумя |
изкоторых |
точка О |
не |
|||
лежит. Тогда можно будет ввести понятие угла как совокуп
ности двух лучей, |
исходящих из |
одной |
точки. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
» Через |
произвольную " |
точку" А" |
|||||
|
|
|
не принадлежащую |
" прямой" ѴѴ, |
||||||
|
|
|
проходит бесчисленное |
множест |
||||||
V |
|
|
во " прямых", не пересекающих |
|||||||
|
|
"прямую" UV |
, а |
именно, |
все |
|||||
|
|
|
хорды, проходящие |
через |
точку^ |
|||||
|
|
|
ft |
и заключенные |
внутри |
|||||
пары вертикальных |
углов, образовшных |
" прямыми" |
AV |
и |
||||||
йѴ |
. Таким обравом, |
в этой модели |
выполняется |
аконо- |
||||||
ма Лобачевского: черев |
точку, не принадлежащую данной |
пря |
||||||||
мой, проходит более двух |
прямых, |
не пересекающих |
данную |
|||||||
прямую. Хорды с общим концом, например, |
UV |
* |
AU |
|||||||
назовем |
параллельными |
, не пересекающиеся хорды, |
не |
име |
||||||
ющие общего конца |
- сверхпараллельными. |
|
|
|
|
|
||||
" Конгруэнтными"отрезками, |
углами |
будем,естественно, |
||||||||
считать те отрезки, углы, которые переходят друг в друга
какой-нибудь автоморфной коллинѳацией |
- движением Лоб а - |
|
чѳвского. Из групповых свойств автоморфяых коллинеации |
||
легко |
следуетрефлексивность, симметричность и транзитив |
|
ность |
понятия конгруэнтности. Легко проверить и оотальныв |
|
аксиомы ІД группы.- Гильберта. |
— |
|
277.
Таким обравом, г^іуііпе_Лобачевского соответствует геометрия Лобачевского, что объясняет ее название.
- Угол называется прямым, если он конгрувнтѳн своему омѳжному. Прямые, пересекающиеся под прямым углом, назы ваются перпендикулярными.
Теорема.В проективной модели геометрии Лобачевского " перпендикулярные п^ямые_"_иво^ажаются полярно оопряженныни_прямыми относительно абсолюта.
|
|
|
|
|
Пусть прямые |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
пересекающиеся в |
точке |
О |
, |
||||
|
|
|
|
|
перпендикулярны, |
вто |
значит, |
|
||||
|
|
|
|
|
что угол |
|
<: UОІл/ |
|
конгрувн- |
|
||
|
|
|
|
|
^ т ѳ н |
ему |
смежному |
tVOW |
|
|||
|
; |
It, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это аначит, что найдется автоморфнаях, |
коллинеация, |
перѳ- |
|
|||||||||
водящая |
луч |
OW |
в |
себя , а |
луч |
01/ |
в |
луч |
ОѴ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
ОІГ-тОѴ. |
|
|
|
|
|
(б) |
|
|
Ив (5 ) следует, что при этой коллинеаций точка |
О |
со |
|
|||||||||
хранится |
и точка |
W |
сохранится, |
а потому: в |
оилу |
|
||||||
автоморфности |
коллинеаций сохранится и точка Z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
û-*oj |
|
w-*w, |
z-+zt |
|
|
|
w |
|
|
Точка |
U |
. |
перейдет |
в точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U-+V. |
- |
|
|
|
|
(Ѳ) |
|
|
Тогда вта коллинеация, инея три двойные точки (7),лежа -
278.
•
іциѳ на одной прямой, |
будет |
(§45) гомологией с осью |
||||||||||||
Поскольку |
коллинеация автоморфная и точки |
W |
. Z |
|||||||||||
- двойные, двойными будут и касательные |
|
|
|
|||||||||||
проведенные к кривой |
к |
в этих точках |
|
W |
|
|||||||||
а |
потому |
будет двойной и Точка их пересечения |
|
|||||||||||
|
|
|
|
tl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
Но в гомологии кроме точек |
оси двойной |
точкой |
может быть |
|||||||||||
только ее центр. Значит, точка |
GL |
|
является-центром |
|||||||||||
гомологии. Поэтому |
прямая |
р |
(3) , как соединяющая соот |
|||||||||||
ветствующие |
точки |
U |
и |
V |
(8), пройдет |
черев точку |
||||||||
|
Q" |
(§45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Р°0$ |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
но |
точка |
Q. |
, как точка |
пересечения |
касательных |
|||||||||
и |
t k |
, |
проведенных в концах хорды |
|
|
|
, является |
|||||||
полюсом прямой |
|
, то есть по теореме |
взаимности пря |
|||||||||||
мая |
|
проходит черев |
полюс Р |
|
прямой |
р |
||||||||
|
|
|
|
|
|
с ^ Р |
|
|
|
|
|
|
|
( Ш |
и прямыѳ_ _£>_ |
|
в силу (10),(11) - |
полярно со |
|||||||||||
пряжены |
относительноJC£HBO11 _к |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Следствие. В геометрии |
Лобачевского |
оверхпараллель- |
|||||||||||
|
|
|
|
•^. |
|
|
ные прямые |
имеют один и толь |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ко, |
один |
общий |
перпендикуляр. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
общий перпен- . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дикуляр |
Cj, |
|
двух прямых |
|||
^будет ивображаться прямой одновременно полярно оопря -
жѳнной |
прямой |
И,УІ |
и прямой UTVT |
, то есть |
должен |
иметь полюсом |
Q |
точку пересечения |
прямых рі |
и р , |
|
|
|
|
|
|
Q e * « A - |
(12) |
|
279.