книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdfктивы
(2)
Теорема. Дхя_того, _чтобы^оллине§цид_межл^^ !рма_прлямн °<_я_ <*.'_ была_пѳрспектнвнойх нѳобхрдимо_и_доста--
î°3B 2»_4 ÏP6 .H _K â»fla S |
І°Э?а л я н и |
шс_пересечента_соответст- |
||||||
вовала_сама |
£ ебѳ А |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Необходимость |
оче |
|||
|
|
|
|
видна; |
если |
S |
|
|
|
|
|
|
- |
центр |
перспективы, |
||
|
|
|
|
то для любой точ |
||||
|
|
|
|
ки |
M |
линии пе |
||
|
|
|
|
ресечения |
ѵѵ |
и |
||
|
|
|
|
плоскостей |
<* |
|||
|
|
|
|
|
rtxtx^w, |
|
(з) |
|
|
|
|
|
|
М с % |
|
(4) |
|
соответствующая точка |
м ' должна принадлежать |
и 5M ' |
||||||
и плоскости |
°< ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
M ^ S M * * » ' |
|
|
|
|
(5) |
||
такой точкой в с н у |
(8),(4) является сама точка |
M |
|
|||||
|
|
И |
» M. |
|
|
|
|
(б) |
Доотаточаооть.Пуоть |
каждая точка |
M |
прямой |
w |
||||
сама себе соответствует. Для доказательства пер спективности достаточно Зудет доказать, что все прямые, соединяющие ооотвмствующіб точки, не принадлежащие пря
мо! w , проходят черев одну точку S . Тогда
в оилу о«хранения принадлежности при колнкнеации соотве тствующие прямые будут лежать в одной плоскости, прохо-
І 9 0 .
дящѳй через ту же точку S
Докажем сначала, уто при уоловии ( б ) , ( 4 ) , ( 3 ) каж дая прямая 8 плоско
сти <х
£с<х (7)
пересекается о e l саотввтстжующеі прямой t '
плоскооти <*' " . Действительно, пусть точка І является точкой пѳрѳое-
чѳния прямых С? K W
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
поскольку она принадлежит линии пересечения |
w |
, |
она |
||||
двойная, |
соответствующая ей тачка L |
с |
ней |
совпадает |
|||
|
|
L'sL. |
|
|
|
(9) |
|
Поскольку |
пряная |
|
проходит черев тачку |
|
|
ей |
|
соответствующая пряная |
проходит |
черев |
соответст- |
||||
вуюшую точку L' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(10) |
то есть в сижу (9) |
соответствующие прямые |
I |
|
t ' |
|||
пересекаются в точка L ; t rS
Затем вовьмем произволь ные два точки А и В плоскости <* ,на
принадлежащие прямой w. Тогда прямой AB соотва-
тствует пряная А'в' ,
соединяющая соответствую щ е точіагй'*-*--, в-силу-
только что доказанного они пересекаются
Ш )
191.
значит |
существует пдоокооть |
|
^ |
|
, в которой они обе |
|
|||||||||
лежат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЙЬсзс, |
й'в'сзс. |
|
|
|
|
(12) |
|||||
Тогда в |
8Т0І |
плоскости |
л: |
|
|
лежат точки |
А |
, |
0 |
, |
|||||
й ' , |
|
ѣ' |
, а потому и прямые |
Л" |
и |
ВЬ' , |
сле |
||||||||
довательно, ѳти прямые также |
пересекаются |
|
|
|
|
||||||||||
Докажем, что черев ату точку |
5 |
проходят |
вое |
пряные , |
|||||||||||
соединяющие соответствующие |
|
точки плоскостей |
<* |
и |
<* ' , |
||||||||||
не принадлежащие прямо! |
ѵѵ |
|
. |
Такие точки мы равобьем |
|||||||||||
на два класса: 1) не принадлежащих пряной |
AB |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
M ф. ЯѲ, |
|
|
|
|
|
(14) |
||||
и 2) |
принадлежащих прямо! |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Р'сйЬ. |
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
||
|
1) |
£олн точке |
M |
соответствует |
точка |
|
,то |
||||||||
прямо! |
|
AM |
соответствует |
прямая й'М' |
и,по |
только |
|||||||||
что доказанному прямые |
AM |
|
|
і |
й'м' |
переоѳнаютоя |
|
||||||||
|
|
|
|
|
flM-fl^'-H. |
|
|
|
|
|
(16) |
||||
Щакжв прямые |
ÔM |
и В/ М/ |
|
переоѳкаютоя |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6 M * ß V r * . |
|
|
|
|
|
(17) |
|||||
Для треугольников |
ЙВМ |
|
|
я |
|
flfe'M' |
в |
силу |
(11), |
||||||
(16) ,117) |
выполняются условия леммы Деаарга, |
значит пря |
|||||||||||||
мые |
Ай' |
, |
ö ö ' |
q |
fi M ' |
проходят |
черев |
одну |
точку, |
||||||
та есть в силу (12) |
прямая |
ММ' |
проходит |
через |
T04uyS |
||||||||||
— |
|
|
|
-- ÔlM'aS . |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
8 ) |
||
|
2) |
Поскольку течка |
|
Р |
|
принадлежит прямой |
|
||||||||
|
|
|
|
|
l/ = |
|
|
|
flß, |
|
|
(19) |
|||
192.
