книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdfния щротивоположных оторон_лѳжат_на одной прямой.
3. Вписанный треугольник. Всякий вписанный в кривую 2-го
порядка треугольник можно рассматривать как шестиугольник с тремя парами оовпавших сосед них вершин
1=2, 3=4 , 5=6 |
(16) |
Тогда раооуждая анало - гично получим,что точ-
м~ ки пересечения сторон вписанного в кривую 2-го
порядка треугольника с касательными в противоположных вер шинах лежат на_одной_пр_ямой.
§ 22 . Пучок прямых 2-го порядка
П^ртаом_прямых 2-го_порядка_на_8ывается об£аа двой -
ственный |
по малому принципу кривой 2-го |
порядка. |
|
~ »" |
' |
-~ |
'— |
Тогда,применяя малый принцип двойственности, полу чим для пучка 2-го порядка следующие определения и теоремы.
Определение.Пучком прямых 2-го порядка называется множёотво" всех" прямых, соединяющих соответствующие
точки двух проективных рядов
(1)
(2)
90.
Если два исходных ряда перспективны, то пучок пря мых 2-го порядка распадается на два пучка 1-го порядка: пучок прямых, проходящих черев центр перспективы рядов, и пучок прямых,доходящих череда.точку пересечения их
носителей.
|
Теорема 1. Носители |
u t |
|
u t |
проективных |
|||
рядов принадлежат пучку 2-го порядка. |
|
|
||||||
|
Теорема 2. Черев произвольную точку плоскости про |
|||||||
ходит самое большее две прямые пучка ( что оправдывает |
||||||||
его |
название). |
|
|
|
|
|
|
|
|
'Определение.Если через іочку плоскости проходит две |
|||||||
прямые пучка, |
то она называется |
внешней, |
ѳоли - ни |
одной- |
||||
- |
внутренней, |
если |
одна, |
то |
- |
точкой прикосновения этой |
||
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.Точке |
пересечения прямых |
|
|
||||
отнесенной к одному ряду, во |
втором соответствии |
точка |
||||||
прикосновения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 4.На любых двух |
прямых пучка 2-го порядка |
||||||
все остальные |
высекают два проективных между ообой ряда. |
|||||||
|
Теорема 5.Пучок 2-го порядка определяется пятью лю |
|||||||
быми своими прямыми. |
|
|
|
|
|
|
||
|
"Теорема б.На каждой прямой пучка 2-го порядка имеет |
|||||||
ся одна и только одна точка прикосновения. |
|
|||||||
|
Теорема 7.Точка |
прикосновения является предельным |
||||||
положением |
пересечения двух прямых пучка, когда они совпа |
|
дают. |
" ~ |
^ |
Определение.Геометрическое меото точек |
прикоснове |
|
ния прямых |
пучка 2-го порядка назовем его огибающей. |
|
Чем она является? |
|
|
91.
|
|
§ 23. |
Теорема |
Макдорена |
|
|
|
||||
|
Лемма Маклорена. |
|
всякого^етырѳхс тО£онника, _опи - |
||||||||
|
р, |
|
|
|
|
санного |
около |
кривой |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2-го_поря^ка_прямые. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
соединяющие щэотиво— |
||||
|
|
|
|
|
|
|
половые_ве^иных и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
прдашѳх |
соединяющие |
|||
|
|
|
|
|
|
|
точки касания |
проти |
|||
|
|
|
|
|
|
|
воположных:^то£он , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
проходят _череа_одну_ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
точку. |
|
|
|
|
Пусть имеем четыре касательных к кривой 2-го |
порядки,напри |
||||||||||
мер, |
в точках |
(\ |
, |
& |
, С |
, |
D , |
они |
определят опи |
||
санный четырехсторонник |
|
• t A j t & ) |
tCj |
tj, |
tA |
упорядочим |
|||||
любым обравом |
вти |
касательные, например, |
t f t , |
і с |
, і . р |
||||||
и в качестве вершин будем рассматривать точки |
пересечения |
||||||||||
соседних оторон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Не. соседние стороны будем навивать |
противоположными : tA |
||||||||||
*' |
^ві |
* |
» вершины не имеющие общей |
стороны |
|||||||
также |
будем называть противоположными: |
Р |
и |
Я |
, |
||||||
М и / / - |
. |
Таким |
обравом, |
нужно докавать, |
что пря |
||||||
мые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PR, |
И Х ; |
ЙЬ |
ж |
CD |
|
|
|
(2) |
||
проходят черев одну точку. Обозначим точку пересечения пря
мых вВ |
и |
CD |
через |
О |
|
|
|
|
|
|
flö*CD |
= 0. |
|
|
(3) |
|
|
|
I |
|
|
|
|
В оилу теоремы Паскаля для четырехугольника |
AbCD, |
|
|||||
вписанного |
в |
кривую 2-го |
порядка точки |
0 |
, M |
,)і |
|
92.
