книги из ГПНТБ / Иваницкий Г.Р. Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики

где Wn (Y)—m-мерное распределение плотности вероят­ ности составляющих фона, a dY—элемент объема т-мер- ного пространства. Если предположить аддитивный ха­ рактер взаимодействия интенсивностей объекта и фона, то вероятность попадания анализируемого ноля зрения У- в этот же элемент объема dY, равную щ(У|5)т/У, можно представить в виде Wn- ( Y - S ) . Отношение правдоподо­ бия при этом будет равно:

wn (Y — S)

(95)

Подобная форма отношения правдоподобия справед­ лива при обнаружении объектов известной формы (коге­ рентное обнаружение).

Характер структуры отношения правдоподобия, а сле­ довательно, апостериорной вероятности, определяется за­ коном распределения шумовых составляющих. Для слу­ чая нормального закона распределения шума в теории оптимальных методов приема одномерных сообщений получены некоторые основополагающие результаты, ка­ сающиеся оптимальных методов синтеза систем обнару­ жения [Л. 65]. Результаты их могут быть .распростране­ ны на анализ двумерных распределений интенсивности, представляющих микроскопические изображения био­ объектов.

Предположим, что составляющая микроскопического изображения, относящаяся к фону, может быть дискрет­ ной совокупностью /?/ независимых значений интенсивно­ сти. Подобное предположение вытекает из доказатель­ ства теоремы Котельникова, распространяемого на слу­ чай микроскопического изображения с ограниченным спектром.

GO

Согласно этому доказательству такое изображение

ранственных частот изображения равен пулю вне прямо­ угольника, описываемого 'в частотной плоскости нера­ венствами |сох| ^обмане, |со,/! ^соумаксЧисло отсчетов, приходящихся на отрезок длиной х (или у): 2,vcoA-Mai;c- Общее число отсчетов в изображении (число степеней свободы) равно произведению площади изображения на «площадь», занимаемую спектром в частотной плоскости

[Л. 43]:

Кроме того, допустим, что распределение отдельной дискретной составляющей подчиняется нормальному за­ кону и имеет нулевое среднее значение

где сгф2 — дисперсия распределения интенсивности. Поскольку отдельные составляющие дискретной сово­

купности, характеризующей фон, независимы, совмест­ ная плотность распределения т значений равна произ­ ведению плотностей распределения отдельных составля­ ющих

или

( 100)

Отношение правдоподобия (95) будет равно отноше­ нию (100) к (99) [одновременно преобразовываем выра-

61

Ж е нпе (100) пол знаком экспоненты]

Выражение (101) имеет смысл отношения вероятно­ сти того, что анализируемое ноле зрения обусловлено объектом и фоном, к вероятности того, что оно опреде­ ляется только фоном. Поэтому в некоторых случаях ре­ шение о присутствии объекта может быть принято при выполнении неравенства

стоянного множителя представляет собой функцию вза­ имной корреляции входной реализации п объекта. Пра­ вая часть является суммой среднеквадратического значе­

пределение интенсивности в объекте.

Таким образом, для принятия решения о присутствии объекта необходимо сформировать функцию взаимной корреляции между входным распределением н распреде­ лением, соответствующим объекту, п сравнить ее с неко­ торым постоянным пороговым значением. Система обна­ ружения такого рода оптимальна в случае нормального закона распределения флюктуаций фона.

В качестве устройств для формирования двумерной корреляционной функции могут использоваться согласо­ ванные фильтры.

G2

Однако большинство реальных объектов, особенно в биологии, не может быть представлено в виде детер­ минированных функций вследствие широкой изменчиво­ сти форм даже у объектов, принадлежащих одному классу. Поэтому задача обнаружения биообъекта на сложном шумовом фоне ближе к проблемам некогерентпого обнаружения, т. е. обнаружения сигналов с непол­ ностью известными параметрами.

Отношение правдоподобия в этом случае становится функцией неизвестного параметра. Устранение зависимо­ сти отношения правдоподобия от неизвестного парамет­ ра а осуществляется усреднением его по меняющемуся параметру

Следует отметить, что задача обнаружения объектов с неполностью известными параметрами может быть так­ же решена с помощью методов линейной согласованной фильтрации. Отличия будут состоять лишь в определе­ нии пороговых значений, что никак не изменит структур­ ную схему оптимальной системы обнаружения.

13. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБОК И КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

а информация, используемая для принятия решения, имеет вероятностную природу, ошибки при принятии ре­ шения неизбежны.

Возможны ошибки двух видов:

а) при наличии объекта система принимает решение об его отсутствии (пропуск объекта);

б) при отсутствии объекта система констатирует его наличие (ложное срабатывание).

Наряду с ошибками существует две ситуации, когда выбранная гипотеза соответствует действительным собы­ тиям: это правильное обнаружение и правильная кон­ статация отсутствия объекта; т. е. двум исходным собы­ тиям: наличию объекта А и отсутствию объекта В могут соответствовать четыре возможных решения — правиль­ ное обнаружение уц, ошибочное обнаружение (ложное срабатывание) у0|, правильная констатация отсутствия you, ошибочная констатация отсутствия (пропуск) ую.