ей |
соответствующая |
точка |
? / |
|
принадлежит |
прямой |
|
||||||||
|
|
|
|
tf'Mty |
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
||
то |
еоть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P'eflfe' |
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
|||
|
Исходная коллинѳация на соответствующих прямых ч |
||||||||||||||
и |
и' |
устанавливает проективное соответствие |
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ѵ(Й&ІР...) |
л и'((\'Ь'і'р:..). |
|
|
|
|
(22) |
||||||
Поскольку |
точка |
их пересечения |
^ |
сама |
себе |
соотве |
|||||||||
тствует, |
эти ряды перспективны |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
U(AH>LP..)k |
|
u/(ft/&/L/pf..)J |
|
|
|
|
|
(23> |
||||
то |
есть |
прямые |
flfl' |
, |
Во' |
, |
Р Р ' |
проходят чѳрѳа |
од |
||||||
ну точку, то есть в силу-(13) прямая |
|
Р Р / |
пройдет |
че |
|||||||||||
рев ту же точку |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
PP'iS. |
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
||
|
Следствие.В |
силу |
следствия |
3 §40 |
для |
того, чтобы |
|||||||||
коллинѳация между двумя полями была |
перспективной,необ |
||||||||||||||
ходимо |
и достаточно, чтобы три точки |
линии пересечения |
|||||||||||||
плоскостей <* |
и |
о< ' |
были |
двойными. |
|
|
|
|
|
||||||
Аффинные перспективные |
коллинеации. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если перспективная коллинѳация - аффинная, то либо |
||||||||||||||
центр, либо ось перспективы обяватѳяьно несобственные. |
|||||||||||||||
Действительно, если |
несобственная прямая |
и* |
пдос - |
||||||||||||
кости |
<* |
д&_ровпадает |
о осью |
перспективы |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и* |
ф w; |
|
|
(25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то и соответствующая ей в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аффинной |
коллинеации не |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственная |
прямая |
и' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л , / |
не совпадает о |
ѵѵ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26) |
|
193.
повтоиу они не совпадают между собой
(27)
и,вначит, плоокость их соединяющая - несобственная плос
кость JC * |
должна пройти |
через центр |
перспективы |
|
|||
|
X* = S |
|
|
|
|
(28) |
|
- центр перспективы несобственный |
- |
S |
|
|
|||
Если |
несобственная прямая |
и* |
|
плоскости <* |
|
||
совпадает |
о осью перспективы |
w |
|
|
|
|
|
|
u * - w , |
|
|
|
|
(29) |
|
то и ей соответствующая несобственная |
прямая |
и'*" |
плос |
||||
кости |
совпадает с |
осью |
w |
, |
так как |
ооь - |
двой |
ная прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
и'*= |
w. |
|
|
|
|
( 3 0 ) |
Поетому естественно так расклассифицировать аффинные перспективные коллинеации:
1)Центр несобственный, ось собственная;
2)центр ооботвенный, ось - несобственная;
3) центр - несобственный, ооь |
- несобственная. |
|
|
1) Если в |
перспективной |
коллинеации центр |
S* - н е |
собственный, а ось собственная, то несобственная |
плоскость |
||
|
с*- |
|
|
проходящая через |
центр о |
высечет на плоскостях |
|
и<* ' соответствующие различные несобственные прямые
и * |
и |
и'*" |
, то еоть коллинеация будет аффинной. |
|
|
||||
|
2) |
Если |
центр перспективной коллинеации - собствен |
- |
|||||
ный, |
а ось несобственная, то |
поскольку она двойная |
- |
со- |
|
||||
|
|
|
/ |
|
ответствует сама |
себе, |
то |
||
/а |
у |
л< |
-—^ |
|
соответствующая ей пря |
- |
|||
|
|
" — - — м а я |
также несобственная, |
||||||
|
7 |
|
'~~~~~T-~-~-^Syy |
Т 0 |
е С Т Ь к о л л и н е а и и я |
т а к _ |
- |
||
./*•' |
л |
г' |
у |
же |
аффинная, но вто |
бо |
|||
