книги из ГПНТБ / Иваницкий Г.Р. Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики

днями формы объекта. Характер изменения дисперсии

величины р в функции некоторых параметров объекта позволил бы установить предельные значения величины cl, обеспечивающие получение заданной ошибки обнару­

жения, а также рассмотреть методы оптимального с точ­

ки зрения минимизации величины ексинтеза классов,

р

поскольку мы свободны в выборе способа расчле­ нения пространства изо­ бражений объекта па классы.

Необходимо учесть то обстоятельство, что изме­ ряемая с помощью дву­ мерных согласованных фильтров функция корре­ ляции представляет собой результат анализа выбо­ рок чрезвычайно ограни­ ченной протяженности, со­ ответствующих размерам обнаруживаемых объек­ тов. Поэтому совокуп­ ность измеренных в ре­ зультате эксперимента значений корреляционной функции эталона и изо­ бражения реальной клет­ ки, представляющей со­ гласно принятой модели

сумму эталонного изображения и шумовой составляю­ щей, будет представлять множество случайных величин.

Попытаемся количественно оценить дисперсию оце­ нок 'Корреляционной функции эталонных изображений и реальных клеток, вычисляемой методами двумерной согласов анной фильтрации.

16. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЧИВОСТИ ФОРМЫ НА ВЕЛИЧИНУ ДИСПЕРСИИ ОЦЕНОК КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Под эталонным изображением будем понимать изоб­ ражение, координаты точек которого являются матема­ тическим ожиданием координат соответствующих точек

80

контуров реальных элементов объектов обучающей по­ следовательности, составляющих класс. Распределение плотности объекта представляется в виде аддитивного сочетания эталонного изображения и шумовой состав­ ляющей.

На каждой из пространственных несущих согласован­ ного фильтра фиксируется спектр соответствующего эта­ лонного изображения. Вся совокупность изображений, составляющих класс, представляет собой последователь­ ность выборок, для которой в результате фильтрации вычисляются значения корреляционной функции эталон­ ного изображения и элементов реальных -клеток.

Вследствие конечной протяженности каждой из выбо­ рок [в предположении стационарности шумового процес­ са [ш(х, у)1] оценки корреляционной функции эталонного изображения и совокупности реальных объектов одного класса образуют ансамбль случайных величин. Мера рассеяния оценок взаимной корреляционной функции эталонного изображения и выборочных изображений, со­ ставляющих класс, определяется величиной дисперсии полученной совокупности оценок. Цель данного парагра­ фа состоит в том, чтобы представить значение дисперсии оценок корреляционной функции через статистические параметры шумового процесса с учетом характеристик используемой оптической системы. Это позволит по до­ пустимому отклонению отношения сигнал/шум оценить предельные значения величины дисперсии шумового про­ цесса для совокупности объектов, составляющих класс

[Л. 39].

Полагая, что общие соображения, касающиеся сред­ неквадратичного значения флюктуаций при многократ­ ном измерении среднего на конечном интервале [Л. 19], остаются в силе при рассмотрении стационарных функ­ ций двух переменных и учитывая, что функция взаимной корреляции является результатом осреднения произведе­ ния двух случайных функций конечной протяженности (эталона и реальной выборки), определим величину дисперсии оценок корреляционной функции.

По определению

o2r= C R 4 A x ', Ay ' ) > - < R ( A x ' , Ду’) > \ (140)

где R( Ад/, Ау') — функция взаимной корреляции эталон­ ного изображения и совокупности эталонного изображе­ ния и шума. Символ < > означает осреднение по множе-

где уменьшаемое есть момент второго порядка функции 2 (х, у), а вычитаемое — квадрат момента .первого поряд­ ка той же функции. -Поменяв местами осреднения по множеству и по переменным, получим:

М < 2 (х, у ) > = < г ( х , у)>.

Момент второго порядка равен:

коррелятора. Протяженность этой области ограничена апертурой используемой линзы и ма-ксимальньши углами дифракции, обусловленными спектральным составом изображения. Предполагая, что эта область имеет фор­ му прямоугольника, и обозначив протяженность ее в на­ правлениях х и у соответственно через Ьх и Lv, можно записать:

у— I — L

ьх LV

L X

— <z(JC, у) > 2] dxdy j

82

ставляющими, вызывает уменьшение дисперсии по зако­ ну рис. 15. Полагая, что величина ошибки не может быть больше некоторой заданной величины, можно опре­ делить значение допустимой дисперсии в пределах класса.

Полученные выводы могут быть также использованы для оптимального с точки зрения минимизации диспер­ сии оценок корреляционной функции синтеза эталонов.

