книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
AB - |
отрезок еѳ |
между |
|||
|
|
|
|
|
|
f |
асимптотами. Тогда |
ди- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
амѳтрЦ, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уп-СМ |
|
( П ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пШ |
|
|
(12) |
сопряжены, |
эначит, с |
асимптотами |
û |
и |
ê |
образуют гармони |
||||||
ческую |
четверку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в пересечении о |
EF |
подучим гармоническую четверку |
|
|||||||||
точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(АЬНЯ*) |
|
= -1, |
|
|
|
|
( 1 4 ) |
|
то есть |
точка |
H |
- оѳрѳдина отрезка |
AB |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
АН "MB. |
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
Вычитая |
из |
(15) равенство (10) , |
получим |
иокомоѳ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
AE = Prt. |
|
|
|
|
|
|
' |
(16) |
Следствие. Из этой теоремы |
следует |
построение |
точек |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
" - гиперболы,ваданной |
|
|||||
|
|
|
|
fE |
|
|
асимптотами |
и одной |
||||
|
|
|
|
|
|
точкой £ |
. |
Через |
||||
|
|
|
|
|
|
|
точку |
Е |
нужно |
про |
||
|
|
|
|
|
|
|
вести |
произвольную |
пря |
|||
|
|
|
|
|
|
|
мую, |
пусть |
асимптоты |
|||
|
|
|
|
|
|
|
а |
, |
ê |
на ней |
вц- |
|
|
|
|
|
|
|
|
секут |
точки |
AB |
. От |
||
точки. |
В |
отложим |
отрезок |
ÖF = йЕ |
. Точка |
F |
|
|||||
всилу теоремы — точка гиперболы.
§28. Проективное ооответствие между двумя
кривыми 2-го порядка |
|
|
|
|
Рассмотрим |
произволь |
|
||
ные четыре |
точки |
А |
, |
|
ft, |
С |
, D |
кри |
|
вой |
2-го |
порядка. |
|
|
120.
Если опроѳктировать их иэ любых двух точек |
St |
и |
5, |
||||||
кривой прямыми |
Q, t êt) |
c±t |
cti |
и |
Qlt ét, Ctt |
dt |
|
, то |
|
сложные отношения ѳтих прямых будут равны |
|
|
|
||||||
(Q,S,C,dj=(Qtêt?tc/t)J |
|
|
|
|
|
(1) |
|||
ибо по теореме Штейнѳра пучки |
прямых, проектирующих |
|
все |
||||||
точки кривой |
ив |
точек |
St |
и |
St, |
будут |
проѳктивны, |
||
а прямые |
èb |
С^сіл |
и |
<>i,étt |
ctl dt |
будут |
соо |
||
тветствующими прямыми этих проективных пучков. Лоѳтому можно дать следующее определение.
Определение. Сложным отношением четырех точек од ной кривой 2-го порядка называется сложное отношение че тырех прямых, проектирующих их иэ лсббййточкн кривой
|
|
(A6CD) |
~'(а, |
8і |
с, о/„). |
|
"(2) |
|
|
Определение.Проективным |
соответствием между кривой |
||||||
2-го |
порядка |
к± |
с |
одной |
стороны, и |
прямолинейным |
||
рядом |
точек |
|
пучком |
прямых |
S8 |
или вто |
||
рой кривой 2-го |
порядка |
kt л |
|
навываетоя такое вваинно |
||||
одновначное соответствие.между их элементами, при кото
ром сохраняется |
сложное отношение. |
|
|
|
|
|
"~ |
Если |
И8 одной |
точки |
|||
|
S |
|
кривой |
к |
|
|
|
спроектировать |
точки |
||||
|
ѳтой |
кривой пучком |
||||
|
прямых |
5 |
на |
прямую |
||
|
U t |
|
или другую |
кри |
||
|
вую, |
проходящую |
черев |
|||
|
точку |
|
S |
, |
то |
по |
|
лученное |
соответствие |
||||
|
в оилу |
определения |
||||
|
сложного |
отношения, бу |
||||
|
дет, |
очевидно, |
проек |
|||
|
тивным. Будем |
называть |
||||
его перспективным.