лее частный случай аффинной коллинѳации чем случай |
|
1) . |
||||||||||||||
Так |
как |
у |
плоскостей |
<х |
и |
о< ' |
общая несобственная |
|||||||||
прямая, |
они падаллѳльны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
<* II о<; |
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
||
каждая прямая |
I |
|
плоскости |
о< |
|
пересекается с |
|
ей |
||||||||
соответствующей |
t' |
на |
несобственной прямой, |
то |
есть |
|||||||||||
любая пара |
соответствующих |
прямых параллельна |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
lu' |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
Длины любых_отреакрв меняются_в_постоянном |
отноше- |
||||||||||||||
НИИ |
К |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л** |
|
|
Действительно, |
пуоть |
|
А |
|||||||
|
|
/ |
Аw |
|
|
и |
А' |
проиѳвольныѳ |
со- |
|||||||
|
|
|
|
|
|_\ |
у |
|
отвѳтствующиѳ точки |
|
и |
||||||
|
|
|
|
—ГчД |
|
отношение |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
^ Д ^ / |
|
Докажем сначала, |
что |
|
для |
||||||
любой пары соответствующих |
точек |
M |
, - M |
' |
|
будет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
fg'=K. |
|
|
|
|
|
|
|
(34) |
||
Это |
будет |
следовать |
H S |
подобия треугольников |
|
|
|
|
||||||||
и SA'M' |
|
, |
так |
как |
прямые |
АН |
и |
й ' м ' |
в |
силу |
|
(8) |
||||
параллельны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
mWfih: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(35) |
||
Тогда для |
любого |
отреака |
М// |
и ему ооотвѳтотвующѳго |
||||||||||||
Н'М' |
|
ив подобия |
треугольников |
SM У |
|
и |
SM N |
|||||||||
и |
(34) |
будет |
следовать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІЛИ |
' |
•' |
|
|
|
|
(36) |
Соответствие |
- гомотетия, |
точка_ S _ |
_-_цѳн^_гомотетии_, |
|||||||||||||
число _ К |
- |
к о и ^ и и е н т |
гомотетии. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3) |
Если |
и ось |
и центр |
- несобственные, |
то |
и |
ооот- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
195. |
|
вѳтотвующнѳ прямые парал |
|||
|
лельны |
• , |
|
|
|
|
tue |
|
|
|
и |
проектирующие |
пряные |
|
|
|
|
,SlMt... |
парал |
|
лельны |
№S'A. |
|
|
Для любого отрезка М/Ѵ |
|
S'M |
|
|
и ему |
соответствующего |
|||
четырехугольник MA/// M |
- |
параллелограмм |
|
|
соотвѳтствиѳ_являѳтся пар^ллельным_пѳ^носом_с^ілоскостя о< на плоскость ' по направлению прямоі 6 ,
nj)oxpj^flngM_4ej)e8_ueHTp_ S ^_ .
§ 4 4 . Разложение кодлинвации на перспективные коллинеации
Теорема Рейе. Любую коллинѳацию между_ различными_
3 ,плоокоотями о< и j x j _можно
осуществить це почкой трех перспективных
коллинеации. Пусть коллинеа-
ция между_ дву_^ мя_полями _« и с* ' опре
деляется четы- £ьмя_парами со - £тветствуюших точек
196.
£ C G / L ^-Elf'ß'jl'-i _P9_ TJPä. нѳ^рищ^лежаащс_одной_П]аямой
<x(£FGH...)xo<'(e'F,a'H'...) (D
Докажем, что тремя перспективными коллинеациями можно бу
дет |
четырехугольник |
|
|
|
|
перевести |
в четырех - |
||||||||||
,угольник |
FF&H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Черев |
точку |
,£ |
|
проведем |
|
произвольную |
|
плоскость |
||||||||
о( |
, |
отличную и |
« |
, на |
ЕЕ'-- |
вовьмем |
произволь |
||||||||||
ную точку |
S ' |
и из нее спроектируем плоскость |
|
с* ' |
|||||||||||||
на |
плоскость |
« " |
t |
четырехугольник |
E'F'&'H' |
|
|
|
|
при |
|||||||
этом перейдет |
в четырехугольник |
£F"G"H" |
|
|
|
плоско |
|||||||||||
сти |
* " |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«'(E'F'&'H:.) |
|
|
I |
« ' ( |
£ |
F W . . X |
|
|
|
|
<*> |
||||
Пусть |
А |
- |
диагональная |
точка четырехугольника |
|
||||||||||||
F F Gi H |
|
» a именно, |
пересечение |
прямых |
|
£ ^ |
нйА1 |
||||||||||
|
|
|
|
