книги из ГПНТБ / Ковалев М.П. Динамическое и статическое уравновешивание гироскопических устройств

Сравнение этих уравнений с их предельным видом при е= 0 показывает, что помимо изменения коэффициентов при членах первого и второго порядков в отношении а, ß, перекос обусловли­ вает перекрестные инерционные члены.

Согласно методу, изложенному в предыдущем параграфе, решение системы (2.37) будем искать в виде функционального ряда по степеням малого параметра, в качестве которого в слу­ чае начальных условии (2.30) можно принять Q. Соответственно каждой степени £2 можно, как указывалось выше, написать ряд дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в

Следующая пара дифференциальных уравнений, получающа­ яся приравниванием нулю коэффициентов при первой степени Q,

где

/, = Д"-)-( А -}- А' — C') cos2 г cos2 ß0-{- C cos.2s -)-/2 sin 2£. (2.40)

Решение уравнений (2.39) может быть получено обычным об­ разом. При начальных условиях

Составляющие а", ß", соответствующие членам решения вто­ рого порядка малости, находятся как решение системы диффе­ ренциальных уравнений, получающейся приравниванием нулю

27

коэффициентов при Й2. Эта система имеет вид

/2ß" — (/, sin s) а" — [Си cos s) а" cos ß0 =

=—[(Л — A' — C ) cos2 e] а'2 sin % cos % —

—(Ca cos s) а'/' sin ß0;

} (2.44)

= [2(Л-|-Л' — C')cos2s sin ß0cosj30](a'ß'-|-

-j-a'3')-)-(C/i cos s)ß'ß' sin ß„.

Подставив в правые части вместо a', ß' выражения (2.42), после некоторых преобразований замечаем, что все члены пра­ вых частей уравнений (2.44) периодические, за исключением од­ ного члена в правой части первого уравнения. Это означает, что

решение в отношении ß" остается периодическим, а в отношении а" имеет постоянную составляющую. Эта постоянная составляю­ щая соответствует систематическому уходу (дрейфу) трехсте­ пенного гироскопа вокруг оси вращения внешнего кольца.

Подставив найденные составляющие а0, ß°, а', ß', а", ß" в принятую форму решения (2.31), (2.32), получим приближенное решение системы (2.37).

Как уже отмечалось, монотонно изменяющийся член присут­ ствует лишь в решении по переменной а и соответствует дрейфу трехстепенного гироскопа. Выполнив указанные выше выкладки, находим, что скорость дрейфа определяется формулой

ЛКак видно из этой формулы, дрейф имеет место и при отсут­ ствии перекоса оси вращения внутреннего кольца (е = 0), если только плоскости внутреннего и внешнего колец не перпендику­ лярны, а моменты инерции колец отличны от нуля. Однако при наличии перекоса (е^О) дрейф имеет место даже при безынер­ ционных кольцах. В этом случае скорость дрейфа определяется формулой

■ __ 02 Д sin ßo ( c o s 2 Е COS2 ßo + Sin2 е)

л2 COS £ COS2 ßo

где А — экваториальный момент инерции ротора.

28

Если существует только перекос уі оси ротора, а e=Y2 = 0, то

уравнения движения (2.26), (2.29) принимают вид

(А cos2 Yj-f- В') ß-]-(n sin Yi cos у:) a sin ß —

—Спа cos Yi cos ß-f-(A co,s2 Yi+ А' —

—C ) a2sin ß cos ß = 0 ;

J'

J' —V і \і 2 — А2sin Yi cos2 Yxsin2 ß0.

Система уравнений относительно составляющих решения a", ß" второго порядка малости согласно изложенному методу полу­

29

чается в следующем виде:

постоянный член, что указывает на ненулевое среднее значение

а". Это значение соответствует^ систематическому уходу (дрей­ фу) гироскопа вокруг оси вращения внешнего кольца. Скоростьдрейфа определяется формулой

02/[ sin ßo

[12{А" + С')4-АВ' sin2 Yi]- (2.53)

2/ ' 2 С п cos 7i cos2 ßo

Если yi= 0. T0 формула (2.53) сводится к тому же выраже­ нию, что и формула (2.45) при е= 0 , а именно, к выражению

22 Sinßp

(2.54)

Однако при безынерционных кольцах (Л"= 0 ' = С' = 0) пере­ кос yi оси вращения ротора в отличие от перекоса е оси вращения внутреннего кольца не обусловливает какого-либо систематического ухода.

