книги из ГПНТБ / Никитенко В.Д. Подготовка программ для станков с числовым программным управлением
.pdfПараметрическое задание эквидистанты уравнениями определяет координаты эквидистантной точки хэ1 и у э 1 через координаты xt, yt i-й точки на контуре, расстояние между ними, равное радиусу инструмента Я ф , и тангенс
|
|
|
• » |
diji |
|
угла наклона касательной к контуру в i-и точке |
j ^ - : |
||||
хэ1 = xi |
+ |
Rq, |
dxi |
о» |
|
V4Wf' |
|||||
|
|
|
|
||
Уэ1 = |
У1±$ф- |
|
(2) |
||
В программе обработки детали описывается именно эта эквидистанта. Характер эквидистанты отражает форму
ЭкВидистанта.
3
Строка обхода Н'-2-3-Ь-5-6-7-8-2-Г-1 |
X |
Рис. 5. Траектория центра инструмента при обработке детали
обрабатываемой детали. Отдельные участки эквидистанты называются геометрическими элементами. Геометриче скими элементами могут быть отрезки прямых, дуги окруж ностей и кривые второго и высших порядков. Отдельные геометрические элементы соединяются пересечением или касанием. Точки конца одного геометрического элемента и начала другого называются узловыми или опорными точками.
В программе обработки детали должны быть заложены величина и направление перемещений инструмента. Для этого положение узловых точек необходимо определить при помощи той или иной системы координат. Наиболее
20
употребительными системами координат являются пря моугольные (декартовы), цилиндрические и сферические (рис. 6).
Прямоугольными (декартовыми) координатами назы ваются взятые с определенным знаком расстояния х,
у, г этой точки до трех взаимно перпендикулярных коор динатных плоскостей. Точка пересечения координатных плоскостей называется началом координат. Координаты х,
у, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Рис. 6. Системы координат:
а — прямоугольная (декартова); б — цилиндрическая; в — сферическая
В цилиндрических координатах точка задается поляр ными координатами: радиусом р, центральным углом (р
проекции |
точки |
на основную плоскость и аппликатой, |
|
г — расстоянием |
от точки до основной плоскости. |
||
В сферических координатах, реже употребляемых, |
|||
точка задается |
длиной радиуса-вектора |
г, долготой ср |
|
и полярным углом 9. |
|
||
Переход из одной системы координат в другую осуще |
|||
ствляется |
путем |
несложного пересчета. |
Для перехода |
от цилиндрических координат к декартовым и обратно
используются |
следующие |
|
формулы: |
|
|
х = |
р cos <р; у |
= |
р sin rp; |
z = z; |
(3) |
|
р = Yx2 |
+ yz; z = z; |
|
||
|
ср = arctg ~ |
= arcsin |
. |
(4) |
|
В процессе расчета программы траектория перемеще ния центра инструмента определяется в общих чертах — координатами узловых точек. Более детальное представ ление эквидистанты с точностью до 1 импульса осуще-
21
ствляется далее при помощи специального электронного устройства — интерполятора.
Объем работ по программированию зависит от системы интерполяции, заложенной в интерполирующем устрой стве. Система интерполяции может быть линейная, кру говая, с помощью полиномов второй и высших степеней.
Для представления информации о траектории переме
щения |
инструмента |
в виде, воспринимаемом |
интерполято |
||||||||
|
|
|
|
|
ром, |
геометрические |
эле- |
||||
|
|
Учашки |
аппрокси- |
|
м е н т ы |
|
Э К В 1 , д и с т а |
н т ы |
под |
||
|
|
мации |
|
вергаются аппроксимации. |
|||||||
|
|
|
Промежуточ |
||||||||
|
|
|
ные точки |
|
Аппроксимация — процесс |
||||||
|
|
|
Стрелка |
|
замены |
одной |
|
функцио |
|||
|
|
|
прогиба |
|
нальной зависимости |
дру |
|||||
|
|
|
|
|
гой |
с |
определенной |
сте |
|||
|
|
|
|
|
пенью |
точности. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В |
процессе |
аппрокси |
||||
|
|
|
|
|
мации геометрический эле |
||||||
|
|
|
|
|
мент, |
ограниченный |
узло |
||||
|
|
|
|
|
выми точками, разбивается |
||||||
|
|
|
|
|
на элементарные |
|
участки, |
||||
Шаг |
аппроксимации |
|
|
называемые участками ап |
|||||||
Рис. 7. |
Линейная аппроксимация |
|
проксимации. Точки, |
раз |
|||||||
|
граничивающие |
|
участки |
||||||||
|
дуги окружности |
|
|
||||||||
|
|
аппроксимации,называют |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ся промежуточными, |
вспо |
|||||
могательными |
или |
узлами |
аппроксимации |
|
(рис. |
7). |
|||||
Точность |
аппроксимации |
|
тем |
выше, |
чем |
меньше |
|||||
длина элементов ломаной линии, называемых шагом аппроксимации или участками аппроксимации. Величина шага аппроксимации рассчитывается, исходя из заданной величины точности аппроксимации. Точность аппрокси мации определяется стрелкой прогиба — максимальным отклонением аппроксимирующей линии от аппроксими руемой, в частности, дуги от хорды.