я=ЕР*ан. |
|
|
|
|
|
|
|
( |
3 |
) |
|||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A " = E F ' W . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
Прямые |
i ~ /•*/? |
и |
|
F F |
"й' |
|
, пересекаясь |
|
в |
точке |
|||||||
i f |
, |
лежат в |
одной |
плоскости |
|
JC |
, |
вначит, |
в |
втой |
|||||||
плоскости |
л: |
|
лежат |
и прямые |
FF"- |
и |
/<?/}" |
|
, |
||||||||
а потому они пересекаются между ообой, точку их пересе
чения |
обозначим |
через |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
FF*m"*$" |
|
|
|
|
( 5 |
) |
|
Черва |
прямую f f |
проведем произвольную |
плоскость |
<* , |
|||||
отличную от плоскостей « |
• ' и |
J C |
и |
спроектируем |
|||||
На нее ив подученной |
точки |
о |
плоскость |
сх . |
|
||||
четырехугольник |
EF'Gi'H1' |
перейдет |
в-четырехуголь |
||||||
ник |
EFG!"H"' |
t |
«очка |
Я " |
перейдет |
в точку Я |
|||
197
«"(£F"G"Н"й "...) foc"'(£FG"'H"'e..J, |
^ & ^ |
||
так как точки G," , H" |
и й" |
лежат на одной |
|
прямой,то и соответствующие |
им точки |
G"' , |
Н'" и |
Ялежат на одной прямой
|
|
|
|
а"нм*л |
|
|
|
|
( ? ) |
|||
Пвокольку |
прямые (мН |
и |
G7/'" |
имеют общую |
точ |
|||||||
ку |
А |
» они лежат |
в одной плоскости, |
а потому |
в |
|||||||
ѳтой плоскости лежат |
и прямые QGi |
и |
НН |
, и |
||||||||
еанчит |
, они пѳрѳоѳкаютоя в некоторой |
точке |
s " |
|||||||||
|
|
|
|
GGW'HH'"=S" |
|
|
|
( 8 ) |
||||
Проектируя |
плоскость |
|
ы" |
на плоскость |
<* |
на етой |
||||||
точки |
S |
|
, мы переведем |
четырехугольник |
EF&^H |
|||||||
в |
исходный четырехугольник |
CF&H |
|
|
|
(9 |
||||||
|
|
*»(ЕРеГн".А |
|
|
|
|
||||||
Таким образом, цепочка трех перспективных коллинеации |
||||||||||||
(2).СМ,lifo |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
переведет |
четырехугольник |
E'F'GI'H' |
|
в Ч Ѳ тырех - |
||||||||
угольник |
EFGiH |
|
. в силу |
того, |
что произведе |
|||||||
ние любых коллинеации |
является.коллинеацией |
( 40.4 ) |
||||||||||
соответствие |
между плоскоотями |
ос ' |
и |
<х |
' , |
получа |
||||||
ющееся в результате этих трех перспективных коллинеации |
||||||||||||
будет также |
коллинеацией |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
«'(E'F'G'H1,,. |
|
) X |
«(EFßH..), |
|
|
( I I ) . |
||||
Так как два четырехугольника' E'F'R'H |
|
И |
"-tFuH |
|||||||||
определяют одну коллинеацию, в которой они' являются со ответствующими, то эта коллинеация будет совпадать о исходной и,значит, исходная коллинеация являѳтоя про-
198.
неведением трех перспективных коллинеаций (11).
. Следствие.Всякую коллинѳациго двух полей, совмещен ных в одной плоскости, можно осуществить четырьмя перспе
ктивными |
коллинеациями. |
Четвертая перспективная |
колли - |
||
неация иопольауется |
на |
то, чтобы вывести поле |
<* ' |
с |
|
,плоскости |
поля « |
|
, а потом нужно действовать |
как |
|
в теореме. |
|
|
|
|
|
|
§ 45 . |
Гомология |
|
|
|
Определение. Нетождественная коллинеаяия двух_полей_о<_ _ и «'д. совмещенных на_оддой_плоскости^ назьшается_грмрлогией,
если в ней имеется прямая двойных точек. Эта прямая наэы-
ваѳт£я_осью гомологии. |
|
|
В силу следствия |
3 § 40 |
для того, чтобы коллн- |
нѳация двух полей совмещенных на |
одной плоскости, была |
|
гомологией, необходимо |
и достаточно, чтобы имвлооь в |
|
ней три двойные точки, |
лежащие на |
одной прямой. |
Теорема/Соответствующие на-двойные прямые » гомолологии пе£еоекаются_на оси гомологии , все прямые^ сое диняющие соответствующие нѳ^двойныѳ точхи^ проходят_чѳpée одну точку -_центр_гоыологии_е
Действительно, рассмо
трим точку |
пересечения |
прямой Ь |
о осью w |
i*v*L, (1)
так как она принадле жит оси, она соотве - тствует оама себе
L ' S L > |
(2) |
199.