121.
1)Соответствие между точками кривой 2-го порядка и пря - мыми пучка навывается перспективным, если центр S пучка лежит на кривой и каждая прямая пучка проходит черев соответствующую точку кривой
k(UbCl)...)J?S(ci8cd...). <3)
2) Соответствие между точками кривой 2-го порядка к 4 о одной отороны, и прямой или другой кривой навывает
ся перспективным, если прямые, соединяющие соответст вующие точки, принадлежат одному пучку с центром на
кривой.
Если две кривые 2-го порядка нахо
дятся в проективном соответствии
то рассмотрим два перспективных им пучка |
|
|
|
|
'(5) . |
|
|
(б) |
В оилу ( 4 ) , ( 5 ) , ( б ) |
ѳти пучки будут также |
проѳктивны ме |
жду собой |
|
|
S t ( û ^ |
c . , .. J*SJu g o\e 2 ... ) , |
(7) |
Тем самым проективное соответствие между |
кривыми 2-го |
|
порядка оводитоя |
к проективному соответствию между дву |
|
мя |
пучками прямых. Очевидно, поэтому проективное соотве |
|
тствие между двумя 'кривыми 2-го порядка определяется |
тре |
|
мя |
парами соответствующих точек Ан, в 1 э С , и Atlßi,Ci |
• |
122.
Чтобы точке |
J)d |
|
первой кривой построить |
ее соответст |
||||
вующую точку |
Б , |
на |
второй, |
соединим точку |
D 4 |
с S 1 |
( |
|
получим прямую |
d± |
, |
построим |
ей соответствующую |
öl, |
|
||
в соответствии |
(7), |
точка пересечения ее о кривой |
kt |
|
||||
будет давать |
точку |
Dg |
|
|
|
|
||
Особенно интересным является проективное соотвѳтот |
- |
|||||||
вие между точками одной кривой |
|
|
|
|
||||
T
Если в качестве центров перспективных пучков (5),(6) веять также соответствующие точки
то в проективном соответствии этих пучков .
Sja, елслсі^...) |
^-SjCQj St ct o/t..) |
(10) |
|
линия центров будет соответствовать сама себе, пучки бу дут перспективны
SJaJ<c,cl<...) *St (а,ßtctd,...), ( i l )
то есть соответствующие прямые пересекутся на одной пря
мой |
ц |
- |
оси |
проективного |
соответствия. |
|
|
Если |
эта |
ось |
пересекает |
кривую в двух точках M |
|
и Л |
, |
то точки пересечения,,очевидно, будут двойны |
|
|||
ми точками |
соответствия й,значит, в этом случае ооь оо |
- |
||||
ответствия |
не |
зависит от того, какую пару соответствую |
- |
|||
|
|
|
|
|
123 |
|
щих точек взять за центры S1 и 5, перспективных пучков. Это наводит на мысль, что ось соответствия и в общем случае не зависит от этих точек.
Теорема. Ось проективного_соответствия на_кр_иіюй 2-го по£ядка нѳ_аавиоит от того^ какую пару_соотвѳтотвующих_то-
чек |
веять 8а_цѳнтры перспективных пучков. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ftAUWifac,) |
|
|
(12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
-три произвольные па |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ры соответствующих |
то |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чек. Если |
за |
центры |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
взять |
точки |
|
|
и Л, |
|
|
|
|
|
s.=e. |
|
|
Ѵ і . Ѵ і . |
|
( 1 3 ) |
||||
то |
точками |
оси |
ц |
будут |
точки |
пересечения |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
Если в |
качестве |
центров |
взять |
точки |
Ьл |
и |
Ö 8 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
то |
точками |
оси |
û |
будут |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
но шестиугольник |
|
А і В . С ^ в ^ С ^ |
|
- |
вписанный в |
||||||||
кривую 2-го порядка, шіетому по теореме Паскаля для него |
|||||||||||||
точки |
В, С |
и |
Л |
|
лежат |
на одной прямой |
|
|
|
|
|||
то есть с этой прямой совпадают обе |
оои |
ц |
и |
ü |
, |
и, |
|||||||
значит |
совпадают |
между |
собой |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
u = ü . |
|
|
|
|
|
|
(18) |
|
|
|
Следствие.Ось соответственно |
гиперболического,эл |
||||||||||
липтического, параболического |
проективного |
соответствия |
пе |
||||||||||
ресекает,не пересекает,касается кривой 2-го порядка. 124.