лежат на |
одной прямой, |
то есть |
|
|
МХ^О. |
|
(4) |
Аналогично рассуждая о |
четырехугольнике fi BD С |
, |
|
получим, |
что |
|
|
|
PR ^ О , |
|
(5) |
что и требуется.
Теорема Маклорена. Множество касательных к кривой
В силу определения пучка прямых 2-го |
порядка |
и теоремы |
||||
§ |
22 достаточно |
будет доказать, что |
вое каоатѳлиныѳ к |
|||
кривой 2 |
-го порядка на двух фиксированных не |
кгх,например, |
||||
в |
точках |
й |
и |
б |
|
|
|
|
"* = t |
* , |
u t = t e |
|
(6) |
93.
высекают два проективных |
ряда. |
Касательные |
^с ».. tcM |
|||
в точках |
Ct С' С*..., С'"... |
кривой высекут на прямой |
||||
u t |
точки МиМ^М^..^м™... |
, а на прямой ut |
||||
точки |
M j , M,' Ht¥,... |
• Нужно докааать, что ряды |
||||
« t |
и |
ut |
проективны |
|
|
|
|
М М * . |
H?.-) * ut(Mt. |
(7) |
|||
Для |
втого |
докажем сначала, |
что таким |
образом устанав |
||
ливается взаимно однозначное соответствие между точками ря
дов и± и ut |
|
, каждой точке |
М± |
прямой |
и± |
отве |
||||||
чает одна-и только одна точка |
С |
кривой, |
касательная в |
|||||||||
которой проходит |
через точку М4 и,значит, |
высекает на |
||||||||||
U t |
соответствующую точку |
M t . |
|
|
|
|
||||||
|
8 |
произвольной точке |
D |
кривой проведем |
касатель |
|||||||
ную |
t D |
и поотроим точки пересечения.ее с |
|
и± |
и и, |
|||||||
|
|
t B |
* |
|
" i " P , |
|
U K U t = Q- |
|
|
|
(8) |
|
Рассмотрим точку |
0 |
пересечения |
QM± |
и #6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ab*QMi = 0. |
|
|
|
|
(9) |
||
Прямая |
DO |
|
пересечет кривую во второй точке |
С |
||||||||
|
|
|
|
|
ЪО*к=Ъ,С, |
|
|
|
|
(10) |
||
касательная |
tc |
|
в точке |
С |
с |
касательными |
£ л , |
|||||
t6, ij> определяет |
описанный чѳтырѳхоторонник,. в силу |
|||||||||||
леммы Цаклорена для которого касательная |
tc |
в точке С |
||||||||||
проходит через |
точку М± |
. Также ив этой леммы |
следует, |
|||||||||
что такая.точка |
|
С |
единственная, так как является вто |
|||||||||
рой точкой пересечения |
прямой |
ЪО |
с'кривой. |
|
||||||||
|
Теперь докажем, что это соответствие проективное. В |
|||||||||||
силу леммы Маклорена для четырехсторонника |
|
PH,M,Q |
||||||||||
точка |
0, ~ |
как точка пересечения |
РМ^ |
и |
QM 4 |
|||||||
94.