Если имеет место только перекос у2 оси вращения Zt ротора

(e = Yi = 0), то уравнения движения гироскопа (2.26), (2.29) при­ нимают вид

Up —Спа cos(Y2+H) + a2 (Л sin (y2+ P) cos (Y + P)+

30

Выполняя те же действия, что и в предыдущих двух случаях, получим при прежних 'начальных условиях следующие составля­ ющие решения, соответствующие первой степени й:

где

C n cos (72 + ßo) .

. J

Приравнивая нулю коэффициенты при й, получим, как обыч­ но, систему двух дифференциальных уравнений, решая которую находим составляющие решения второго порядка малости. Не-' периодическая часть решения и в данном случае соответствует дрейфу системы вокруг оси X внешнего кольца, причем скорость дрейфа определяется формулой

0 2

При 72 = 0 эта формула, как и должно быть, сводится к выра­

жению (2.54). Формула (2.57) показывает, что при отсутст­ вии инерции колец (А' = С' = 0) перекос оси ротора у2 не приво­

дит к какому-либо дрейфу трехстепенного гироскопа.

2.5. ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ ВНУТРЕННЕГО КОЛЬЦА

Будем считать, что перекосы осей вращения ротора и внутрен­ него кольца отсутствуют (е = у і= у 2= 0 ), но внутреннее кольцо,

будучи статически неуравновешенным относительно точки подве­ са О, обладает динамической неуравновешенностью. Такая не­ уравновешенность имеет место, когда центробежные моменты инерции отличны от нуля.

Будем обозначать осевые и- центробежные моменты инерции внутреннего кольца как Іхх, Іѵѵ, IIZ, Ixy, IyZ) fzx, где ATZ — систе­ ма координат, связанная с этим кольцом; для моментов инерции ротора и внешнего кольца сохраним прежние обозначения. ,При использовании изложенной выше методики и выражений

31

представляющих составляющие момента количества движения внутреннего кольца, получим в прежних предположениях (отсут­ ствие трения в подшипниках, статическая уравновешенность всех элементов относительно точки подвеса) следующие уравнения движения трехстепенного гироскопа:

Используя прежний метод решения и прежние начальные ус­ ловия, получим следующие выражения составляющих решения, соответствующих первой степени Q:

(2.59)

ß ' = V - ( l —cos pt), Kp

где

C n COS ßn

p = — f— ;

<?= —a rctg ^ rj ;

K = V [IxIi-J'V

Л = A" 4- /„ 4 -(A -\- Ixx— Izz) cos2 ß0- 21zx sin ßo cos ß0;

/2= ^ 4- I yy\

y = / l.!/cosßo4 - / i/2 sinß0.

Выражения (1.75) описывают нутационные колебания гиро­ скопа при наличии динамической неуравновешенности внутрен­ него кольца.

Скорость дрейфа гироскопа, выявляющаяся при решении си­ стемы уравнений, соответствующей второй степени параметра Q, определяется формулой

где

32

При отсутствии динамической неуравновешенности внутрен­ него кольца (ІХу= Іѵ2=Izx = 0) формула (2.60), как это и должно

быть, сводится к формуле (2.54).

2.6. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОДВЕСА

Трехстепенный гироскоп, центр тяжести которого точно сов­ падает с пересечением осей карданова подвеса, называется аста­ тическим. Движение такого гироскопа состоит из медленной пре­ цессии, вызываемой приложенными к гироскопу внешними мо­ ментами, и нутации, представляющей высокочастотные собствен­ ные колебания с малой амплитудой. В отличие от прецессии ну­ тационные колебания могут совершаться и при отсутствии внешних моментов. Если элементы конструкции гироскопа абсо­ лютно жесткие, то при перпендикулярности внутреннего и внеш­ него колец частота нутации определяется формулой

где К — коэффициент жесткости оси ротора при изгибных вибра­ циях, а J — некоторая функция моментов инерции ротора и колец подвеса.

