книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

U пересекается с

плоскостью X

й хГ

= Ж

(

39 )

Образующая

серии

if,

проходящая через точку

Я, дол-

хна пересечь образующую и

!/хЫ = M

(

40)

и,

значит,

лежит

в плоскости ѵ

\j

с V

(

41 )

-

плоскость

V

содержит две образующие

и

и

if

ресечения

M

ТеоремабКасатедьная

плоскость

к линейчатой

поверх­

ности

2-го порядка в точке

M

несет пучок

каса -

тельных в точке _М

.

Действительно,

если

плоскость

т

содержит

две

образующие разных'се­

рий

и

и

V,

пе­

ресекающиеся

в

точке

M

, то

всякая

прямая

этой

плоскости

г

,

проходящая

че -

"черв^точку

М,

с поверхностью

будет

иметь

общей

лишь одну точку

M

,

так

как точки

поверхности, ле ­

жащие в

плоскости

X

,

иочѳрпываются

прямыми

и

-и- V

. . Поэтому

каждая такая прямая является каса

-

тельной

к

поверхности.

Таким образом, вое прямые пучка плоскости

Z

с

центром в

точке

H

,

за

исключением самих

прямых .

U

и

V

,

является

касательными

к поверхности.

Действительно, несобственная плоскость, касаясь парабо­

лоида, несет две образую -

щиѳ равных серий

и*

и f f

' " " ^ Рассмотрим плоскости

Л.

и jv<

, имеющие

зти

обра­

зующие

и"

и

tf*

не­

собственными

прямыми

XT

*lf

(1)

Все

прямые серии

У

пересекаются

с прямой

« *

-

несобственной

прямой

плоскости

Л

,

то

есть парал­

лельны плоскости

Л

V

/ / Л .

(2)

Аналогично,

все образующие

и

параллельны

плоскости

" " Л

(3)

ТеЬреиа.Образующие одной серии параболоида на

любых двух_образугощих другой серии_выоѳкают

аффшные_

ряды,

Образующие

одной

серии

линейчатой

поверхности

2-го порядка, например,

серии

V

,

высекают

на любых двух

образую-

»•

щих

ыл

и

иг

серии

м

два

проективных

ряда

(

§ 37

) , но в

случае

параболоида

среди

этих

образую­

щих

)/•

будет несобственная -прямая

if **"

,

кото­

рая высекает

на

ил

и

и г

несобственные

точки

А*

и

Ö*

Они соответствуют друг

другу.

Значит,

соответствие

между рядами

*л

и

и е

- аффтноѳ,

ряды

аффинные.

зуют гармонические

четверки

( М У Д б ) = - 1 ,

(MCD)--i.

( 6 )

В исходном проективном

соответствии

Ш

точкам

M

,

H

,

А

,

ІЪ

,

С

,

D

,

ооотвѳтотвуют точки

M'

,

/ К ' »

А',

&'

,

С

,

Х>'

. В силу

опреде­

ления

соответствия

гармониэмы

(6)

сохранятся

(МУА'Ь')*-*,

(М'УСЪ')*-*.

W

На прямой

и'

точки

М '

,

У

как двойные, определят

гиперболическую

инволюцию со'

Ш'(М')

= М',

со'(Х)=М.'

(Ѳ)

В силу

§30

точке.

А '

в этой инволюции

со '

бу­

дет соответствовать

четвертая

уармоническая

к.

А

отно­

сительно

пары двойных

точек

И '

,. И

,

то есть

в

силу (Ѳ)

точка

& '

со

7 * )

=

<

СО'(&')=А'

О)

Аналогично, в

инволюции

со'

в силу

(7)

точке

С

будет

соответствовать

точка

Ъ'

c o / f C ) = D , /

со'а>1»с'.

.

(10)

то есть пары точек ( А о '

) и

( сЪ'

)

являются

соот­

ветствующими точками

одной

гиперболической

инволюции

со^

а потому не раадѳляют друг

друга -

верно,(2) .

Следствие. В силу упорядоченности соответствия в

силу теоремы I

будет

следовать, что

когда

точка

M

бу­

дет двигаться

по прямой

U

в каком-нибудь, одном направ­

лении,

ей

соответствующая точка

M .

на

прямой

W

будет двигаться также в одном направлении

:

ив

будет

следовать,

либо

либо

м / < м г ' < <

ц

fi

д

M

ьс

В С

Пусть

в проективном

со-

u'

fii

л'

w

в'

у

с'

ответствии

Ш между

ря-

О

и'

,

0

дами

ц

и

совмещенными на

одной

прямой,имеют­

ся

три двойные

точки

с=с!