Г л а в а ч е т в е р т а я ИНВОЛЩИЯ
§ 29. Необходимое и достаточное условие инволюпионности
Определение.Инволюцией называется такое нетождественное проективное соответствие двух совмещенных на одном носителе многообразий (§ 15) , при котором каждому элементу соответ ствует один и тот же элемент независимо от того к какому многообразию его отнести.
Так как всякое одномерное линейное многообразие полу чается из-ряда при помощи принципов двойственности, то важны определение и теория инволюции двух рядов, совмещенных на одной прямой.
Определение. Инволюцией на прямой называется такое не тождественное проективное соответствие двух рядов совмещен ных на одной прямой, при котором каждой точке соответствует
одна |
и та же точка независимо от того к какому ряду ее |
отне |
||||||||
сти. |
Если |
точке |
ft |
соответствует точка |
Д ' , то точке |
Ô |
пер- |
|||
= |
^ |
= = |
= = = |
= |
^ = = = = |
вого ряда, |
совпадающей |
с |
точкой/)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
В з л ' |
|
|
а) |
во |
втором ряду |
соответствует |
точка В>/, совпадающая |
с |
й |
|||||
Примером инволюции на прямой, в силу теоремы взаимности, является проективное соответствие полярно сопряженных точек прямой относительно кривой 2-го порядка.
В качестве второго примера инволюции рассмотрим такое
соответствие на прямой и. когда две любые |
точки |
ft |
и ß |
|||||
двойные, а |
любой другой |
точке С прямой |
и |
соответствует£чет- |
||||
|
|
вертая гармоническая к С относи |
||||||
|
|
тельно |
точек |
ft |
и |
ß |
. Для того, |
|
|
|
чтобы доказать, |
что. это |
соответст |
||||
|
|
вие проективное, проведен через |
||||||
|
|
точку.^ |
две |
произвольные |
прямые |
|||
А |
с ь с |
if i |
ш) возьмем |
на |
ѵ произволь |
|||
ную точку |
F и рассмотрим точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ч=Гв*У |
|
|
|
|
|
|
и проективное соответствие, осуществляемое цепочкой перспек
тив |
125. |
|
и(А&С...)£иг(лан...) |
|
к |
v(flFE...)§ |
|
u(fiaC.) |
(3; |
|||
Оно оставляет точки |
А |
и |
ß |
на месте, |
а для любой точки С |
|||||
соответствующие ей точка |
H на прямой |
w |
и точка £ на прямой |
|||||||
у |
вместе с |
точками |
F |
|
и |
<л |
образуют |
полный четырехуголь |
||
ник |
EF&H |
и, значит, |
в |
силу |
определения(§ В) пара |
С, С |
||||
гармонически |
разделяет |
пару |
АЬ |
|
|
|
||||
то есть построенное проективное соответствие совпадает с |
||||||||||
указанным соответствием. Из формулы (7.3)вытекает |
|
|||||||||
|
|
с'с ^лв |
|
|
|
|
(4; |
|||
откуда следует, что это проективное соответствие является инволюцией.Будем называть ее гармонической инволюцией.
Определение. Соответствие, в котором находятся соответ ствующие точки в инволюции называется двойственным, а соот ветствующие пары точек - сопряженными.
