книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

Поставки в строющѳмоя соответствии

С

между полями

<Х

И

О Т

прямой

in

прямую

m '

С

(m)

т.'

(8)

2)

Аналогично,

между пучками

F(...

)

и f'f...

)

установим

проективное

соответствие

Pc

, в

кото

-

ром прямым

Ff

,

FG

,

FH

соответствуют

пря

-

мне

Ff'

,

FU\

FW

.

Рр:

F(FEtFG,,FH..)

xFfF'EÏ

Ffypb'..)

(9)

Каждой прямой

Fh

пучка

F

в

атом соответствии

отвечает

прямая m '

пучка

F'

PF(m)=m'

(10)

Поставим в соответствии

С

прямой

m

прямую m '

(11)

S)

Затем, рассмотрим

произвольную

точку

M

плоскости

°{

, не

принадлежащую прямой

.EF

M 4 FF

(12)

Поскольку она не принадлежит прямой

Е ^

она

определит две

различные прямые

m

и

m

пучков

Е

и

F

, проходящие черев

нее

т = £ Л Т ,

m~FM,

ю-^тфЕЕ.

Ц з

)

Если бы строющеѳоя соответствие

С

было

коллинеаци-

ей,

то в

ней точке

M

соответствовала бы точка M '

,

прюадлагащяя

ррймнм

w '

Г т '

,

соответствующим в

С

прямым

m

и

m

. Поскольку,

ни

m

, ни m

нѳ совпадают

Q EF}

им соответствующие

m' , m '

в

соответствии

С

не

совпадают с E'f'

, пото­

му не совпадают между

собой

w'fra/

(14)

M ' « • * » ' » « ;

(15)

С(М)=М./

(16)

Точка

M

в

силу

(14) не будет принадлежать

прямой Е'Р'

М'фЕГ.'

(17.)

4)

Рассмотрим

произвоиьную прямую

t

, не

проходящую

ни

черев

точку

Е

, ни

черев

точку

F

.

•(18)

г'

</

и',

/ M

а'

щие прямой

EF

. Mtc

6,

MifEF%

(19)

и найдем

геометрическое

место

точек

М/

им

соответст­

вующих в

строящемся

соответствии С

. Каждую такую

точку

Мі

нужно

соединить о точками

€

и

F

прямыми

гп-

и

^ , '

Щ-ЕМІ,

m - F M ; ,

ш

найти им соответствующие в проективных

соответствиях

h

« PF

б) Таким образом,осталооь

лишь

указать

соответствующую

любой точке

прямой

ВF

а

проверить выполнение этого

же

требования. Точке

В

согласно

условию теоремы

поста­

вим в соответствие

точку

В'

. В

силу

построения

(18)

воем прямым

m

,

проходящим черев

В

будут соотве

-

Е'

.

Также

точке

F

поставим

в соответствие

точку

F"

, воем прямым

m

,

проходящим

через

F

будут

соответствовать в силу

(9,10

) прямые

m '

,

проходя -

щиѳ черев

соответствующую точку

F

Более

того, из того, что в силу построения

(10)

точ­

ке

M

прямой

і

, не

принадлежащей

прямой

В F

,

соответствует

точка

принадлежащая

соответствую

щей прямой

I

'

, и

аналогично не

принадлежащая пря

мой

E'F\

следует,

что

еоли две

прямые

і

и

п

пе­

ресекаются

в точке

M

не

лежащей на

ВF

,

то

со­

ответствующие

прямы*

V

п'

делжнн первоекаться в соответствующей точке

M

не

лежащей всилу^на

£'F'.

.

Поетвму » силу взаимной одноаначаооти построенного

соответствия

С

прямые перѳо*кающиеся

на прямой

£ . /

f

-

г

у-

\ -

,/\

\

г

, 7

\

/

//

ßF

перейдут в прямые, пѳресекающиеоя на прямой € Ff

Следовательно,

пучок прямых о

центром 5

на прямой

EF

перейдет

в

соответствии

С

в пучок

прямых о цен •

тром

S'

,

лежащим на прямой

E'F'.

Поставим в соответствие проиввольной точке

S

прямой

EF

центр 5

пучка прямых плоскости

<*

,

соотве-

тствующих прямым пучка о центром в точке S

с (s)--s:

<?*>

В силу построения основное требование коллинеации

автома­

тически

выполняется: прямым^ проходяшян_чере_8_ £

_

будут

Построенное соответствие С

-

искомая кохлинеапия.

Следствие 1.Сравнивая теорему

2

о теоремой 8 ,

щих на

одной прямой,

и пара

произвольных

прямых, не

проходящих ни

черев

/

—j

I

1

одну ив

этих

точек,

определяет коллинеа-

цию, в которой

они

• •

' .

являются соответст­

вующими, так как ѳти

J.

i

,

I

три пары точек опре­

деляют три пары пря­

мых ' и

по следствию

2.

в '

u'

1

собственных

точек,

не лежащих на одной прямой, так как "пару

соответствующих

прямых дают несобственные

прямые if* и ѵ *

плоскостей

<х

и

« ' .

—..

ются пар^ллѳлжость_и_п£остов_отао^^

точек

одной

прямой_.

<

Теорема І.При

аффинной коллинеации

сохраняется парал-

лѳльность.

-

Действительно,

если две прямые

£'

• t

tn первого

п о л я п а р а л л ѳ л Е Н ы

" .

то

они имеют общую неооботвенную

точку

*

£ х т - - У *

'

( 2 )

H

n

а есобетвѳнная точка Я

принадлежит несобственной

пря­

мой

и*

, которой соответствует несобственная прямая

у ' *

плоскости

ы. '

,

Поэтому соответствующая

точке

С т о ч к а

Я/

должна принадлежать несобственной

прямой

.

Я'си'?

(3)

то еоть

является

также неооботвенной Я'*, прямые

I '

и т\

Соответствующие

пряным

ê

и

то;

должны проходить

черев

ету

несобственную

точку

Я'

,

так

как прямые Е

и я?

проходят

череа

точку Я,

т'оХ'*

(4)

поѳтону они параллельны

film'.

(5)

Пуоть

три

точки одной прямой

и

т.

і' ,

M ' ,

Я'

-

соответствующие им точки

прямой

. Докажем,

что.простые

отношения

их

равны

Ш

MW'

(б)

М/Ѵ

точку К* '

и

Рассмотрим несобственную

прямой

. Е й ,

как

точке

пересечения

прямых

и и г / *

,

должна со­

и'

и

« / ' * ' , то есть несобственная точка К'

прямой

и'

одна

И8 которых несобственная ( 5

6) сложное отношенже-

(ШМК*)

равно

также

но в силу следствия I

§ 40

олажнне отношения

соответствующих точек

при любой коллинеация равна

ß#MK*)

= (L'*fl1<').

(9)

$ 43. Перспективная

коллинеация

Соответствие

между двумя плоскостями, которое полу-

,5

чается при цен -

/оі \

^

yfl

тральном проѳк -

тированжи as точ­

ки S

о плоско­

сти

«

на плоо -

• н ' / ^ х .

/

/

кость

<*'

, как

л ,

j

легко видеть, яв-

в.' нааывается_персітежтивной,

"

~~~

если каждая

пара^оответотвукоах. влементов принадлежит

одному_и_тому_ «_элемѳнту_ _сдаоі_свявгн. Центр g

ѳтой_свявки

HaBOTt£TCH_ueHTj^j]epçneKTKBHj. прями ѵѵ

пересечения

плоскостей _°<

ж _ с*

_ - ocM_nejpcne-