книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

С " * <

<3 )

и проивведениѳ двух коллинеации

С ,

и

являет­

ся коллинеациѳй

С.

С£л -

(

4 )

Таким

образом,

совокупность

всех

коллинеации

двух

полей

<*

и

df

, совмещенных

на

одной плоскости

,

ющих прямых и

и и ' является проективным соотвѳ -

образуют

гарыоничѳокую

четверку

( r t ô C Z » = - 4 -

<5)

Значит,

найдется

полный четырехугольник

£FG,H

та ­

кой,

что: для него точки

А

и

В

будут

диагональ­

ными,

а

С

и

J)

лежат

.на сторонах,

проходящих че ­

рез третью диагональную точку

Р

. В силу

определения

коллинеации

четырем точкам

В

, F

, ß

, И поля с*,

по три не лежащим на одной прямой,

в поле

« '

будут

соответствовать

четыре

точки

Е

,

F'

, G> ,

H'

также

по три не лежащие на одной

прямой,

и,

значит,

также,-опре­

EF-*£?:

ен+с'н',

ЕЬ-+ЕЪІ

( Б )

GH*G,'H:

F&-*Ft:

П-+Р'Н:

b=EH*F&-+E'H'*F'&'*b't

(7)

p=fâxFH +

Eb''Fti'=P?

Поскольку точки

А и

В

принадлежат

прямой

и

,

то соответствующие

ТкяЩ&яфш

точки

А' , о'

при­

надлежат соответствующей прямо!

и'

, точкам

С,Ь

пересечения прямых

EGi

и

FH

о

и

соответствуют

точки

С

,2)'

пересечения

соответст­

вующих прямых

F'//'

,

E'G,'

с

и'

C'=F'H'*U',

(9)

таким

образом,

точки

ft'

,

ô ' ,

С'

,

J)'

,

соответст­

вующие

точкам

Я, в , Ç,D

гармонической

четверки, являют­

ся

диагональными

точками

( Л , в

) полного

четыреху -

гольника

E'F'GI'H'

И точками пересечения

прямой

их

соединяющей ( и '

) со сторонами,

проходящими

через

тре­

тью диагональную точку, а потому

они сами образуют

гармо­

ническую

четверку

( Й ' в ' с Ь З — *

(10)

- соответствие

между

прямыми

и

_и

и '

проективное

ц(АЪС.)

тг и'(ЙЪ'С'..).

•

Поэтому будем обозначать коллинѳацию

С

тем же знач­

ком

л

, что и для проективного соответствия

« * ( f l b E F . . J .

*«'(A%'E'F'.).

(12)

Следствие

1.В силу эквивалентности

проективных

оот

Следствие 2.В силу определения коллинѳации прямым,

проходящим через

одну точку S

поля

<*

в коллинѳа-

ции

С

будут

взаимно однозначно соответствовать пря -

мыѳ,

проходящие

черев соответствующую

точку

S

поля

ности,

получим, что вто соответствие между пучками S

и S

- проективное

(Можно е ю же докавать

иначе. Рассмотрим в первом

поле

d

произвольную

прямую

U

,

не проходящую через

точку

S,

и ей ооотвѳтствующую прямую

и'

в

поле

0 ( /

. Пучок

S (а

ее.

)

высечет на прямой

и

ряд точек

S(Qêc.)7iu(fibC...).

(14)

Пучок $(а'£с'.)

на прямой

и'

высечет

ряд

точек

$'(*'е'с'..)*

и'СйЪ'с'..).

(

1 5 )

В силу определения кодлинѳации точки, высекаемые

на

соответствующих

прямых

U

и

и'

соответствующими

прямыми пучков

S .

и

S

., будут

соответствующими,

и, вначит,

в силу теоремы ряды

и(Й1ЬС..)

и

цЩ'в'--)

проективны

uffifrC.)

хи'(Й%'с'...).

(16)

Сравнивая (14),(15) и (16), получим искомое, (13).)

Следствие 3. Если•коллинѳация двух полей имеет

три двойные

точки,

лежащие на одной прямой, то

каждая

точка

етой

прямой -

двойная ,

yf*\

U

А

В

С

fi'

в'

С

Действительно,

если

на прямой

ц

имеется

три

двой

-

ные

точки

д м ' ,

ß = s ;

с н е /

civ)

то

прямой

и

,

как проходящей

через

точки

А

и В

,

соответствует

прямая

и'

,

проходящая через

соответству­

ющие точки

А^

и

В ;

,

то

есть

прямая

и '

совпадает

с прямой

U

u ' = U .

(18)

Проективное соответствие

между рядами

и

и

u ' ,

сов­

мещенными на

одной прямой

и(АЬСМ...)ли'(А'в'с'м'..),

(19)

имеет

три

двойные

точки

А

,

В и

С (17)

,

а

потому

(

§ 16

) ,

является

тождественным

M s M ' .

(20)

Следствие

4.Рассуждая

двойственно

по малому

принципу,

одной плоскости,

имеет три двойные

прямые, проходящие че ­

рез

одну точку.

S

,

то

каждая

прямая,

проходя

-

щая череэ эту точку S

-

- двойная.

