книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdf
|
свойства будут оди- |
||
|
наковами.то |
есть |
с |
|
точки врения |
соотве |
|
эти фигуры будут эквивалентными. |
тствующей геометрии |
||
|
|
|
|
Так в метрической геометрии эквивалентными - равными фигу |
- |
||
рами будут такиѳ.которые переходят одна |
в другую движением. |
||
В элементарной геометрии эквивалентными |
будут подобные фигуры, |
||
также появятся аффинно-эквивалентныё, ііроективно-эквивалент- ные, конформно-эквивалентные и т . д . фигуры.
Для того чтобы в этой геометрии можно было бы сравнивать фигуры, естественно потребовать чтоб эквивалентные фигуры образовывали класс эквивалентности,то есть для соответствия
эквивалентности |
выполнялись 3 |
требования: |
|
|
||||
|
1) |
транзитивность: если |
фигура |
f |
эквивалентна фи |
|||
гуре |
f |
, а |
£ |
эквивалентна F2 |
, то |
Г |
эквивалент |
|
на Ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
У |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
и |
2) |
симмѳтдичнооть: если |
F |
эквивалентна |
|
|||
то |
F± |
эквивалентна |
|
|
|
|
||
3) |
ре^лѳкоивнооть: каждая фигура F |
эквивалент |
на оама |
себе. |
|
В силу определения эквивалентности эти требования озна
чают:
1) что преобразование, получающееся в результате по следовательного, выполнения двух преобразований
Г%Ь |
(4) |
ю .
(произведение |
преобразований) |
иэ |
Gl , |
есть |
также пре |
||
образование из нашего |
множества G. |
|
|
|
|||
|
|
|
c p G i , |
|
|
|
(5) |
и 2) |
обратное |
преобразование |
g."1 |
к |
преобразования |
||
OeQ |
также ѳоть преобразование |
ив Gi |
|
|
|||
3) |
множеству |
Qi |
принадлежит |
тождественное |
преобра |
||
зование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В eQ. |
|
|
|
M |
|
Совокупность преобразований, удовлетворяющая первым двум требованиям называетоя группой преобразований.
В качестве следствия из определения получаем, что тож дественное преобразование принадлежит всякой группе преобра зований, как произведение двух преобразований группн: лю бого и ему обратного, то есть выполняется • третье требова ние.
Итак в основу классификации геометрий кладутся группы преобразований. Среди них в первую очередь выделяются груп пы Лите, преобразования которых вависят от непрерывных па раметров, то ость которые,грубо говоря, можно вапнсать фор м у л а м
|
|
|
х^Пхіа?), |
|
|
|
|
|
( 8 ) |
|
где |
X |
1 |
- координаты преобразуемой точки, |
з с 1 ' |
- преобра |
|||||
зованной, |
oô |
- параметры. Для каждого фиксированного |
зна |
|||||||
чения |
Q * ? Q ? |
формулы |
(Ѳ) дают |
преобразование, |
при |
|||||
надлежащее |
группе Gi |
, |
функции |
- |
непрерывны по |
|||||
всем |
своим |
переменным. |
|
|
|
|
|
|
||
|
К ним относятся вое рассмотренные |
нами |
преобразования. |
|||||||
|
Будем для |
простоты рассматривать |
двумерную |
плоскость: |
||||||
1) группа |
движений |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a c 1 = a ; ' ' c e 4 Q 1 - x ' ^ û s + Q Î |
|
|
|
(9) |
|||
|
|
|
хУ-Х* ііг\0?+ |
x.'cosq3* Q *j |
|
|
|
|
||
п .
