книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

прямой

является

точка

пересечения

касательных,

проведенных

в точках

St

и

5,

, то есть-

+

/

(

1 0

)

значит, в силу (9) втим

полюсом является

точка

Q ? )

ее

поляра q. = S.,.Ss

на

прямой

р

в силу

(9)

высека­

ет полярно сопряженную точку R

Теорема.Полярно сопряженные точки одной прямой_ £

_

,

не_насающѳ йся кривойА находятся в

проективном

соответствии.

Пусть прямая

р

не

касается кривой 2-го

порядка

к

. Тогда

ее

полюс Р

не

при

-

надлежит кривой и чѳ

-

рѳз него можно провес­

ти

оекущую

S d S s

В силу теоремы Штейнера точки

ST

,

S.

можно ввять

в

качестве центров проективных пучков, образующих исходную

кривую 2-го

порядка

ѴѴ,ѵ!Ѵ',)*КМ>'"^

(із)

но в «илу леммы точки

Q

и

fi

, которые

выоѳ -

каются соответствующими

прямыми

пучков

S±(

•. .

)

и

S t ( . . .

)

-

полярно

сопряжены, с

другой.стороны,

в

силу (II) ,

(12),

P

Q8j_ 3 J 0 соответствие

полярно

сопряжен­

ных'точек яшмой

можно'осуществить цепочкой

проективных

и" перспективных

соответствий

то

есть ряды

р ( Q

GL'Q.". ..)

и

р(

ft

ц'в"...

)

проективны - верно (3) .

Если прямая

р

-

касательная, то

ее

полюсом

Р

я в -

•О-ß

ляѳтся точка прикоснове­

ния, поэтому все точки Q

прямой

р

полярно

со ­

пряжены лишь одной точке

•—

Р

,

соответствие

-

не

взаимно

однозначное.

Следствие

І . Т а к

как самосопряженные

точки

являются

точками кривой, то ѳсли_п£оеетивноѳ_соответствиѳ

П О Л Н Е ­

Н О

сопр^енных_точѳк_пр_ямой

-

гиперболическое,_то пря

-

мая

пересекает

кривую,

если

-

эллиптическое, то

Н ѳ

пѳ-

£есѳкаѳті

верно и обр_атное^_

Следствие

2. Ряд

полюсов

проѳктивен_пучку_поляр_1

Если

прямая

р

не

я в ­

ляется касательной к кри­

вой,

и значит ее

полюс Р

:не принадлежит прямой р,

ТО ПОЛЯрЫ

<J.T;. Т О -

чек

(3,

Q'tQ",..

прямойр

проходят

по теореме

вза ­

имности через

точку

Р

и высекают на

прямой

р

ряд

точек

Rt /? 'H"

* р(я«ѵ:..)

(is)

полярно сопряженных

точкам

Û

,

<Э '.. .

и в

оилу

т е ­

оремы эти

ряды

проективны

p(Q,Gl'Q"..)

хр(Н,Я'*"..),

(16)

тогда от

ряда

p(Q,QÎQ"...)

к

пучку

Р(%Ч,', ч!'-•) мож­

но перейти цепочкой проективных, и перспективных

соотве­

тствий

• ^ r c i ^ ç l i ^ W - ^ ^ i . î . ' î * . ^

. ( 1 7 )

P(QA'A"--)*P<%%',Ï--)-

( 1 8

)

Еоли прямая р

касается кривой к

, то поляра

-

р ж QC,

р ж Qb'/рш

Q"C".„ (20)

ts*t?sV,

ts*tT*U.

(21)

В силу леммы Маклорена для четырехсторонника,

образован­

ного касательными

в точках

Р

, S , Т

к С

точ­

ка пересечения

VQ

и

SC

0 = UQ*SC

(22)

лежит на фиксированной

прямой

РТ

QCPT,

( 2 3

)

и,значит, по определению пучки

S (SC, SC' SC"..,

)

V(UQ,UQ'UQ"~)

И

перспективны

utuQ^uQ"..)

*s(sc,$c;sc:.),

ш)

U ( Va,

UQ;

VGL",:.)

Я

Р

(Q,

Q/ОГ.

. У,

U 5 >

а второй по теореме

Штѳйнера проѳктивен пучку поляр

S (SC, SC; SC:..)

xP(i

t ' t f j .

(26)

Сравнивая

(24),(25)

и (26),

получим, что и в втом

случае

верно (18).

Следствие 3.

Полярно

сопряженные точки не полярно

сопряженных пряных нахо­

дятся в

проективном со ­

ответствии.

Поляры

, <i't

точек

Q, QjO."... данной

прямой f>

на

всякой

пряной

t

не

полярно сопряженной

пряной

р

, то

есть

не проходящей чѳреэ

точку

,

высекают

ряд полярно со ­

пряженных

точек

(27)

Сравнивая

(18)

с

(ZI)

,

получин

искомое

P(Q,Q!Q"..)

ХІ(*Х*"..).

.

( 2 8 )

Следствие

5. В частности, если

вти точки совпадают

>

то получим, что

полярно сопряженные

прямые одного пучка

мых в пучке

с вершиной в точке

S

-

гиперболическое,

то точка. S

-

внешняя, так

как

через

нее проходит две

касательные,

если

-

эллиптическое -

то внутренняя.

§ 27.

Аффинная

теория кривых

2-го

порядка.

несобственную

точку,

параллельны

( § 3 ) ,

а сложное^ от­

ношение' четырех

точек

( ЙЬСЦ*

) одной прямой, поолѳд -

няя из которых

-

несобственная,

равняется

простому отно­

шению с минусом

(ваіЮ)

и в частности,

концы любого

отрезка, его

середина

и не ­

собственная точка образуют

гармоническую

четверку

(§6,7) .

ственные_хордЫд_

Действительно,

пусть

„

flß

сопряженная

Р

хорда данному диаме­

тру p.

D

-

точка

пересечения

прямрй

Д5

с диаметром и

Р*

- несобственный

полюс

диаметра,тогда

в силу

следствия §25

четыре точки

(\,Ър,Р*

(АѢЪР*)=-1,

(5)

то есть U

- середина отрезка РіЬ

Ю=Ѵв.

(6)

теоремы

г

Теорема.Отрезок

любой касательной

гиперболы, эаключен-

ный между/ еѳ_асимптоташ>_точкой

касания делится

jH _ попо­

лам.

.

-

/ / ' П у с т ь

имеем

касательную

п/

ЬУ/

Ьм

к

гиперболе

в

точке

M

. Асимптоты

отсекают

от

нее

отрезок

Ѵ С /

Г

^

AB.. Диаметру

m =СМ

сопряжен диаметр

п

,

которому

параллельна

наша

касательная

" 11

Ь»>

(?)

но

асимптоты

и сопряженные диемѳтры образуют

гармони -

ческую

четверку

(aßmn)=-l

.

(8)

в пересечении

прямой

AB , получим гармоническую

четвер­

ку

точек

где

X*

в

силу

(7-) ' - несобственная

точка

прямой

AB.

Значит,

M

- середина отрѳвка AB.

f M = M F ,

(Ю)