03

Последствия ошибочных решении при автоматиче­ ском анализе микрообъектов могут быть различными в зависимости от специфики решаемой задачи. Характер этих последствий количественно следует учесть введе­ нием некоторых весовых коэффициентов, учитывающих степень потерь, связанных с ошибочными решениями. Зная законы распределения плотности в микроскопиче­ ском поле зрения, соответствующем шумовому фону без объекта и с присутствием объекта, можно оценить ве­ роятности ошибок .(ложного срабатывания и пропуска). Вводя весовые коэффициенты, приписывающие каждому из ошибочных решений некоторые «стоимости», можно учесть влияние ошибок каждого рода на решение задачи.

В микроскопическом эксперименте распространены случаи автоматического счета частиц. Например, реше­ ние задачи о функциональном состоянии биологической структуры часто связывается с определением общего ко­ личества некоторых форм объектов. Изменения в струк­ туре могут быть идентифицированы по изменению про­ центного содержания определенных форм, характерных для нормально функционирующей структуры. Так, на­ пример, данные клинического анализа крови, имеющие большое диагностическое и профилактическое значение, основываются на счете различных форменных элементов крови — эритроцитов, лейкоцитов, тромбоцитов в едини­ це объема. Изменения показателей крови позволяют судить о развитии многих патологических процессов (пневмонии, абсцессов легких, инфаркта миокарда, гепа­ титов и т. д.) [Л. 2]. Информативным часто является не только число, но и размеры форменных элементов.

В ряде задач интерес представляет подсчет и измере­ ние различных одноклеточных организмов. К таким за­ дачам может быть отнесен анализ темпов размножения и гибели одноклеточной водоросли хлорелла, автомати­ ческий анализ дрожжевых клеток {Л. 46, 47], подсчет бактериальных колоний [Л. 27], исследование коацерватных капель (Л. 23].

При решении подобных задач нет необходимости де­ лать различие в оценке последствий ошибок счета (про­ пуска или ложного срабатывания). Естественно поста­ вить вопрос лишь о минимизации вероятности средней ошибки.

Выясним оптимальное правило решения для задач подобного класса. Условные вероятности ошибочных ре-

04

шеиий выражаются через плотности распределения шума и смеси сигнала и шума [Л. 75]. Условная вероятность ложного срабатывания

Го

где область У0, по которой производится интегрирование, определяет область принятия гипотезы о наличии объ­ екта.

Безусловная вероятность ложного срабатывания

Среднее значение ожидаемых потерь, называемое условным риском, представляется интегралом по всем возможным реализациям У и по всем решениям

Г — область возможных решений. Оптимальность обсуж­ даемых методов обнаружения состоит в том, чтобы при заданных C(S, у) и ш(У|5) выбрать такое правило ре­ шения х(у|У), которое бы минимизировало среднее значение риска r(S, х).

В случае решения задачи обнаружения микроскопиче­

значим Сл.с, стоимость пропуска — Сщ> Решение может иметь два значения: уо— нет объекта, уч— есть объект.

Принятие решения в задачах автоматического счета микрообъектов требует, как уже указывалось, миними­ зации средней вероятности ошибок при равной стоимо­ сти пропуска объекта и ложного срабатывания, т. е. ми­ нимизируемая величина

Так как интеграл от плотности вероятности по всей области возможных значений равен единице, то (111) можно записать в форме

Л:р = q j v00 dY + р Г1 - { wN(Y ~ S) dY

Минимум средней вероятности ошибки будет иметь место при условии, что подынтегральное выражение в (112) берется по отрицательной области вплоть до гра­ ничных значений Уп, в которых оно обращается в нуль:

Отсюда

wN,(Уп—5) /wN( Y„)=qlp.

Левая часть равенства (113) согласно формуле (95) представляет собой отношение правдоподобия. Конкрет­

ошибок основывается на вычислении отношения правдо­ подобия и сравнения его с порогом, определяемым отно­ шением априорных вероятностей. Решение о присутствии объекта выносится всякий раз, когда У попадает в об­ ласть У0, где qwN(Y)—pwN(Y—S) <0, т. е. A>q/p.

Априорные вероятности р и q в большинстве задач микроскопического анализа могут быть известны, поэто­ му вычисление порогового значения отношения правдо­ подобия не представляет трудностей.

Существует ряд задач автоматического анализа, где вероятностям ошибок могут приписываться разные стои-

66

мости. Например, при острых патологических состояниях организма существенным является не только подсчет форменных элементов крови, но и определение лейкоци­ тарной формулы, т. е. относительного содержания в кро­ ви лейкоцитов различных видов. Так, при лучевом пора­ жении существенно меняется количество двухядерных лимфоцитов в крови. Стоимость пропуска в подобной си­ туации должна быть естественно выше. В этом случае среднее значение риска будет:

Можно показать [Л. 75], что для минимизации сред­ него риска при такой постановке задачи область То нуж­ но выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

C.4.c4 wy ( У ) < CnppwN ( Т — S )

или

СпРpwN (у — 5)

Cx.eqwN(Y) ^

Решение задачи в такой постановке фактически удов­ летворяет Байесовскому критерию минимизации средне­ го риска.

