книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

ностью

2-го

порядка

Vj

(

случай

I g ) .

Пусть

два

ряда

«t(rt«

и V ß A ö j - )

проѳктивны

и прямые

Ui

и и .

не

пересекаются

(2)

Многообразие

состоит

ив прямых

і Г г «А, V A ,

vÄA,-----

(3).

Прямые

tf{

- называются прямолинейными образующими од­

ной серии (

серии

U ) •

Возьмем произвольную точку

M

поверхности

Vg

,

по определению поверхности она лежит на какой-то прямой

У,-* Ai

• Без

ограничения

общности,

можно

считать

ее

точкой

прямой

І ^ в ^ в *

M t C ^ b , ,

(5)

проведем черев нее

прямую ]Ц/' f

пересекающую прямые

\St

и

i/j .

-

ѳто

будет прямая пересечения плоско

-

отей

M 1 f l , ô t

и

M^fljß,

w = H t A t B t ' < M 1 f l i 6 3 .

(б)

» Точки пересечения

прямой

u і о прямыми

ist

и

иъ

обоз­

начим через

М.,

и

Mj

M t

= U x ü

»

,

'

M» - U"«4 .

( 7 )

Эта прямая

и

не пересекается

ни о

u t

,

н ю

и ,

,

ибо в

противном случае в их общей плоскости

лежалж бы

перѳоекающиѳ их прямые

ѵл (

tf

ifb

,

что

противоречит

доказанному

(4) . Поэтому,

соединяя

прямую

ц

о различными

точками

прямой

U±

,

получим

пучок

плоскостей,

перспективный

ряду

и±

ut (flt flt Aj...fl,-.'.)

д u fa

* t <*,...<*,• J •

(8)

Аналогично,

соединяя

прямуюu с

различными

точками

прямой

. иг

» подучим перспективный пучок плоскостей

с

осью

и

u ^ ô 4 e t a i ; . . e 1 - . . ) * « f j , ; j a e A . . . ^ . . . ; .

(9)

Сравнивая (Г),(8)

и 49)

получим два проективных

пучка

плоскостей

u ( o { 1 o ( | B C 5 . . c x , . J » « C j l i ^ t < p I . . > . . - )

(Ю)

о общей осью

u

. Поскольку

прямая

lC,=

пересекается

о прямой

u

, плоокость,

содержащая

пря­

мые

u

и

Ut

, содержит

и точку

fl4

и точку

6 4

,

то

есть плоскости

<*х

и ,рх

совпадают

(11)

Аналогично

совпадают плоскости

«xt

и

р% ,

<х3

(12)

(13)

Тогда проективное соответствие двух пучков плоскостей

(fOf с

общей

осью

имеет

три двойные плоскости

(11),

(12),

(13),

а потому соответствие

будет

тождественным, каждая

плоскость.

о(,-

совпадает

о ей

соответствующей

плоско­

стью

ß,-

(14)

Значит, в этой общей плоскости лежат прямая

точ-

ка

А;

и точка

6t -

,

а потому и

прямая

их

соединяющая

(15)

то

есть прямая

И

пересекает

любую образующую

lSt-

Докажем, более того, что прямая

U

целиком

при­

надлежит поверхности

Ѵг .

, то

есть

любая

ее

точка

M

принадлежит

какой-нибудь

прямой

і/,

. Проведем

черев

точку

M .

пря

-

мую

u

,

пересекающую

прямые

и 4

и

u t

-ѳто

плоскости,

образованной

точкой

будет

прямая

пересечения

M

и прямой

и*.

,

и

плоскости,

образованной

точкой

M

и прямой

ut

(16)

Пусть

эта

прямая

J

пересекает

прямую

и±

в

точке

Â

,

а

прямую

иг

в точке

ß

£ » 1 ^ = * ,

û*Ut=B.

(17)

Точке

А

как

точке

ряда

u t

в

ряду

иг

соотве­

тствует

точка

Ö

,

Прямая и* Ab

является

прямо­

линейной

образующей поверхности

Ѵг

,

потому

пересечет­

ся о прямой

Ц

ДВ*ы = Х

(18)

Точка

ß

совпадает

с точкой

Ö

,

ибо в противном

случае

прямые

и

к

иг

лежат

в

одной

плоскости ABB

что противоречит

тому, что они не

пересекаются

& = &,

(19)

тогда

прямая

\} = Ab

' является

прямолинейной

образую - •

щей поверхности

Ѵ4

. Точка

M

и

лежит ней

и,зна­

чит, на

поверхности

\/г

. Прямая

целиком

лежит

Таким обравом,

на

поверхности

Vt

имеем две

с е ­

рии, образующих

и

и

V

;

рбрааующие одной

серии

ме­

жду

собой не пересекаются, образующие разных серий пересе­

каются.