Например, в структуре анафазных шапок (анафазная стадия деления клетки обычно используется для ис­ следования хромосомных повреждений) медленные, сильнокоррелированные изменения формы, как правило, связаны с участками, обращенными к центру митотиче­ ского аппарата и образованными центромерами хромо­ сом, движущимися вдоль нитей веретена. Такого же рода изменения наблюдаются на боковых сторонах шап­ ки. Быстрые, слабокоррелированные изменения формы чаще всего связаны с областями, формируемыми хроматндными нитями. Поэтому для обеспечения минималь­ ной дисперсии оценок корреляционной функции в осно­ ву классификации целесообразно положить признаки, определяющие устойчивость сильно коррелированных изменений в пределах класса. Другими словами, форми­ рование классов нужно производить таким образом, чтобы в пределах класса сохранялось максимальное по­ добие элементов, связанных с сильнокоррелированными изменениями формы. Эталоны, синтезированные для фор-

85

В качестве таких признаков при 'классификации формы анафазных шапок были использованы следующие приз­ наки (рис. 19): 1) площадь; 2) протяженность стороны шапки, обращенной в сторону полюса 'митотического ап­ парата и образованной центромерами хромосом, движу­ щимися вдоль нитей веретена; 3) углы, образованные стороной, обращенной к полюсу, н боковыми сторонами; 4) отношение высоты шапки к ее ширине (на уровне половины высоты); 5) характер «бахромы», образован­ ной хроматидами. Классификация по указанным приз­ накам позволила выявить устойчивые формы, доста­ точно распространенные в исследуемой популяции клеток.

Однако с точки зрения проведенного анализа диспер­ сия оценок корреляционной функции может быть умень­ шена, а границы класса несколько расширены, если в пределах класса сохранять в первую очередь устойчи­ вость сильнокоррелированных изменений формы.

Представляет интерес исследование вопроса о харак­ тере изменения дисперсии оценок корреляционной функ­ ции за счет флюктуаций формы при регулировке дискри­ минирующих свойств фильтра.

Целесообразность такого рода преобразований ста­ новится очевидной, если иметь в виду, -что этот путь по­ зволяет наиболее рационально использовать информаци­ онную емкость двумерного согласованного фильтра. Как правило, подобная операция осуществляется изменением коэффициента передачи оптической системы для двумер­ ной согласованной фильтрации. Так, уменьшение селек­ тивных свойств фильтра может быть осуществлено вве­ дением пространственного интегрирования (коэффици­ ент передачи системы уменьшается при этом обратно пропорционально пространственным частотам со* и соу) или просто блокированием верхних пространственных частот. Последнее эквивалентно введению в тракт фильт­ ра -низких пространственных частот. Обратная операция, имеющая целью увеличить селективные свойства фильт­ ра, сводится к ослаблению удельного веса низких про­ странственных частот. Она может быть выполнена вве­ дением в оптическую систему дополнительного фильтра верхних пространственных частот или осуществлению пространственного дифференцирования.

Сигнал на выходе такой системы можно представить в виде свертки аппаратной функции системы и входной реализации

88

со

я * (АХ. A|/) = J J h ( x - x ' , y - y ' ) f BK( x ’ , y ' ) d x ’ d y'. (156)

—00

При этом аппаратная функция представляет произведение аппа­ ратной функции согласованного фильтра и аппаратной функции дополнительного фильтра

с учетом дополнительного фильтра определяется выражением [Л . 40]

00

фильтра она описывается интегральным выражением типа свертки (158). В этом выражении в качестве одной из свертываемых функ­ ций используется автокорреляция аппаратной функции системы, а вторая свертываемая функция пропорциональна функции корре­ ляции произведения входного и эталонного распределений.

Рассмотрим более детально каждый из сомножителей в урав­ нении (158). В предположении независимости распределений плот­ ности эталона и шума корреляционная функция произведения вход­ ного и эталонного распределений R(<Ах, А у) определяется корреля­ ционной функцией шума.

Величина < f Bx'(x, y ) f B?(x, у ) > 2 эквивалентна энергии эталонной функции.

В ряде случаев полоса пространственных частот системы огра­ ничена апертурой используемых линз или специально вводимыми

вспектральную плоскость диафрагмами.

Вкачестве примера ниже рассмотрена автокорреляция аппа­ ратной функции оптической системы при изотропном ограничении

полосы пространственных частот.

Коэффициент передачи такого фильтра нижних частот описы­

В этом случае зона прозрачности представляет собой функцию— круг. Поэтому аппаратная функция подобной системы определяется преобразованием Фурье от функции, описываемой выражением (158а). Как известно [Л . 50], преобразование Фурье такой функции определяется как

89