Z) |
группа |
подобмй |
ce1 = к (x'coi^-x^ |
|
а ь } +а* |
(10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S) группа проективных прѳобрааований |
|
|
|
|||||
|
ос |
а'л:1 tci'-x^-a9 |
|
а< а1 |
а3 |
(11) |
||
|
|
|
|
|
Q4 |
а г |
а* 1 = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
,û' |
а» |
а» I |
|
4) |
группа |
аффинных |
преобразований |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
5) |
группа |
конформных (мѳбнусовых) преобразовании |
|
|||||
|
|
|
Ci |
с , |
-1. |
|
(13) |
|
|
|
|
с 3 |
с, |
|
|||
где с-
и так далее. Видим, что (9),(10),(12) являются подгруппами группы (11). Сколько же еще имеется групп преобразований. Требований к совокупности преобразований образовывать груп пу вроде естественны, но оказывается очень жеотки.Оказыва ется на плоскости,кроме (11) • (IS), имѳютоя еще іищь 4 са мостоятельные группы преобразований
Ш ) х = a ^Q 1 ' ' |d» а"Г |
' * a'*'+Q« |
' /а' а»/"^ а 4 ) |
|||
1У) |
a^KxYcx'+V; |
*e -g|£g>,|? h K |
(15) |
||
|
|
|
*«'- Mf±i_- |
Іа ГІ=1 |
М А1 бЛ |
|
|
|
* " « Ц * |
' /с M *' |
< > |
У1) |
a^axS-Pfx»;, |
х»«хѴв, |
|
(17) |
|
где |
P(xl) |
- общее решение лкнеікгого дифференци - |
|||
ального уравнения |
n u |
- порядка |
о постоянными коэф |
||
фициентами |
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
n(h+0 |
^ Ѵ і + і - О |
(1Ѳ) |
Г (ас'; + m,- F |
Cx'j |
=0. |
Остальные группы Ли на плоскости являются подгруппами втих.
Поскольку их так немного, возрастает их роль. Проектив ную и аффинную геометрию мы будем научать.
§ 8. Несобственные элементы
По Понселѳ проективным преобразованием (определение 1) плоскости называется прѳобрааованиѳ плоскости, которое явля ется результатом цепочки центральных проекций.
Под " плоскостью" будем понимать совокупность точек и
|
Центральной проекцией плоскости |
<* |
на |
плоскость |
« ' |
|||||||||
и а центра |
<S ; |
не |
принадлежащего ни |
ы, |
, |
ни |
« ' |
, |
||||||
называется |
отображение точки |
M |
|
плоскооти |
°< |
|
в |
|||||||
точку |
М' |
плоскости |
а' |
, |
и прямой |
-t |
плоскости' |
|||||||
о< |
в |
прямую |
Ь . |
плоскооти |
оі' |
, |
при |
котором |
прямая |
|||||
m |
, |
соединяющая соответствующие точки |
M |
и |
Ц' |
|
||||||||
проходит черев точку |
S |
|
и любые две |
соответствующие |
пря |
|||||||||
ные |
I |
|
и I |
лежат в |
одной плоскооти |
X |
, |
проходя |
||||||
щей черев |
центр |
S |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Проективную геометрию составляют |
свойства, |
сохраняющи |
|||||||||||
еся |
при проективных преобразованиях, |
то есть сох ранящиеся |
||||||||||||
при |
центральных |
проекциях. |
|
|
|
|
|
|
|
1 Q |
||||
Очевидно, что при центральной проекции сохраняется принадлежность; есет_точка_ И принадлежит пряной_ В _,
то_соответству5щая_точка_ _М_^ _ будет прннадлежать_соответствуицей_прямой J,^_ _ .