Дуги окружности для ввода информации в линейный интерполятор аппроксимируются ломаными линиями. Шаг аппроксимации дуг окружностей удобно выражать вели чиной центрального угла Дер, опирающегося на концы участков аппроксимации. В зависимости от того, чем являются участки ломаной для дуги — хордами, секу щими, касательными — существует три способа аппрокси мации дуг окружностей (рис. 8). Величину шага опреде ляют из соотношений:
22
при аппроксимации хордами |
|
||
Аф = |
2arccos ( l — , |
(5) |
|
где R — радиус |
дуги |
окружности; |
|
б — стрелка |
прогиба; |
|
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
|
Рис. |
8. |
Аппроксимация дуги хордами |
(а), секущими (б), каса |
||||||||
|
|
|
|
|
|
тельными (в) |
|
|
|
||
при |
аппроксимации |
секущими |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Аф = г |
|
/г — в |
(6) |
||||
|
|
|
|
2 arccos ( * + |
6 |
) ; |
|||||
при |
аппроксимации |
касательными |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Аф = |
2arccos п ^ |
, |
|
(7) |
|||
|
|
|
|
т |
|
|
R + о |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из приведенных соотношений видно, что величина |
|||||||||||
шага аппроксимации |
зависит от точности аппроксимации |
||||||||||
(стрелки прогиба б) и ради |
|
|
|
|
|||||||
уса дуги |
окружности R . |
|
|
|
|
||||||
В табл. 3, 4, 5 приведено |
|
|
|
|
|||||||
изменение шага |
аппроксима |
|
|
|
|
||||||
ции Дф (рад) с |
изменением |
|
|
|
|
||||||
радиуса R (мм) дуги |
окруж |
|
|
|
|
||||||
ности |
при |
фиксированном |
|
|
|
|
|||||
значении |
стрелки |
прогиба |
О |
|
U00 |
300 Ч,мн |
|||||
(б = 0,02; 0,01; 0,005). |
Гра |
|
|||||||||
Рис. |
9. |
Зависимость шага ап |
|||||||||
фик на рис. 9 |
иллюстрирует |
||||||||||
характер |
этой |
зависимости |
проксимации окружности от ее |
||||||||
радиуса и стрелки прогиба |
|||||||||||
при аппроксимации хордами. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
При использовании кругового интерполятора необ |
|||||||||||
ходимость в |
аппроксимации |
дуг |
окружности |
отпадает. |
|||||||
Более сложным является алгоритм линейной аппрокси |
|||||||||||
мации дуг эллипса. Исследовались два способа |
аппрокси |
||||||||||
мации |
дуг эллипса: |
|
|
|
|
|
|
||||
1) с применением формулы определения шага аппро ксимации для окружности, но вместо радиуса окружности
23
|
|
|
Таблица |
3 |
Значение |
Д<р при аппроксимации хордами |
|
|
|
|
Дф при |
= 0,01, рад |
Дф при |
|
6 = 0.005, рад |
в = 0,02, рад |
|
||
50,0 |
0,028284745 |
0,040001005 |
0,056570379 |
|
100 0 |
0,020000252 |
0,028284745 |
0,040001005 |
|
150,0 |
0,016330115 |
0,023094336 |
0,032660503 |
|
200,0 |
0,014141228 |
0,020000252 |
0,028284745 |
|
250,0 |
0,012648295 |
0,017889091 |
0,025297896 |
|
300,0 |
0,011547116 |
0,016330115 |
0,023094336 |
|
350,0 |
0,010689352 |
0,015119024 |
0,021381580 |
|
400,0 |
0,010000836 |
0,014141228 |
0,020000252 |
|
450,0 |
0,009427126 |
0,013334220 |
0,018855882 |
|
500,0 |
0,008943685 |
0,012648295 |
0,017889091 |
|
550,0 |
0,008527477 |
0,012059672 |
0,017056728 |