принадлежит прямой |
ЙЬ |
|
|
|
|
0 С Я 6 . |
|
(12) |
|
Заменяя |
точку С |
на Сt С |
.,., С <п>,.. |
, |
получим |
аналогично, |
что точки |
Ѳ, О, ,.., о t . . |
|
0'=(1м±'*Рм;, 0"=Q<>PMl ... O^QM^PM^... |
(18) |
||||||
также принадлежат прямой |
AB |
|
|
|
|
||
О'СЙЬ, |
|
о ' е л й , . . . |
о ^ т , . . . |
( 1 |
4 |
) |
|
то ѳоть пучки |
|
|
|
|
|
|
|
p(PMtj |
рм^AW,*...; |
• |
<з(с?"*, <зм/, G O |
( 1 |
5 |
) |
|
перспективные по определению |
рядам ы 4 • |
u t |
|
|
|||
Р ( Р " , , К , . . . Р ^ ^ * ^ ^ М ь < - " < - Д |
( 1 6 ) |
||||||
Шо^.аК,... |
|
Q<\..) |
я ut(*ttHiм™;..), |
(i7) |
|
||
перспективны между ообой |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
от ряда |
и*, |
- к ему соответствующему |
и, |
|||
можно перейти |
цепочкой перспективных соответствий |
|
|
|
|||
ùt(.'..)*Q(....)xP(.:.:)xut(....)f |
|
а потому ѳто соответствие между рядами |
Ы4 |
ктивное, и.вначит, касательные t C i tc ,, |
tc»t |
пучок прямых 2-го порядка. |
|
|
. ( 1 9 ) |
|
и |
ut |
прое |
... |
|
обравуют |
Следствие 1. Применяя малый принцип двойотвѳннооти получим, что огибающая пучка промых^2-го порядка является кривой_2-го порядка.
95.
Следствие 2. Каждая пряная пучка 2-го порядка яв ляется касательной к своей огибающей в точке ее прикос новения ( так как имеет о огибающей - кривой 2-го поряд ка лишь одну общую точку).
Следствие 3.Точка прикосновения к огибающей есть прѳдѳлшоѳ положение точки пересечения касательных.
. Следствие 4.Из произвольной точки плоокости можно провѳоти к кривой 2-го порядка самое большее две каса тельных. Точка, черев которую проходит лишь одна каса тельная сама принадлежит к кривой. Точку, черев которую можно провести две касательные к кривой, назовем внешней по отношению к кривой.- Точку, черев которую не проходит ни одной касательной, назовем внутренней по отношению к кривой.
5 24. Теорема Брианшона
Теорема. Прямыех соэдшяюшиѳ противоположные вѳр_- ^ины_мѳстнсто^шниках миоанного_около_кргівой 2-го_по -
£ядка,_проходят через
одну_точку_ (точку
Брианшона).
Пуоть имеем шесть касательных кривой ' 2-го порядка. Они
определяют описанный шѳотисторонник. Упо
рядочим любым |
обра |
зом зги шесть сторон: обозначим их 1,2,3,4,5,6. |
и в |
качестве вершин будем рассматривать лишь точки пѳресе-
96.
чения соседних сторон
(1)
Противоположными вершинами назовем те, которые идут через две:
С« |
c V j |
с » |
с « . |
С3, |
С(1. |
(2) |
Нужно доказать, что прямые их соединяющие
проходят через одну точку.
Применяя к теореме Паскаля малый принцип двойственности,по лучим, что прямые, соединяющие противоположные вершины шеотисторонника, сторонами которого являются прямые пучка 2-го порядка, проходят черев одну точку.
Но в силу теоремы Маклорена у |
шестисторонника,описан |
||
ного около кривой 2-го порядка^отороны принадлежат одному |
|
||
пучку прямых 2-го порядка и получаем теорему Брианшона. |
|
||
Применяя к обратной теореме Паскаля |
малый принцип двойот |
- |
|
венности, получим в силу следствия |
1 |
к теореме Маклорена |
|
теорему обратную к теореме Брианшона. Если_у шестисторон |
- |
||
_ника ç_ упорядоченными сторонами _прямые, |
соединяющие проти |
||
воположные вершины,проходят черев одну точку, то в него |
|
||
можно вписать кривую 2-го порядка. |
|
"" |
|
Предельные случаи теоремы Брианшона.