|
Перед тем |
|
как |
изучать другие |
свойства, |
сохраняющиеся |
||||||||||||||
при |
центральных |
проекциях, |
валет тс, |
что |
центральная |
проекция |
||||||||||||||
не является взаимно однозначным отображением. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Чтобы точке |
M |
плоскости |
|
<х |
|
получить |
соответст |
||||||||||||
вующую |
M ' |
, нужно точку |
M |
|
соединить |
о |
S |
|
|
прямой |
||||||||||
m |
, что всегда |
возможно, так как две точки |
M |
|
и |
S |
|
|||||||||||||
воегда определяют прямую, и найти точку пересечения |
|
М' |
пря |
|||||||||||||||||
мой |
m |
|
с |
плоскостью |
|
оС' |
, |
что |
В08М0ЖНО |
лишь, |
ѳоли >ѵ |
|||||||||
не параллельна |
плоскости |
<*' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Все |
точки |
|
Я |
|
плоскости |
|
оі |
|
|
, |
для |
которых «SX |
|||||||
параллельны |
|
|
плоскости |
<х/ |
|
, |
не |
|
будут |
иметь |
образа. |
|||||||||
Все |
такие прямые |
Stf} |
S} |
параллельные плоокооти |
ы/ |
. и |
про |
|||||||||||||
ходящие |
через |
точку |
|
лежат |
|
в |
плоскости |
tp |
|
, |
прохо |
|||||||||
дящей через |
5 |
|
к параллельной |
|
плоскости |
|
ос' |
|
, |
а |
потому |
|||||||||
такие точки |
X |
, для которых нет образа,образуют |
прямую и |
|||||||||||||||||
пересечения |
плоскости tf |
о плоскостью |
|
а. |
|
. |
Также |
|||||||||||||
прямо! |
и |
|
-нет |
образа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Аналогично, |
вое |
точки |
прямой |
|
ѵ' |
|
, |
которая |
получает |
||||||||||
ся от пересечения о плоскостью |
' <* ' |
плоскости |
f |
|
|
п р о |
||||||||||||||
ходящей |
черев |
S |
|
и параллельной |
плоскости |
<* |
|
, |
не |
|
||||||||||
будут иметь |
прообразов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из |
зтого положения есть два выхода: вырезать из плоско |
||||||||||||||||||
стей |
« |
|
к |
<*' |
прямые |
и |
|
|
H |
I |
/ |
' |
, |
или |
добавить к |
|||||
плоскостям |
« ' |
и |
о< |
образы |
|
X ' * |
|
точек |
jf |
|
|
»пря- |
||||||||
мой |
и |
* |
прообразы |
If |
точек |
|
L ' |
|
прямой |
|
и' |
|
||||||||
Первый выход был бы хорои, еоли бы нам нужно было изучать лишь одну определенную центральную проекцию, но у нао семейство воѳх проективных преобразований - семейство цепочек всех центральных проекірй - при других центральных проекциях пришлось бы вырезать другие прямые и в конце кон-
14.
цов ничего бы на плоскости не ооталось. Поэтому пошли по
второму пути: |
к плоокости |
<*' |
|
добавим некоторые |
абстрак |
|||||||
тные |
объекты - |
" |
несобственные |
точки" |
М' |
и " |
несоб |
|||||
ственную прямую" |
и'* |
|
и поставим их в соответствие |
точ |
||||||||
кам |
X |
и прямой |
и |
, которым не было образов |
при |
|||||||
центральной |
проекции |
ив точки |
5 |
. Обычные точки |
и |
пря |
||||||
мые в отличие от несобственных будем называть собственными. По какому закону поставим в соответствие собственным эле ментам несобственные и какими свойствами они будут обла дать?
Чтобы наиболее естественно их ввести, вспомним, что в основе элементарной геометрии лежат некоторые основные объ-
.екты и аксиомы, при помощи которых получаются все теоремы геометрии. В аксиоматике Гильберта все аксиомы и основные не определяемые понятия разбиты на пять групп. Рассмотрим снача ла лишь аксиомы эквивалентные по классификации Гильберта ак сиомам I группы - аксиомам принадлежности и аксиому ГУ груп пыаксиому параллельности, В качестве неопределяемых понятий возьмем понятия "точка","прямая","плоскость" и "принадлежать"
(быть инцидентными) по |
отношению каждой пары из |
них |
|
( І З С О І , |
Дха, |
О-АГСХ. |
( I ) |
Иногда для образности про точку и прямую инцидентную друг другу будем говорить, что точка лежи на прямой, прямая про
ходит |
через |
точку, |
также - про точку |
и плоскость'или пря - |
||
мую и |
плоскость. |
|
|
|
|
|
|
В качеотвѳ аксиом возьмем такие: |
|
||||
ф Если точка |
А |
и плоскость |
с* |
инцидентны одной |
||
прямой |
а |
, |
то они инцидентны друг |
другу. |
||
(2);Две точки определяют одну и только одну прямую, им ин цидентную.
