книги из ГПНТБ / Ковалев М.П. Динамическое и статическое уравновешивание гироскопических устройств

Уравнение (2.8) выражает теорему о моменте количества движения тела. Согласно, этой теореме скорость конца вектора кинетического момента тела относительно неподвижной точки геометрически равна моменту действующих на тело внешних сил относительно той жё точки.

Если в твердом теле выбрать не­ которую точку, например центр масс, и совместить с этой точкой начало координат О системы £°т]0£0, оси ко­ торой параллельны соответствен­ ным осям инерциальной системы

то движение твердого тела можно рассматривать как совокуп­ ность двух движений: поступатель­ ного движения, определяемого дви­ жением выбранной точки тела, и движения (вращения) тела около этой точки относительно системы

S W

Уравнение (2.8) можно принять и при исследовании движения (вращения) твердого тела отно­

сительно системы І°г]0£0, которую будем в дальнейшем называть «неподвижной». При этом, как уже отмечалось, к моменту дей­ ствующих сил надо добавлять момент от сил инерции перенос­ ного (вместе с системой ё°Л°£0) движения тела. Общий момент М, а также кинетический момент тела G нужно брать теперь от­ носительно начала координат О неподвижной системы |°ц0?0.

2.2. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ ПО ВРЕМЕНИ

Предположим, что имеется некоторый вектор а, зависящий от времени t. Помимо неподвижной системы отсчета £°т]0(;0 вве­ дем еще систему координат XYZ (подвижная система) с тем же началом, вращающуюся относительно системы £°т]0£;0.

вижной системы, через величины, относящиеся __к подвижной

системе XYZ. В проекциях на оси подвижной системы вектор а можно записать следующим образом:

(2.9)

17

Дифференцируя (2.9) по времени, получим

Выражение

представляет собой скорость изменения вектора а по отношению к подвижной системе XYZ. Эта ско­ рость называется локальной произ­

где, как уже отмечалось, -4^- — скорость изменения вектора по.

отношению к подвижной системе координат XYZ, а со Ха — ско­

рость конца вектора а по отношению к неподвижной системе при вращении этого вектора вместе с подвижной системой XYZ.

2.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Теорема о моменте количества движения твердого тела выра­ жается согласно (2.8) уравнением

18

в котором G обозначает кинетический момент тела относительно начала координат О неподвижной системы |°ті0£0, а М — момент сил (активных и инерционных от перекосного движения) относи­ тельно той же точки О.

Принимая в качестве вектора а вектор кинетического момен­ та G твердого тела, можно при учете формулы (2.12) записать уравнение (2.13) в виде

19

где А, С — моменты инерции ротора 'соответственно относитель­ но экваториальных (X или У) и полярной (Z) осей; сщ-, соу, coz — проекции угловой скорости системы XYZ на оси этой же системы,

а Я = Сср— кинетический момент ротора при его вращении отно­

движения ротора относительно неподвижной системы £°г]0£;0, на­ зываемые динамическими уравнениями:

У Ц Ѵ~\~(С — А) шу<лг Н (ау — М х ;

2.4. УРАВНЕНИЯ ГИРОСКОПА С ПЕРЕКОШЕННЫМИ ОСЯМИ ПОДВЕСА

Карданов подвес гироскопа ранее предполагался идеальным, т. е. кольца подвеса считались безынерционными, их оси враще­ ния взаимно перпендикулярными, а ось вращения ротора перперпендикулярной оси вращения внутреннего кольца. Однако вследст­ вие инерционности колец и возможного перекоса осей реальный трехстепен­ ный гироскоп в процессе собственных колебаний

няться от первоначально­ го положения даже при неподвижности его осно­ вания. Этот уход (дрейф) гироскопа при колебаниях основания возрастает.

Схема такого гироско­ па приведена на рис. 2.4. Она состоит из ротора с

осью симметрии Z\ и центром тяжести О, совпадающим с пере­ сечением осей карданова подвеса, а также из внутреннего и внешнего колец. Центры тяжести колец совпадают с точкой О, однако, несмотря на идеальность конфигурации колец, оси их вращения неточно перпендикулярны друг другу. Если Y' — ось вращения внутреннего кольца относительно внешнего, а У — ось в плоскости XY внешнего кольца, перпендикулярная оси X вра-

20

>

щения внешнего кольца, то угол е между Y' и Y представляет перекос внутреннего' кольца относительно внешнего.

Ротор ’предполагается перекошенным относительно внутрен­ него кольца. Перекос определяется углами уі и уг, характеризу­ ющими отклонение оси Z\ вращения ротора от главной оси инер­ ции Z внутреннего кольца, у і— угол отклонения в плоскости симметрии Y'Z' внутреннего кольца, а у2 — угол отклонения оси

ротора от этой плоскости симметрии. Последний угол можно рассматривать как отклонение оси Z\ вращения ротора относи­ тельно диаметральной оси Y' этого ротора, лежащей в плоскости симметрии Y'Z' внутреннего кольца.