Применяя малый принцип двойственности к предельным случаям,
теоремы Паскаля и имея в виду, |
что |
по двойственности |
каса |
||
тельная в точке кривой переходит |
в |
точку касания касатель |
|||
|
|
ной, получим |
следующие |
||
|
|
теоремы. |
|
|
|
|
1) |
Прямая^соединяющая любую |
|||
|
|
вершину пятиетрронника^ |
|||
\ ь / |
|
описанного_около_криво й |
|||
|
|
2 |
-го_порядка^с_точкой |
||
|
|
прикосновения |
противопо- |
||
|
|
|
_ |
_ ~ |
~97. |
ложной_сто£оны_и_пртшѳ,_соѳдиняющиѳ_рстальныѳ_противопрложные_вершиныА пррходят_чѳре8_одну_ тощ;у_.
2 ) Для веяного описанного около_кривой 2-го_порядка__че- тырехстрронника прямыеА соединяшще_противрположные_ вер_шины, _и_прямые, _с оѳди_няющие_точки_касания_пр_о-
тивопрлс^шс^то£он,_п2охрдят через ояну_точку_(сравните с лешой_Маклррена).
3)Для всякого описанного около кривой,2-го порядка трехсторонника_пр_ямые, соединяю щие вершины с точками каса ния противоположных сторонх проходят_чѳрв8_одну_ точку,.
Впрочем, в силу следствия 3 § 23 эти теоремы можно получить и непосредственно иэ теоремы Брианшона предель ными рассуждениями, двойственными примененным при выводе предельных теорем Паскаля.
§ 25. Полюо и поляра относительно кривой 2-го порядка-
Определение.Полярой точки Р_относительно кривой_2-го порядка _к_ _ _называется геометрическое_место_двух диа
гональных точек |
полных вписанных в эту кривую четырех - |
угольниковj_ для |
которых третьей диагональной_точкой я в |
ляетсяjro4Ka_ Р |
. |
?8. |
|
Следовательно, для того, чтобы получить какую-ни
будь точку |
поляры точки |
Р |
, нужно |
построить четырех |
- |
|
угольник, для которого |
точка |
Р |
являлась |
бы диаго |
- |
|
нальной, то есть две противоположные |
стороны |
проходили бы |
||||
чѳрѳэ точку |
Р . Н а каждой ив них лежит по две вершины |
|||||
четырехугольника. Но четырехугольник должен быть вписан
ным, то есть вершины должны принадлежать |
кривой. Отсюда |
|
очевидно построение. |
|
|
Нужно черѳэ точку Р |
провести |
произвольно две |
прямые, пересекающие кривую, и точки их пересечения о кри вой определят искомый четырехугольник. Две другие диаго
|
|
|
|
нальные |
точки его |
|||
|
|
|
|
будут точками |
поля |
|||
|
|
|
|
ры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности,если |
||||
|
|
|
|
рассматривать |
каса |
|||
|
|
|
|
тельную |
проведенную |
|||
|
|
|
|
из |
Р |
к |
кривой |
|
|
|
|
|
как |
предельное |
поло |
||
|
|
|
|
жение секущей, |
когда |
|||
|
|
|
|
|
E e |
F , |
|
(1) |
|
|
|
|
то для такого |
четы |
|||
|
|
|
|
рехугольника |
EFGH |
|||
|
|
|
|
диагональной точкой |
||||
|
|
|
|
|
R=EG,»FH |
(2) |
||
будет та жѳ ,точка |
с |
. Таким |
образом, получаем |
следую |
||||
щую теорему |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Точки |
касания |
касательных, _пр_овѳд_ѳнных_из точки Р |
||||||
к кривойх принадлежат полярѳ_ g |
_точки_ ' |
|
|
|
||||
Оказывается как бы мы этот |
четырехугольник |
не |
отро |
|||||
или, всегда для всех них эти диагональные |
точки |
лежат на |
||||||
одной прямой и заполняют ее . |
|
|
|
|
|
|||
99.