Две плоскости, имеющие одну общую точку, имеют одну прямую, (им инцидентную).
15.
0 . Точка к прямая, яѳ инцидентные друг другу, определяют одну и только одну плоскость, которой они инцидентны.
( g . Сущеотвует по крайней мере четыре точки, не инцидентные одной плоскости и одновременно одной прямой.
@Каждой прямой инцидентны по крайней мере две точки,каждой плоскости инцидентна по крайней мере одна точка.
Из этих аксиом легко вытекают такие утверждения:
(g). Еоли_ две точки _ _А |
и_ _В_прямой — а _ |
принадлежат |
|||||
плоскости _«_ _,_то пряиая_ |
а |
принадлежит |
плоскостиы. |
||||
действительно, |
оусть |
|
|
|
|
|
|
в |
с а |
, В с |
а , |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|||||
А с с* , |
Ё> с |
ы . |
|
|
(3) |
||
Тогда, в |
силу |
© л |
найдется точка |
С |
, не |
||
7инцидентная плоско оти <х
а. (4)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямая а |
и точка С |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяют |
в |
оилу |
||
(2) |
пяоскооть ja, |
, |
|
отличную |
в |
силу |
(4) от |
плоскости |
|||||||
<* . В силу (f) |
точки |
|
А |
и |
В |
принадлежат |
плоскостир |
||||||||
|
|
,. |
|
floc_p, |
В |
= |
/ . |
|
|
|
|
|
* |
( 5 ) |
|
Тогда в |
силу Тф |
вти две |
плоскооти |
|
<* |
, ß |
имеют |
об |
|||||||
щую прямую |
ê" |
|
.' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é ^ o i j |
і х |
|
р . |
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
||
Точка |
й(п |
д) |
принадлежит |
прямой |
S |
|
, так как в про |
||||||||
тивном случав |
в |
оилу (З^, |
|
(5j, |
(б^ |
и |
ф |
плоскости |
ы. |
и |
|||||
16.
|
совпадали бн, |
|
|
|
|||
|
|
Axé, |
Ьхё, |
|
|
(7) |
|
тогда в |
силу'(2)'и®лряше |
а э и |
ê |
совпадают |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
то |
есть |
в силу |
( 6 t ) |
|
|
|
|
|
Аксиомы ( g j , |
(5), (g) и доказанная |
|
(9) |
|||
|
теорема ©'составляют', |
||||||
как |
известно, |
систему аксиом Гильберта |
евклидовой, геометшпь |
||||
|
Тогда |
будет верно утверждение |
|
|
|||
(g) . Плоскость _ы_ _ и прямая_ ал |
_не инпидьнтныц друг_ |
||||||
|
flpyry_, имеют |
самое большее одн^_обп^пю_трчку, ибо в про - |
|||||
|
тивном случае по предыдущей теореме они были бы инциден |
||||||
|
тны, |
что |
противоречит условию. |
|
|
||
|
Также можно доказать, |
что |
|
|
|||
(§). Су^ествуют_4_плоокоотиjie инцидентные одной точке и. oftz ной прямойд,
Акоиома параллельности Евклида утверждает, что
ф. Если_точка_ |
_А_ _и_прямая _ <j _ _нѳ инірщѳнтны_ друг_ |
|
|||
другу_,_то в |
плоскости <=<, _,JMuj^eHTHOflJCM обоим,_cyjie- |
||||
ствует лишь одна прямая — у |
, инцидентная |
точке ^ |
~ |
||
и не^ересекающая |
п_ряную_ и _ |
^(не имеющая о |
об- |
|
|
щей инцидентной точки). |
|
|
|
||
Опредедение |
1 . Две прямые, инцидентные одной плоскости • |
||||
не пересекающиеся, |
навовем параллельными. |
|
|
||
Тогда будут |
верны |
предложения |
|
|
|
17.