Следствие.Если

прямая

U

пересекает

линейча­

тую поверхность 2-го

порядка

Ѵг

в

трех точках,

то

она целиком лежит на поверхности.

Таким образом, прямая, не принадлежащая поверхно­

сти"

V t ) . пересекает5

ее" не

более

чей

в-двух

точках,что

оправдывает название

поверхности.

Определение. Если

прямая

с поверхностью

У2

име­

ет две общие точки, т о

называется пересекающей, если

одну

общую *очку, тс

- касательной.

Теорема 2. Вое прямые, пересекающие-три попарно

не

пересекающиеся между ообой прямые, образуют линейчатую

по­

верхность

2-го порядка

Vt .

и*

\

Я;

,

Дѳйотвительно,пуоть

имеем три

прямые

и3 »

попарно

не

пересе­

1 Î — — \

кающиеся. Расоыо -

трим все

прямые

и;

6; /

их пересекающие

од­

новременно,

Черев

каждую точку

каждой

ив

ѳтих прямых

( u t

, йг

,

W3

)

проходит

одна

и только

одна такая

прямая

у,

,

а именно

пересечение плоскостей,

соединяющих вту точку о двумя

дру­

гими

плоскостями. Поэтому прямые.

t/> •

между

точками

лю­

бых двух

прямых И8

U

устанавливают

ктивное. Пусть

прямые і/,-

на прямой

и*.

-

высекают

точки

АІ

,

на

прямой

-

ТОЧКИ

6;

,

на пря -

мой

и.

точки

С,-

(20)

Рассмотрим

плоскости

, определяющиеся

прямыми

Uj

и

</,•

(21)

( проектирующие

ив м 3

прямые

l/t -

) . В силу (20)

плоскость

проходит

и черев

точку

At'

и че ­

рев точку

' 6 ;

, поэтому

пучок плоскостей

к j

( ^ « )

будет перспективен

и ряду

Ut(At-..)

и ряду

U,

(22)

(23)

на

прямой

ut

высечет

перспективный

ряд

Ut(*,OltO(y..«l:.)XUt(Biai6y.A:-).

(27

)

Также пучок

Ut(ßtД

ß,-.,)

непрямой

U-t

-

Ut

(^frfr..^,.)

*"<(*і*А-

Ь~У

< 28)

В силу

(25

)» (27

) ,

(

28

) полученные

ряды

Ut(flt

....)

и

U^(&t

,,

_ . )

проѳктивны

У і К . . Й с . ) т и г ( Ь х . ^ . )

( 2 9 )

но

в силу

(27

) ,

(

28

)

линия

tf±

пересечения

плоскостей

<х±

и

совпадает о прямой

й±&±

*^<*<*$>л=№л>

( 3 0 )

так

как

точки

At

и

ô t

лежат в

обеих плоскостях

É

ßi.

,

аналогично

«4 = ** "А=

"А, •• • *

"Л =

в , :

( 3 1

>

то

есть

наше геометрическое место состоит ив прямых, сое­

диняющих соответствующие точки двух проективных рядов,

значит

является поверхностью 2-го порядка.

Следствие

І.Так

как

V

двойственно

по

большому

принципу

двойственности многообразию

Vi

, t q

этих пучков

а потому эти точки образуют кривую 2-го

порядка

V t

'.

Если кривая

пересечения линейчатой

поверхности 2-го

порядка

плоскостью

не

распадается, то плоскость

л

на­

зывается секущей, если распадается, то касательной

в

точке

M

пересечения прямых, на которые распадается

кривая

пересечения.

" .

Следствие

і Л а к

как кривая 2-го порядка распадается

на две

пересекающиеся прямые, а образующие

одной серии не

перѳоѳкаются, то касательная

плос -

кость пересекается

с

поверхностью

по паре образующих равных серий.

Следствие

2.Так

как черев каждую точку

M

линей­

образующих разных серий, то в каждой точке

M

по­

верхности

будет иметься

одна ка -

сательная

плоскость

к

поверхности,

а именно плоскость соединяющая эти

образующие.

ТеоремабВсякая плоскость, проходящая чѳрев_одну_ обра­

зующую, является касательной_плоскостью.

•

.

Пусть плоскость

г

проходит

черев

образующую

и

, Пусть

й

-

произвольная

образующая

той же серии, что и образующая

и

. Тогда так как

никакие две

образующие одной серии не лежат

в одной

плоскости, то

прямая