В некоторых задачах автоматического анализа пато­ логические изменения в структуре могут быть идентифи­ цированы по появлению некоторых атипичных форм, рас­ пространенность которых на ранних 'Стадиях патологиче­ ского перерождения (когда вмешательство -может быть целесообразным) крайне незначительна. Естественно, что в такой ситуации последствия ошибочных решений весь­ ма неравнозначны. Если ложное срабатывание приведет лишь к необоснованной мобилизации бдительности, то ■пропуск может иметь катастрофические последствия. Такого рода ситуация может возникнуть в задачах авто­ матического анализа, связанных с ранней диагностикой рака, с идентификацией некоторых генетических повреж­ дений и т. д. В подобной ситуации естественен выбор критерия, минимизирующего вероятность пропуска и

фиксирующего на определенном уровне вероятность лож­ ного срабатывания, т. е. Рл.с— k, Лф = 1тип. Для отыска­ ния травила решения, удовлетворяющего этому крите­ рию, необходимо найти условие 'минимума Рпр в области интегрированная, для которого действует условие

Величина порогового отношения правдоподобия Л1Т, удовлетворяющая вышеприведенным условиям, отыски­ вается из равенства

Ап

Необходимо указать, что при использовании различ­ ных критериев оптимального обнаружения структурная схема обнаружения остается неизменной. Меняется лишь пороговое значение отношения правдоподобия.

14.СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОНА

ВМИКРОСКОПИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ

Поскольку характер взаимодействия объекта и фона, а также стационарность и закон распределения шумовых составляющих изо­ бражения имеют существенное значение в статистической трактовке

ния функции потерь, имеются лишь в предположении об аддитивном характере взаимодействия сигнала и шума, стационарности шума и его Гауссовой статистике.

Рассмотрим более подробно вопрос о характере взаимодействия объекта и фона в микроскопическом изображении. Абсорбционные свойства микрообъектов описываются, как известно, законом Лам ­

>,

где х — толщина поглощающего слоя; %— удельный показатель по­ глощения; с — концентрация поглощающего вещества; A i— Яг — диа­ пазон волн используемого освещения.

Величина оптической плотности на данной длине волны

68

Вобщем случае изображение анализируемого поля формируется

врезультате суперпозиции световых колебании, прошедших как че­ рез объект, так и через участки препарата, соответствующие фону. При использовании когерентного освещения изображение формирует­

ся в результате сложения амплитуд, а при некогерентном освеще­ нии — в результате сложения интенсивностей (квадратов амплитуд).

При анализе многослойных препаратов, когда исследуемые ми­ крообъекты образуют некоторую пространственную структуру, «е лежащую в одной плоскости, шумовые составляющие изображения представляют собой не только элементы фона, соседствующие с ми­ крообъектом, по и те мнкрообъекты и элементы фона, которые лежат выше или ниже исследуемого микрообъекта, и вследствие конечного значения глубины фокусировки микроскопических систем, не формируют четкого оптического изображения. В этом случае про­ шедший световой поток выражается в форме

Положим для простоты, что рассматриваются участки фона и объекта, обладающие постоянной концентрацией, и что используется монохроматический световой поток. Тогда выражение (120) можно представить в виде

Ф, = Ф„ ехр (— х'хфС V <b) ехр (— Хх 0-/об*об) + Ф0 е^Р (— ХхфсФ*ф)-

( 121)

Первое слагаемое соответствует световому потоку, прошедшему препарат на участках, где находится объект, второе — световому по­ току, прошедшему препарат на участках, где имеется лишь фон.

Если обозначить Фф| = Ф0ехр(— £>ф); Ф 0б1 =Ф оехр(— П 0б );Ф 'ф 1 = = Ф0ехр(— £>'ф), то

Однако часто в микроскопических исследованиях анализируются однослойные препараты (суспензированные или давленые). Если толщина объектов мала (например, при анализе мазков), то все по­ глощающие компоненты лежат практически в одной плоскости. К а ж ­ дая точка поля таких препаратов фактически характеризуется све­ товым потоком, прошедшим либо только через объект, либо только через фон. Величина D 'ф в '(120) при этом стремится к пулю, а мно­ житель Ф'ф, в первом слагаемом выражения (122) стремится к 1. Таким образом, световой поток, формирующий микроскопическое изображение, представляет в этом случае сумму двух независимых составляющих, характеризующих световые потоки, прошедшие сквозь участки препарата, соответствующие объекту и фону:

Ф. = Фоб. + Фф1 = Ф„ ехр (— хх о3с0б*об) + Фо ехр (ххфСФ*Ф)-

69