Гос. ПубЛи«,яе#
ЩДве прямые, инцидентные одной точке или параллельные, 1шц^ентны_одно|_г1лоскостм^
•Сф^ Две прямыех инцидентные одной плоскости,_лкбо па^аллельныА либо_инци^ентны одной точке.
Определение 2. Две плоскости, не имеющие общей точки, навиваются параллельными.
Таким обравом, в оилу ®
(fg)) Две плоскости jH6oj]aj)auaibHjax либо_опредѳляот одну прямую.
@ . Черев точку^ можно провѳсти_одну плоскость параллель ную данной_іілоскостн. •
Определение 8.Прямая и плоскость называются параллель ными, если не имеют общей точки.
Верно утверждение:
® ) |
З*!!6 ^ прящю_ _Q |
пар^хледшо прямой_ £ |
(_нѳ парал |
|||||||
|
лельной |
а_> |
проходит |
единственная |
плоскость_ и |
_ . |
||||
|
|
- |
- |
- |
-g- - |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
присоединяемым |
|
||
|
|
|
|
|
влемѳнтам-нѳообствѳнным |
|||||
|
|
|
|
|
точкам и несобственным |
|||||
|
|
|
|
|
прямым предъявим |
требо |
||||
|
|
|
|
|
вания не портить |
аксио |
||||
|
|
|
|
|
мы принадлежности.(а |
мо |
||||
жет |
бйВь даже их усилить)! |
не нарушать |
щійнадлежностиі. _рри, |
|||||||
центральной |
проекции. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тогда несобственные элементы должны будут обладать |
та |
||||||||
кими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А; Вое несобственные точки плоскости ^например и '_) |
|||||||||
Ш^адлежат^ несобственной прямой_втой плоскости, так |
как |
в |
||||||||
центральной проекции их прообразы лежат на прообразе |
несобст- |
|||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венной прямой и сохраняется принадлежность.
В: Параллельныеjipmrae плоскости (напр_име£ <х ^)_«мѳют общую несобственную точку.
Действительно, |
пусть в |
центральной |
проекции из |
точки |
5 |
||||
с плоскости с* |
на плоскость ы/ |
)С - прообраз |
какой-нибудь не |
||||||
собственной |
точки |
плоокости |
, |
то |
есть |
SX |
|
||
|
|
|
|
параллельна |
плос |
||||
|
|
|
|
кости |
сх' |
. |
Рас |
||
|
|
|
|
смотрим прямые |
|
||||
|
|
|
|
плоскости |
<х |
, |
|||
|
|
|
|
проходящие |
черев |
||||
|
|
|
|
«очку X |
. Вое |
|
|||
плоскости |
|
|
|
|
|
проектирующие ѳти прямые не |
|||||
точки S |
, |
проходят |
через |
прямую |
SX |
, |
параллельную |
||||
плоскости |
|
, |
а потому |
пѳрѳоекают |
|
« ' |
по прямаі,па |
||||
раллельным прямой |
SX |
, |
а |
потому, |
параллельным • |
между |
|||||
собой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
Эти прямые соответствуют |
прямым |
|
I |
|
|
|
|||||
проходящим чѳреэ точку |
X |
, |
а потому должны вое оодер |
- |
|||||||
жать соответствующую точке |
X |
несобственную точку |
X'* |
, |
|||||||
С: Каждой_пряиой ui ирскооти о^' |
принадлежит |
одна |
|
||||||||
несобственная |
точка, а |
именно несобственная |
точка ~Х'* |
~ |
|||||||
£оответствуодая точке пересечения плоскости "оГ ~ ~о~прі-
мой,проходящеftjieje8_T045y_ |
5 _й_ пар^ажлельной_прмой _ы_ |
||||
Д : Все параллельные |
прямые имеют общую несобственную |
||||
T04KJT. |
|
|
|
|
|
В силу |
В~ |
достаточно |
будет для «того доказать, |
||
что любые три |
и |
,. ѵ |
, |
иг |
параллельные между с о |
бой прямые, не |
лежащие » |
одной плоскости,имеют общую |
|||
несобственную |
точку. |
|
|
|
|
19,