Проективное соответствие двух пучков прямых с общим
центром 5 |
, лежащих в одной плоскости, |
будет |
инволюцией, |
|||||
если каждой |
прямой, |
проходящей через 5 |
независимо от |
того, |
||||
к какому пучку ее отнести, соответствует одна прямая. |
|
|||||||
Примеры инволюций в пучке.I |
Соответствие |
в пучке, |
когда |
|||||
|
а |
|
каждой |
прямой |
соответствует |
орто |
||
|
|
|
гональная |
ей прямая |
будет про- |
|||
- *~ |
5 |
а' |
ектквным |
соответствием (§ 16) и в |
||||
|
|
|
силу определения инволюцией |
- |
||||
|
|
|
ортогональной |
инволюцией. |
|
|||
2. В силу теоремы взаимности инволюцией |
будет |
проективное |
||||||
соответствие полярно сопряженных прямых в одном пучке от |
||||||||
носительно |
кривой 2-го |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
З.В частности, соответствие сопряженных диаметров относитель но центральных кривых 2-ту> порядка является инволюцией.
Теорема.Произвольная инволюция в пучке на произвольной
дрямойд. не^пррходямей |
через |
его центр, _внсекает |
также инво- |
|
SfWi' |
|
. |
Действительно, пусть |
имеем ин- |
. . _ |
, |
|
волюцию в пучке 5 |
|
|
S ^ a ' i t i m ^ . . ) X Sfa'Qm'rn.) |
(5) |
||
126.
Пересечем |
этот |
пучок |
S прямой ut |
||
не |
проходящей |
через |
точку S |
|
|
|
|
|
|
. |
(6) |
и |
будем считать соответствующими |
||||
на |
прямой |
M |
такие |
точки, |
кото |
рые получаются от выоечѳния соот ветствующих прямых. Тогда от ряда
ик ему соответствующему можно
будет перейти цепочкой перспективных и проективных соответст-
В И Й ufflfl'MM'...) |
л S(a a'm m '.. .)*S(a |
'am |
h?.JZu(flfiHh$ |
||
Это соответствие |
является поэтому проективным |
|
|||
|
u(f\fi'MH'...)?;u(A'flM'M...) |
|
|
(Q) |
|
и так как |
каждая |
пара соответствующих |
точек |
(Aflj, |
(ММ') |
находится |
в двойственном соответствии |
- инволюцией. |
|
||
Следствие.Применяя малый принцип двойственности, полу чим, что из произвольной точки S произвольная инволюция на прямой U проектируется также инволюцией в пучке.
Теорема.Если_одна пара^аэличных_соответствурпщх_точек двух_іір.оективншс_рядові. совмещенных на_одной_прямрй,_находится в двойственном_срответствин,_то сортветствие_является инволюцией.
д л я -доказательства теоремы нужно доказать, что если од на парасоответствующих точек находится в двойственном соот ветствии, то и любая пара соответствующих точек находится в двойственном соответствии. Итак, пусть имеем проективное
соответствие и в нем пара |
различных точек |
At Й |
находится |
|||
в двойственном |
соответствии |
и точке M соответствует точка |
||||
M ' , нужно доказать, что |
в |
нем точке M''соответствует |
точ |
|||
ка M |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из произвольной точки 5 , |
не |
||
|
|
|
лежащей на |
прямой |
Ц спроек |
|
|
|
|
тируем наш |
ряд на прямую «£ |
||
|
|
|
проходящую |
через |
точку А: |
и^Д |
далее из M ' р я д у спроектируем на цГ-Sfl' и,наконец, из М4 полученный ряд спроектируем опять на и
Проективное соответствие, получающееся в результате цепочки этих перспектив
|
и(М'ММ'..)х |
|
и(й'лм'М...) |
|
|
(и) |
||
имеет три пары соответствующих точек |
А -*-А^ А'-+А |
М-*М/ |
||||||
те же, что и исходное проективное соответствие, |
значит, |
с |
||||||
ним совпадает, но в нем точке M'соответствует |
точка |
М. |
||||||
Следствие.I |
Иаволюдия определяетсяjnjyMffjiapaMB. |
соответ- |
||||||
ствуюших_точек, |
произвольно .выбранными^ из_которых_хотя |
бы |
||||||
рдна_пара точек не_является парой совпавших.точек. |
|
|
||||||
Если эти две пары Й-А' |
и 8 - в ' |
таковы, |
что хотя |
бы |
||||
одна из них, |
например, А-й |
'-состоит из |
различных |
точек |
|
|
||
|
|
* ? |
Ч |
' |
|
|
(12) |
|
то рассмотрим |
проективное |
соответствие, определяемое |
тремя |
|||||
парами соответствующих точек |
А^-А' |
А'-*АЛ |
Ö-+6' |
|
|
|||
' u(AA'ß...)л |
|
и(Й'А&'...) |
|
|
|
£з; |
||
•В этом проективном соответствии одна пара точек AAf |
нахо |
|||||||
дится в двойственном соответствии и потому в силу теоремы соответствие является инволюцией и точке ^'соответствует точка 6.