Существует критическая (резонансная) угловая скорость ро­

тора, при которой пу= ф. Эта скорость, определяемая из уравне­ ния

равна

г (2.63)

Резонансная корость фр возможна при соблюдении условия

При вращении ротора на гироскоп действуют силы, частота которых равна угловой скорости ротора. Это происходит вслед­ ствие некоторой ничтожно малой неуравновешенности ротора.

Если угловая скорость ротора станет равной значению (2.63), то на гироскоп будут действовать силы в такт с нутационными колебаниями, 'вследствие чего наступит резоінанс. При резонансе амплитуда нутационных колебаний возрастает и гироскоп стано­ вится непригодным для использования и может выйти из строя.

Во избежание резонанса параметры гироскопа нужно выби­ рать в соответствии с условием С2< А 0В0. Если это условие не соблюдается, резонанса можно избежать, обеспечив соответству­ ющую жесткость оси ротора. Действительно, при достаточно большом значении К резонанс может наступить только при очень

высоком значении скорости срр, лежащем за пределами возмож­ ного диапазона скоростей ротора <р. Недостаточная жесткость элементов конструкции ухудшает работу и двухстепенного гиро­ скопа.

Рассмотрим работу этого гироскопа более подробно. Движе­ ние двухстепенного гироскопа описывается уравнением

A(U2-\-$)-\-(A — C)(U1cosß — U3sin $){UXsin ß-f

+ £/3 cosß) —H (Uxcosß — U3 sin ß)= — ATß — /ß .

При A = C, U2=Uz = 0 и cos ßsH это уравнение принимает вид

сил вязкого трения; /(ß — восстанавливающий момент (момент, развиваемый пружиной). Входящий в правую часть уравнения момент HU\ выполняет роль внешнего возмущающего момента. Этот момент, называемый гироскопическим, возникает только при вращении вектора кинетического момента Н относительно инерциальной системы координат (т. е. при наличии прецессии) и представляет собой инерционное сопротивление, оказываемое ротором при изменении углового положения его оси относитель­ но инерциального пространства. Гироскопический момент пере­ дается со стороны ротора на связи (на кожух р_отора). Направ­

Т = Н и хsin (90° + ß) = HU уcos ß.

При H=TJ\, показанных на рис. 2. 6 , вектор гироскопического мо­

мента Г направлен в сторону положительной части оси Y.

В уравнении (2.65) гироскопический момент HU\ выполняет роль движущего момента. Собственные колебания гироскопа опи-

34

сываются однородным уравнением, вытекающим из (2.65) при HUі=0, т. е. уравнением

А4А*

представляет собой затухающий колебательный процесс. При от­ сутствии демпфирования, т. е. при / = 0 , угловая частота собст­

венных колебаний, пазываемая в данном случае недемпфированной, опре­ деляется формулой

(2 -6 8 )

Недемпфированная частЪта ©и является важ­ ным показателем качест­ ва гироскопического уст­ ройства. Чем эта частота больше отличается от час­ тоты колебания основа­ ния (объекта), тем ка­ чество устройства выше.

Предположим теперь, что ось Y вращения кожуха (выходная ось) не является абсолютно жесткой. Упругую податливость этой оси при изгибе в плоскости YZ условно изобразим в виде пружин П) (см. рис. 2 .6 ).

Рассмотрим собственные колебания этого гироскопа, предпо­ лагая, что он установлен на неподвижном основании. Обозначив угол поворота гироскопа вокруг оси X через а (этот поворот воз­

В этом уравнении #ß — гироскопический момент Г, возника­

ющий вследствие прецессии гироскопа • со скоростью ß вокруг оси Y и согласно формуле (2.66) действующий в отрицательном направлении оси X; К\а — упругий восстанавливающий момент при изгибе оси вращения кожуха (Кі — коэффициент упругости). Члены Л іа и fia очень малы по сравнению с членами Кіа и / / ß