|
600,0 |
0,008163218 |
0,011547116 |
0,016330115 |
|
650,0 |
0,007842963 |
0,011094319 |
0,015689757 |
|
700,0 |
0,007560482 |
0,010689352 |
0,015119024 |
|
750,0 |
0,007303845 |
0,010329209 |
0,014605684 |
|
800,0 |
0,007071652 |
0,010000836 |
0,014141228 |
|
850,0 |
0,006862042 |
0,009701350 |
0,013719770 |
|
900,0 |
0,006668207 |
0,009427126 |
0,013334220 |
|
950,0 |
0,006486988 |
0,009177226 |
0,012978567 |
|
1000,0 |
0,006324148 |
0,008943685 |
0,012648295 |
|
|
|
|
Таблица |
4 |
Значение Дф при аппроксимации секущими |
|
|||
R, мм |
Дф при |
Дф при |
Дф при |
|
6 = 0,005, ра д |
6 = 0,01, рад |
б = 0,02, ра д |
|
|
50,0 |
0,039998770 |
0,056565637 |
0,079989242 |
|
100,0 |
0,028283691 |
0,039998770 |
0,056565637 |
|
150,0 |
0,023091755 |
0,032659591 |
0,046186213 |
|
200,0 |
0,019998762 |
0,028283691 |
0,039998770 |
|
250,0 |
0,017887425 |
0,025297896 |
0,035776867 |
|
300,0 |
0,016331940 |
0,023091755 |
0,032659591 |
|
350,0 |
0,015120995 |
0,021378792 |
0,030237280 |
|
400,0 |
0,014143336 |
0,019998762 |
0,028283691 |
|
450,0 |
0,013334220 |
0,018854302 |
0,026666343 |
|
500,0 |
0,012650651 |
0,017887425 |
0,025297896 |
|
550,0 |
0,012057200 |
0,017058475 |
0,024118224 |
|
600,0 |
0,011544535 |
0,016331940 |
0,023091755 |
|
650,0 |
0,011091632 |
0,015691657 |
0,022186036 |
|
700,0 |
0,010686564 |
0,015120995 |
0,021378792 |
|
750,0 |
0,010326323 |
0,014607724 |
0,020654156 |
|
800,0 |
0,009997855 |
0,014143336 |
0,019998762 |
|
24
Продолжение табл. 4
R, мм |
Дф при |
Дф при |
Дф при |
6 = 0,005, рад |
6 = 0,01, ра д |
6 = 0,02, ра д |
|
850,0 |
0,009698267 |
0,013721942 |
0,019401192 |
900,0 |
0,009423964 |
0,013334220 |
0,018854302 |
950,0 |
0,009173978 |
0,012978567 |
0,018351258 |
1000,0 |
0,008940351 |
0,012650651 |
0,017887425 |
|
|
|
Таблица 5 |
Значение |
Л<р при аппроксимации касательными |
||
R, мм |
Дф при |
Дф при |
Дф при |
= 0.005, ра д |
6 = 0,01, р а д |
6 = 0,02, ра д |
|
50,0 |
0,028283691 |
0,039997279 |
0,056559313 |
100,0 |
0,020000252 |
0,028283691 |
0,039997279 |
150,0 |
0,016328290 |
0,023093045 |
0,032658678 |
200,0 |
0,014141228 |
0,020000252 |
0,028283691 |
250,0 |
0,012648295 |
0,017889091 |
0,025297896 |
300,0 |
0,011547116 |
0,016328290 |
0,023093045 |
350,0 |
0,010692140 |
0,015117053 |
0,021380187 |
400,0 |
0,010000836 |
0,014141228 |
0,020000252 |
450,0 |
0,009430287 |
0,013331984 |
0,018855882 |
500,0 |
0,008943685 |
0,012648295 |
0,017889091 |
550,0 |
0,008523981 |
0,012062143 |
0,017054980 |
600,0 |
0,008163218 |
0,011547116 |
0,016328290 |
650,0 |
0,007842963 |
0,011094319 |
0,015687858 |
700,0 |
0,007556539 |
0,010692140 |
0,015117053 |
750,0 |
0,007299764 |
0,010329209 |
0,014603643 |
800,0 |
0,007067437 |
0,010000836 |
0,014141228 |
850,0 |
0,006857697 |
0,009701340 |
0,013717597 |
900,0 |
0,006663736 |
0,009430287 |
0,013331984 |
950,0 |
0,006486988 |
0,009177226 |
0,012976271 |
1000,0 |
0,006324148 |
0,008943685 |
0,012648295 |
подставлялось значение радиуса кривизны эллипса в каж дой точке;
2) через площадь эллиптического сегмента.