Следствие 2. Сложное отношение не^зменится^ если_в_нем
поменять_местами_точки_каж<50й пары |
|
|
(Ае>СР) |
= (ІЪвТ>С) |
(U) |
Действительно, двумя парами соответствующих |
точек (йВ) z(CJ>) |
|
определится инволюция, |
в которой |
|
Следовательно, |
|
|
(ЙЬСЗ) |
~(ßADC), |
(І&) |
128. |
|
_ |
§ 30. Вторая теорема Дезарга |
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Три па£ы_іпютивополохнш:_сто£ОН |
полного |
ч е т ы р е х |
|||||||
угольника высекают_на щ)оизвольной_ігр_ямой, _не |
проходшцей_через |
||||||||
его вершины,^рртветотвух^е_точкисдной_инводапииА |
|
|
|
|
|||||
Итак, |
рассмотрим |
полный |
четырех |
||||||
угольник |
EFGiH |
. Точки |
пересе |
||||||
чения |
его |
противоположных |
сторон |
||||||
EF |
|
и |
G,H |
, |
ЕН |
и |
F& |
и |
|
FHи |
Е(л |
с |
произвольной пря |
||||||
мой и , |
не |
проходящей |
через |
его |
|||||
вершины; |
обозначим соответствен |
||||||||
но через |
А, й'ß, |
В' |
С,С'. |
|
|
||||
Рассмотрим |
проективное |
соответ- |
|||||||
т ствие на прямой и , определенное тремя парами соответствующих
точек |
(АА'), (&&% (СС') |
и'(ЛЪ'с'..) |
(V |
|
|
|
и (ЯвС.)л |
||
|
Поскольку |
диагональные точки полного четырехугольника не |
||
лежат |
на одной |
прямой ( § 8 ) все |
три пары соответствующих т о |
|
чек не могут быть двойными точками, а потому это проективное
соответствие не является тождественным, |
пусть Й не совпадает |
|
с |
. Тогда, чтобы доказать, что это |
соответствие является |
инволюцией, достаточно в силу предыдущей теоремы доказать, |
||
что |
точке Af. соответствует точка й |
|
|
и(йвЬс.) |
л и{й'Ай'с'...). |
<-2> |
||||
Для этого |
нужно доказать, что |
|
|
||||
|
(fifl'ßC)=(Abß'c'). |
|
О) |
||||
Спроектируем ряд |
и |
из |
точки |
H на прямую i/=EF , а |
потом из |
||
точки <3і |
обратно |
на |
прямую |
и |
|
|
|
|
U(fifl |
|
|
ä |
|
. « |
(А) |
|
bC,)xir(ATEF...) |
Я и (АЙ'СЬ:.), |
|||||
отсюда получим равенство сложных отношений |
|
||||||
но в силу |
следствия |
2 |
§ 29 . |
|
|
|
|
|
(вй'с'а,')-» |
(fi'eb'c'J |
(6) |
||||
Сравнивая |
(5) с |
(6), получки |
искомое |
& ) , |
129. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|