Следствие

5.Коллинеация

любую кривую 2-го

порядка

к переводит

в кривую 2-го

порядка

к

Действительно,пусть

кривая

к j

лежащая

в

поле

«,

образова­

на

проективными ме -

жду

собой

пучками

St(aAc,...)xSt(asStct.JW

Коллинеация

С

между

полями

<*

и ОІ

переведет

их в проективные им пучки ( следствие 2

)

S<

(aJ,ci...)xSx/(a/^...l

(22)

(23)

Будем считать соответствующими в пучках

S /

и

S t '

те прямые, которые соответствуют в коллинеации прямым,

соответствующим между ообой в проективном соответствии

(21). Сравнивая

(21), (22)

и (23)

видим, что это

соот­

ветствие

-

проективное

С другой

стороны, точкам

кривой

к'

,

как точкам

пере­

сечения

соответствующих

прямых пучков

S f

и

Si}

в си­

лу определения

коллинеация

поставит

в

соответствие точ­

ктивных пучков

(24),

а потому эти точки

образуют кривую

2-го порядка

1 .

(25)

Следствие 5. Коллинеация сохраняет полярное соот­

ветствие относительно кривой 2-го порядка.

Действительно,

пусть точка Р

является полю-

сом прямой

p

относительно

кривой 2-го по­

рядка

к

, ле ­

жащей в поле с*.

Это

значит j

что

найдетоя пол­

ный

четырехуголь­

ник

EFGH

,

вписанный в

кривую

к

,

для

кото­

рого

точка

Р

является

диагональной

точкой, а две

другие

его

диагональные

точки

R

и

Q.

лежат

на

прямой

р

R e p ,

Q c p .

(26)

При коллинеации

кривая

к

по

только

что

доказанному

перейдет в

кривую 2-го порядка

к '

,

вписанный в

к

четырехугольник

EFGH

перейдет

в

четырехугольник

E'F'Q'H'

» вписанный

в кривую

к'

. П о

основному

угольника

Р

,

Q

,

Я

перейдут

в диагональные

точки

р',

Q'

,

R '

,

второго

четырехугольника

Р -

Р

Q-+Q,

R-+R

(27)

и

поэтому

прямая

,

как

проходящая

черев

точки

•

я

и

а

, перейдет

в

р'

проходящую через

со-

отвѳтствующиѳ

течки

Я'

и

Q '

(28)

р-^р^Н'о!,

но

прямая

р '

, в

силу

того,что

а '

являются диагональными

точками

вписанного в кривую

2-го

порядка

к'

четырехугольника,

является

полярой

точки

Р'

относительно

етой кривой

к/

.

. Полюс

Р

и поляра

ß

относительно

кривой

к

перешли

в полюс _ Р'._

и

поляру

^относительно

соотвѳтот

-

в^тощей_к£ивой _kj

.

переводящей данныѳ_че-

t\y>(*

I

тырѳ_точки

ßif.Gi-ß

п . ° ™ _ ^

> _ п 0 Т Р И н е

E,'F,'G!H*

п ш ш - I * /

одной

прямой.

f , (

^

/Действительно, пусть

/

две

коллинеации

Ct

и

/

Сг

переводят че

-

тырѳ

точки

E>FJG,iH

в

четыре

точки

EjF,%^-

Тогда

коллинеация

С<'г*С±

О )

будет

преобразовывать

точки

плоскости

<*

между собой

и

сохранять четыре

точки Е

, ?

,

^

,

^

,

значит

в

силу предыдущей теоремы ѳта

коллинеация

С

является

тождественным

преобразованием '

обратное соответствие

к

колинеации

£ \

являет­

ся

обратным к

коллинеации

C t

C Ï * C - ;

.

•

( 5 )

-

коллинеации

C t

и

CT

совпадают.

Теорема 3. С^щест^ет_коллинѳация^ежду_полями

м ы ' , переводящая четыре

произвольно

взятые

на

плос

-

кости

<*

точки

Е

,

F

,

Оі

,

M

,

по три

не_лежащие_на

о^ной

п р я м о й j _

_четырѳ

также

произвольно

взятые

на плоскости

ос'

точки

Е', F,G\>H

,

по

Для

этого нужно

каждой

точке и прямой

плоокооти <*

ука­

зать

соответствующие

на плоокости

<*' й доказать,

что

это

соответствие

С

является коллинеациѳй.

мые

EF, EG, EH

перевела

бы в

прямые

E'FfE'Q,

ЕН/

и между пучками

£ ( . . . )

и £ ( . . . )

установила

бы прое­

ктивное соответствие. Но проективное соответствие между

двумя

пучками

£"(.•)

и

É'(---)

определяется

тремя

парами соответствующих прямых, произвольно выбранных.

Установим между

пучками

прямых £"(...)

ъ

£'(...)

проективное

соответствие

Fg

,

в котором

прямым

EF, EG,

PH

соответствуют

прямые

EF/

£&,'£~л..

РЕ:

E(EF, EG,, EH,...)

x

E

U

K

e

b

'

( б )

В этом

соответствии каждой прямой

m

пучва_-б^Д

будет

соответствовать прямая

«?'

пучка

£

(>••)•

причем,

поскольку прямой

EF

соответствует

прямая

E'F'

, а

проективное

соответствие

взаимно

однозначное,

прямой

~fn

,-отличной

от

EF

,

будет

соответствовать

в пучке

£'(•••)

прямая

пр О у-отличная..от-

ЕМ^_^