Рассмотрим первый способ. Допустим, что эллипс состоит из множества сопрягающихся дуг окружностей, радиусом каждой из которых является радиус кривизны эллипса в промежуточной точке (рис. 10). Тогда для
25
вычисления шага аппроксимации можно воспользоваться формулой для окружности
Дф = 2 arccos •Я - 6 |
(8) |
R |
|
Здесь под радиусом R понимается текущее значение радиуса кривизны, определяемое в общем виде по формуле
ад
Вычислив первую и вторую производную для эллипса, заданного в виде
y = kVa2 — х\ (10)
и произведя некоторые преобразования, получим радиус кривизны R = = R (х) в виде
ад |
/ 2 |
с 2 „ 2 ')3/2 |
= (а |
kd- |
Рис. 10. Линейная аппроксимация дуги эллипса
Последовательно сум мируя приращения угла Дф,., определяемые по фор муле (8), можем в любой точке вычислить значения угла аппроксимации, ко
ординаты точек |
аппроксимации и |
их приращения: |
|
||||
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
ф/ = - f — |
SД Ф / ; |
|
|
||
xt |
= |
rl |
COS ф. |
V\ |
— e3 cos2 |
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||
|
|
|
|
|
b sin ер; |
||
yt |
= |
rt |
sin ф£- |
|
|
||
|
e2 |
sin2 9i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Дл-, = IX,-i+l |
|
|
|
|
byt = |
\ y M - y t \ ( i |
= |
0. 1.2 |
л). J |
|
||
Рассмотрим второй способ. При аппроксимации эл липса с использованием площади эллиптического сегмента шаг аппроксимации определялся методом подбора. На рис. 10 показан эллиптический сегмент 5с е г м ; площадь
26
вписанного в него треугольника высотой б связана с ним следующим неравенством:
Sc e r M S - j - . |
(13) |
Раскроем левую и правую части неравенства (13). Площадь сегмента 5С 0 Г М можно определить, вычитая из площади эллиптического сектора площадь треугольника, образованного двумя соседними радиусами и хордой /:
"^сегм = = *"*сект ' "^треуг* ( ^ )
Воспользовавшись формулой для определения площади
сектора, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф + Д ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислив интеграл, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
* с е к т |
= 4 |
[™*g ( - ^ ( Ф + М ) - |
|
arctg ( * ? _ ) ] . (15) |
|||||||||||||||||||
Площадь |
треугольника |
|
|
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5•Чреу |
гг |
= 4" |
r |
' |
/+l |
S l n Д < |
Р = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
т р |
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= — |
|
|
|
s i n АФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|
|||||
|
|
|
2 |
V [ l — e2cos2cp] [I — eacosa(q> + Дф)] * |
|
||||||||||||||||||
Из |
этого же треугольника, |
|
|
использовав |
теорему |
коси |
|||||||||||||||||
нусов, |
определяем |
длину |
|
хорды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
/ = ~\[r\ + r\+\ — 2nri+i |
cos Аф |
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 - е 2 |
[cos2 |
(ф + Дф) + cos2 <р] — |
|
||||||||||||||||
|
|
|
• 2 cos Дф |
|
+ e |
cos |
|
ф] [1 — е |
|
cos |
|
(ф + Дф)] |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Л « Л 1 |
(17) |
|
|
|
|
[1 — е3 cos2 ф] [ 1 — е2 |
cos2 |
(ф + Дф)] |
|||||||||||||||||
Для облегчения записи введем следующие обозначения: |
|||||||||||||||||||||||
Vll— |
e2 cos2 9]H— е2 |
|
cos2 |
(ф + Аф)] |
|
= А; |
|
||||||||||||||||
|
arctg [ * < Ф + *•>>] - a r c t g [ i ^ L ] = В; |
(18) |
|||||||||||||||||||||
/ 2 — е2 [cos2 |
(ф + Аф) + cos2 |
|
ф] — 2A cos Аф = С. |
|
|||||||||||||||||||
27
Используя формулу (14) и принятые обозначения (18), находим из неравенства (13) значение стрелки прогиба б:
|
|
6 |