Все упомянутые оси приведены на рис. 2.5. Система XYZ (см. рис. 2.5, а) связана с внешним кольцом, причем ось X направле­ на по оси вращения этого кольца. — система, связанная с ос­ нованием. Ось £ этой системы совпадает с осью X вращения внешнего кольца. Основание предполагается подвижным в инер­

вращения внутреннего кольца), xyz — система, связанная с внут­ ренним кольцом (см. рис. 2.5, б). Она получается из системы

21

поворотом на угол р вокруг осп Y'. Углы а и ß определяют поло­

вокруг оси хна угол ум, а затем поворотом вокруг оси у х на угол \ 2 (см. рис. 2.5, в). Углы уі и у2 представляют составляющие пе­

рекоса от оси Z\ ротора относительно внутреннего кольца. Перед тем как переходить к составлению уравнений движе­

го кольца и ротора. Будем считать, что трение во всех подшипни­ ках отсутствует и, кроме силы тяжести и сил нормальных реак­ ций, в подшипниках какие-либо другие силы не действуют.

Если на ротор не действуют моменты вокруг осп вращения Z\, то согласно закону о моменте количества движения составля­ ющая абсолютной угловой скорости п ротора по его оси враще­ ния z\ постоянна. Для определения углов а, ß необходимы два уравнения. Чтобы найти одно из этих уравнений, рассмотрим систему, состоящую из внутреннего кольца и ротора. Использу­ ем тот факт, что скорость изменения составляющей момента ко­ личества движения этой системы по оси у вследствие отсутствия моментов вокруг этой оси равна нулю. Основываясь на уравне­ нии

Разложим это векторное уравнение на составляющие по осям системы xyz, принимаемой в качестве подвижной системы коор­

динат. В уравнении (2.18) со обозначает абсолютную угловую скорость подвижной системы xyz. Принимая во внимание М = 0 и представляя уравнение (2.18) в виде

где Г, /, к — орты по осям х, у, z, а gx, g v, ^ — проекции кинети­ ческого момента G на эти оси, для составляющей уравнения (2.19) по оси у вращения внутреннего кольца получим

где со,;, (Oy, cor — проекции угловой скорости системы на оси этой системы.

22

Если /Г, В', С —-главные моменты инерции внутреннего коль­ ца, то составляющие момента количества движения этого кольца по указанным осям определяются формулами

g ’r= A 'a cos s cos ß;

g'z= C'a cos s sin 3.

Проекции угловой скорости системы луг/iZi, связанной с осью Z\ ротора, на оси этой системы имеют вид

(Од.,== a cos г cos у, cos ß + (и — а sin è) X

X sin Yi sin Y2— cx cos £ cos Yi sin Yo sin ß;

(ог1 = а cos s cos Yi cos Y2 sin ß-j-а cos s X

X sin Y2 cos 3 — (3— а sin s) sin Yi cos-Уг-

Зная эти проекции, легко найти составляющие момента коли­ чества движения ротора по осям лу, у и z \

где А, С — главные моменты инерции ротора, а п — проекция уг­ ловой скорости ротора на ось zb являющаяся, как уже упомина­ лось, постоянной.

Таким образом, составляющие момента количества движения системы «внутреннее кольцо — ротор» по осям х, у, z имеют вид

23

Подставляя (2.21) — (2.25) в уравнение (2.20), получим пер­ вое из двух необходимых уравнений движения

[В' (ß — а sin s)-j- A sin Yi sin y2[а cos e cos y2 cos ß-j-

+ (fi — a sin e) sin Yi sin y2— а cos's cos Yi sin y2 sin p]-|-

+ A cos Yi [(P — а sin e) cos Y]+ a cos e sin Yi sin ß]—

— Cn. sin Yi cos y2) — а cos s cos ß [C'a cos e sin ß —

— A' cos Yi sin y2[a cos e cos y2cos ß — (ß— a sin s) sin Yi sin y2—

— a cos s sin ß cos Yi sin y2]+ A sin Yi [(ß— a sin s) cos Yi +

- fa cos e sin Yi sin 8]-\-Cu cos y(. cos y2) -fa cos £ sin ß X

X j A'a cos e cos ß -f A cos y2[a cos s cos y2 cos ß — (ß — a sin e) X

X sin Yi sin y2 —a cos s cos y1sin y2sin ß] -\-Cn sin y2} = 0 . (2.26)

Второе уравнение движения можно получить, рассматривая скорость изменения составляющей момента 'количества движе­ ния всей системы «ротор — внутреннее кольцо — внешнее коль­ цо» по оси вращения внешнего кольца. Если, как предполагалось, трение отсутствует, эта скорость равна нулю. Поскольку ось X является осью инерциальной системы, составляющая момента количества движения всей системы в направлении оси X постоян­ на. Эта составляющая определяется выражением

момент инерции этого кольца), а gx, g u, gz— составляющие мо­ мента количества движения системы «ротор— внутренее коль­ цо» [см. (2.22) — (2.25)].