і ш

А

= Д ;

Ô * B

;

множество двойных

точек. Но нам нужно докаэать,

что все

точки

двойные. Предположим найдется не двойная точка

М¥М'

(12)

Три точки

А,В,С

разбивают

прямую на

три

отреэ-

ка: 1)

ЙІЪ^С

, в котором нет точки

С

,

то

есть

совокупность точек, каждая из которых совместно

с

С

разделяет

пару

AB, 2)

ѲС^ А

- тот

отреэок

ВС,

в котором

нет

точки

А

и

3)

CA

^ 8

-

тот

отрезок

между

С

и

А

, в

котором

нет точки

В

. Посколь­

что

точка

M

принадлежит

отрезку A ß , С

, то

есть

пара

M С

разделяет

пару AB

м ' с ' + я ' в '

( 1 4 )

или

в силу (11)

MC-f-flß,

С15 J

то

есть точка м '

принадлежит тому же отрѳэку

AB,С.

соответствию,

можем предположить,

что

точка

М/

лежит

между

M

и

ß

.

Если

точку

ft

двигать к

о

по

отрезку

ДѲ, С

,

в котором

нет

точки

С

,

то

пос

-

кольну

соответствие

упорядоченное,соответствующая

точка

ft'

будет

двигаться

к о

в

одном направлении,

а

именно

по

тому

отрезку,

где

нет

точки

С (в

С)

, то

есть по

тому

же

отрезку

ЙВ>} £

- проективное

соотве­

стности, если

точка движется

от

M

к о

, то

ей соо­

тветствующая

движется от

М/

к

&'( = ß)

в

том на -

резка

ММ'

. ,

лежат

в

отрезке

М О

,

а

потому

в

отрез­

к у

ММ'

двойных^очек^ет^

С другой

стороны,

поскольку

отрезок

M ' о ' вложен

в отрѳэок

МБ

и соответствие

прямого

типа, то

в силу

летіы 2

об упорядоченном соответствии

в

отрезке

M 6

найдется

первая двойная

точка

5 0

(

ею может быть

и

точка

6

)

'

ß 0 ' = / V

(16)

Рассуждая аналогично об обратном проективном

со

-

ответствии и отрезках

й'м'

и

AM

,

получим

что

в

отрезке

ДМ

найдется первая

перед

M

(ближайшая

к

M

)

двойная точка

А0

(ею может

быть и точка

fi)

Л ' - я - .

. .

( 1 7 )

Тогда в отрезке _ ßoPo

двойных^очек^ѳт^Но точка

С

лежит вне

отрезка

fia

,

а,

значит,

и отрезка

fl02io

,

вложенного

в

А&

. Поэтому

четвертая

гармо­

ническая

D

к двойной

точке

С

относительно

пары двойных

точек

flç

,

ô 0

(AACJ))*-±

( 1 8 )

в

силу (10.9)

принадлежит

отрезку

йа

6 0

и

является двойной так как

й0 } &01

С

- двойные

и

сохраняется

гармонией. Полученное

противоречие сохра­

Возьмем

прямую

хх" ,

ооБпадаюшуго

с

и '

и три

точки

я'в'с'

,

совпадающие

соответственно

с

flW

в'**".

с'?С:

(20)

Установим между рядами

и

и

и

проективное

соотве­

тствие

П

со

по

сложному отношению,

при

котором

точ

-

нам А

,

/Ъ

,

С

соответствуют точки

Я"

,

о",

С"

S f # = <

< 3 ( в ) * о *

'

cô(C) = C".

( 2 1

)

Произведение

i ß

обратного

соответствия

к

со

на

со

c ö t o 1

(22)

будет

взаимно

однозначным

соответствием между

прямыми

и ' и

и"

и оохраняетгармониам,

так

как

каждое

из

со­

ответствий

-

сомножителей

со~

я

со

_

обладает

эти

-

ми свойствами. Значит, в силу

теоремы Штаудта

соответст­

вие

Л

-

тождественное

и потому соответствия

со

и

со

совпадают. Проективное

соответствие

со

по

гармо-

ниаму

является проективным

соответствием

ш

по

сложно­

му отношению.

£ § 40.

Проективность

коллинеации

Аналогично

тому,

как

было

о

проективным

соответствием

ме

-

L -

'

-st

жду двумя одномерными

линей

-

ннми многообразиями,

например,

рядами,

естественно

прийти к

кшга

полями - коллинеации

двух полей - как соответствия

і і

I 1 _котороѳ_пслучается

в £еаультате^епочки^ентраль­

плоские поля. Поэтому дадим другое определение

коллинеа­

ции,

не

зависящее от

расположения

втих

плоскостей, а по­

том докажем их

эквивалентность.

.

Определение.Коллинеацией. Ç _ между двумя

плоскими

полями

ос

и

<*'

называется

такое

взаимно

однознач­

ное

соответствиеѳкду_ними, _когда_:

1) точке

M _ соот­

ветствует точка

_М/

2). Щрямой_ J_

соответотвует_

прямая_ V_ _ и 3) сохраняется принадлежность , то есть,

если точка

Р

первого поля принадлежит некоторой

прямой. I

л

.

то соответствующая в

коллинеации

С

точка

Р

принадлежит

соответствующей прямой

6