|
£ f l i ! z ^ l . |
|
(19) |
||
Значения |
Аф, |
удовлетворяющие |
неравенству |
(19), |
||||
используются |
при |
аппроксимации. |
|
|
|
|||
Алгоритм |
решения выглядит следующим образом: |
|||||||
1) |
с шагом изменения Аф вычисляют |
значение |
||||||
|
|
|
г. |
= a |
АВ — /г sin Am |
|
|
|
|
|
F |
g |
|
|
|
||
до тех пор, пока при Аф;- = Аф0 + |
nh не |
будет |
иметь |
|||||
место |
выполнение |
неравенства F s£ б; |
|
|
||||
2) определяют угол аппроксимации и координаты |
||||||||
точки |
аппроксимации |
|
|
|
|
|||
i
4>i = 21 Аф,.;
xt = r,cosq>,; yt = гi sin ф,;
3) вычисляют координатные приращения для преды дущей точки
|
|
bxi-i=\xl |
— xi_1\; |
|
|
= |
\У1 — У1-11 |
(»' = 1, 2, 3 |
n); |
4) |
повторяется |
расчет до |
достижения |
углом ф зна |
чения |
я/2. |
|
|
|
На основании расчетов, выполненных этими двумя способами с помощью ЭВМ «Наири-С», составлены таб лицы, позволяющие при заданных a, b и б определить коор динаты точек аппроксимации от 0 до л/2. Таблицы содер жат значения угла аппроксимации ф через шаг Аф, вы численный одним из приведенных выше способов, а также значения координат х и у в соответствующей промежуточ
ной точке и |
абсолютные величины их приращений Ах |
и А(/ (табл. |
6). |
Содержание таблиц иллюстрируется графиком, при веденным на рис. 11, построенным для фиксированных
значений б = 0,01 мм и а = 10 мм, но для разных |
зна |
|
чений |
Ь. |
|
На |
рис. 12 представлены семейства кривых х — f (Ф) |
|
и у = f (ф). Приведенные графики и таблицы могут |
быть |
|
28
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
Аппроксимация |
дуг эллипсов а = |
10 мм, Ъ = |
6 мм, |
б = 0,01 мм |
||||
точки |
Ф, ра д |
Дф, р а д |
X, |
мм |
&х, мм |
у, |
мм |
Ау, мм |
0 |
0,00 |
0,05 |
10,00000 |
0,03460 |
0,00000 |
0,49869 |
||
1 |
0,05 |
0,05 |
9,96540 |
0,10235 |
0,49869 |
0,49092 |
||
2 |
0,10 |
0,05 |
9,86305 |
0,16595 |
0,98961 |
0,47597 |
||
3 |
0,15 |
0,06 |
9,69709 |
0,27400 |
1,46557 |
0,54289 |
||
4 |
0,21 |
0,06 |
9,42309 |
0,34255 |
2,00846 |
0,50465 |
||
5 |
0,27 |
0,06 |
9,08054 |
0,39604 |
2,51311 |
0,46154 |
||
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
полезны для программистов при определении |
шага ап |
|||||||
проксимации |
и величин |
приращений |
по |
координатам |
||||
в случае программирования дуги эллипса, заданного своими полуосями. Кривая линия при задании для линей ного интерполятора аппро
ксимируется ломаной, для |
мм |
х=х(ц>) |
а*10пп |
|||||
У'У(<Р) |
S=0,01мм |
|||||||
линейно-кругового—лома |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
ной или дугами |
окружно |
|
|
|
|
|||
сти, |
для |
параболическо |
\ \ |
b |
|
|
||
го — параболами. |
|
• |
y |
|
||||
Ар |
|
|
|
|
|
|
|
|
рад |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.1? |
|
|
S*0,01Mм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,08 |
|
|
b =8 |
|
' |
\ \ |
||
\ |
|
6 |
— r |
N |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Aо,* |
b=2 |
|
|
|
0,00 |
|
|
b -2 |
|
|
|
||
0,i |
0J |
1,2 Ц.рад |
0,8 |
|
1,2 4>,рад |
|||
Рис. |
11. Зависимость |
шага ап |
Рис. 12. Значения |
координат |
||||
проксимации эллипса от угла ф |
промежуточных точек при ап |
|||||||
|
|
|
|
проксимации дуг эллипса |
||||
Количество участков между смежными узловыми точ ками зависит от характера аппроксимируемой кривой, заданной точности на аппроксимации и аппроксимиру ющей функции.
Большая часть контуров деталей в машиностроении (ориентировочно до 94%) составляется простейшими гео метрическими элементами: прямыми и дугами окружности.
29