Подставляя в (2.26) выражения этих составляющих, получим

Â"a-)-cos s cos ß {А'а cös г cos ß-f-A cos y2[a cos s cos y2 cos ß —

— (ß— a sin г) sin Yi sin y2 — a cos s cos Yi sin y.2sin ß]-j-

-fC /г sin y2) — sin E — a sin s)-j- A sin Yi sin y2X

X [“ cos e cos y2 cos .3 —(ß — a sin e) sin Yi sin y2 —

— a cos s cos Yi sin y2 sin ß]-|- A cos Yi [(ß' —a sin s) cos Yi-f

-j- a cos Esin Yi sin p]— Cti sin Yi cos y2) -f cos e sin ß X

X (C'a cos s sin ß — A cos Yi sin y2 [a cos в cos y2cosß —

— (ß— a sin s) sin Yi sin y2 — a cos s cos Yi sin y2 sin ß]-j-

24

Уравнения движения (2.26), (2.28) представляют собой сис­ тему двух нелинейных дифференциальных уравнений с .неизвест­ ными а и ß. Точного метода решения таких уравнений не сущест­ вует. Однако решение можно получить в виде функционального ряда по степеням малого параметра. Опишем этот метод реше­ ния для начальных условий

t = 0, а = а0, а = й,

(2.30)

?= &>, £= 0.

Эти начальные условия получаются при сообщении внешнему

кольцу в момент / = 0 угловой скорости а = й, что соответстңует нанесению удара по внешнему кольцу в момент ^ = 0.

При небольшом значении начальной угловой скорости Q ре­ шение можно искать в виде функционального ряда по степеням малого параметра й. Следуя этому методу, можно записать

где а0, а', а", ... ß°, ß', ß"— неизвестные функции времени. Эти функции можно определить, подставляя ряды (2.31), (2.32) в уравнения движения (2.26), (2.28). Членами, содержащими Й в степени выше второй, можно пренебречь. Учет членов с более высокими степенями приводит к усложнению выкладок. Вместе с тем основные свойства решения выявляются при учете лишь членов до второго порядка малости.

При использовании рядов (2.31), (2.32) составляются при­ ближенные выражения для sin ß, cos ß, sin ß cos ß:

sin ß ~ sin (ß°-f ß'Q + ^ 22)= sin ß° cos (ß'2 -f ß"S2)-{-

+ cosß0sin(P/Q-f ß"22) ~ s in ß o |l -- L ß '2g^ -)-

Приближенные выражения для sin ß cos ß и cos2 ß можно по­ лучить, перемножая (2.33), (2.34) и возводя в квадрат (2.34). При этом в окончательных выражениях должны быть сохранены только члены с параметром й в степени не выше второй. Эти выражения, а также принятая форма решения (2.31), (2.32) подставляются в уравнения движения (2.26), (2.28). Левые час-, ти уравнений превращаются в степенные ряды в отношении па­

25

раметра й. Чтобы уравнения удовлетворялись, коэффициенты при различных степенях й, зависящие от а и ß, далжны равнять­ ся нулю. Принимая во внимание в каждом пз уравнений лишь члены с нулевой степенью Й, получим два дифференциальных уравнения, переменными в которых являются а0 и ß°. Выбирая для а0 II ß° начальные условия

(2.35)

совместимые с начальными условиями (2.30) для а, ß и приня­ той формой решения (2.31), (2.32), путем решения этих уравне­ ний получим а0, ß° как функции времени.

Принимая далее во внимание члены с первой степенью й, по­ лучим два дифференциальных уравнения в отношении перемен­ ных a', ß'. В этих уравнениях помимо других фигурируют также члены, содержащие теперь уже известные функции а0, ß°. Пере­ носим эти члены в правые части уравнений. Решая эти уравне­ ния при начальных условиях

функции времени.

Принимая во внимание члены со второй степенью й, получим два дифференциальных уравнения (их правые части содержат члены с теперь уже известными а' и ß'), решая которые при ну­ левых начальных условиях, находим а", ß" как функции време­ ни. В данном случае нулевые начальные условия совместимы с начальными условиями (2.30), (2.35), (2.36) и принятой формой решения (2.31), (2.32).

Подставляя, наконец, найденные значения а0, а', а", ß°, ß', ß" в (2.31), (2.32), получим искомые приближенные решения урав­ нений движения (2.26), (2.28).

Из-за сложности общих уравнений движения (2.26), (2.28) наиболее целесообразно установить отдельно влияние каждого из указанных параметров карданова подвеса на дрейф гироскопа.

Если положить -уI = Y2— 0 и учитывать только перекос е оси

вращения внутреннего кольца, в этом случае уравнения движе­ ния принимают вид

/г3—(/, sin s) а — {Си cos s) а cos ß-f-

-\-[{А-\- А' — C') cos2 е] а- sin 3 cos ß — 0;

— (/2sin s)ß-|-(Cß cos s)ß cos ß-j-

+ [Л"+ (А + А' - C') cos2 e cos2 ß +

-j- C' cos2 s — /, sin2 e] а —

— 2 [(Л + А' —C') cos2 e] aß sin ß cos ß = 0,

где і 2 = А+В'.

26