книги из ГПНТБ / Иваницкий Г.Р. Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики

Рассмотрим теперь, что произойдет при пвсдсмни во входную

Выполнение обратного преобразования Фурье приводит к появ­ лению в выходной плоскости распределения амплитуд, описываемого суммой

Рис. 24. Когерентная оптическая система для выполнения дву­ мерной согласованной фильтрации.

Распределение амплитуд, соответствующее первому слагаемому, появляется па оптической осп н не представляет интереса. Координа­ ты центра распределения второго слагаемого х = а, у — Ь. Распреде­ ление, соответствующее третьему слагаемому, собственно и является результатом согласованной фильтрации. Центр этого распределения

100

гаемое в (176) с точностью до постоянного множителя определяет функцию взаимной корреляции. На основании ее анализа и выносит­ ся решение о наличии или отсутствии объекта в анализируемом поле зрения. Второе слагаемое в (176) при тех же условиях представляет собой свертку входного распределения с эталонным изображением.

Для того чтобы все три члена выражения (176) не перекрыва­ лись в выходной плоскости, необходимо соблюдение некоторых ус­ ловий, связанных с правильным выбором пространственной несущей частоты.

Отметим, что интерференционный метод регистрации фазовых отношений может быть интерпретирован с точки зрения радиотех­ нических методов 'модуляции. Известно, что регистрация комплекс­ ных одномерных функций возможна путем модуляции несущей ча­ стоты [Л . 108]. Поэтому система интерференционных полос, получае­ мая на фотопластинке за счет интерференции эталонной и сигналь­ ной волн, может рассматриваться как пространственная несущая ча­ стота, амплитудная модуляция которой проявляется в изменении плотности интерференционных полос, а фазовая модуляция — в из­ менении их взаимного положения. Входная плоскость системы для синтеза согласованных фильтров может рассматриваться в соответ­ ствии с используемой аналогией как частотная плоскость модуля­ ционной системы с одной боковой полосой. Точечный источник, фор­ мирующий опорную волну, эквивалентен нулевой частоте. Протяжен­ ность объекта (в направлении х, например, /*) эквивалентна поло­ се частот модулирующего сигнала. Расстояние а между точечным источником и центром сигнала определяет величину несущей. Ф унк­ ции квадратичного детектора выполняет фотоматериал. Оптическая

которых необходимо при выборе несущей пространственной частоты. Заменив в (176) каждое из слагаемых соответствующим ему Фурьепреобразованнем [Л. 128] и опустив постоянные множители, можно записать:

Минимальные величины а и Ь, при которых отсутствует перекрытие

корреляции [Л. 64]. Протяженность центрального порядка опреде­ ляется максимальной протяженностью большего из первых двух

рядка равна Lx+2lx, Ly+2ly. Таким образом, чтобы избежать

101

Величина биологических объектов, как правило, много меньше анализируемых нолей зрения, т. е. /i « L i , l v - k iL y , и поэтому выбор несущей определяется протяженностями L x и L y. Поскольку в по­ добных случаях возникает необходимость регистрировать большое количество эталонных изображений на различных пространственных несущих одного фильтра, должны соблюдаться следующие соот­

Рассмотрим подробнее требования к оптической си­ стеме для синтеза двумерных согласованных фильтров. Согласно вышесказанному, ома должна давать возмож­ ность выполнить преобразование Фурье и обеспечить интерференцию полученного спектрального распределе­ ния с когерентным фоном.

В своей первой работе по согласованной фильтрации [Л. 127] Вандер Люгт предложил для синтеза двумер-

Ьх

во входной плоскости системы для изготовления согласо­ ванных фильтров.

А — точечный источник.

102

гJ

Рис. 26. Система для изготовления согласованных фильтров на основе интерферометра .Маха— Цандера.

пых согласованных фильтров модифицированный интер­

отражается зеркалом 6 и проходит через сигнальный транспарант А(х, у), помещенный в плоскости объек­ та 5. Линза 7 воспроизводит Фурьс-преобразоваппе сиг­ нала S(co.v, coy) в выходной плоскости. Верхний (эталон­

В частности, если сигнал помещен не точно в передней фокальной плоскости линзы 7, то в результате его преобразования появляется сферический фазовый мно­ житель, он приводит к возникновению после интерфе­ ренции с опорным лучом внеосевой зонной структуры Френеля по всей поверхности фильтра. Другой недоста­

103

требующих, как было показано, достаточно высоких значений пространственной несущей и, следовательно, больших углов между сигнальным п опорным лучом.

От 'рассмотренных недостатков свободна система, представляющая собой видоизмененный интерферометр Релея (рис. 27). Здесь линза 2 по-прежнему использу­ ется как коллимирующая. Линза 3 фокусирует часть светового потока в плоскости объекта 4 в точку, являю­ щуюся приближенным представлением б-функцпп. Сте­ пень приближения зависит от относительной апертуры линзы 3.

Рис. 27. Система для изготовления согласованных фильтров па основе интерферометра Рэлея.

Центр сигнала смещен на расстояние а от точечного источника 4 (предполагается, что смещение в направ­ лении у отсутствует). Линза 5 воспроизводит преобразо­ вание Фурье сигнала и б-функцпп в выходной плоско­ сти 6

R exp jwxCt + S (co.v, со,,).

В такой системе положение плоскости объекта не­ критично, так как сферический фазовый множитель присутствует в преобразованиях обоих членов. Это обстоятельство позволяет переместить плоскость объек­ та вплотную к линзе 5, с тем чтобы максимально исполь­ зовать ее апертуру, а также свести к минимуму воз­ можные деформации волнового фронта за счет аберра­ ций на краях линзы. В такой форме система для производства согласованных фильтров становится по сути дела идентичной устройствам для получения Фурье-голограмм [Л. 64]. Изготовление согласованного фильтра фактически сводится к получению Фурье-голо- граммы исследуемого объекта и соединению ее с нега­ тивом, учитывающим спектральную плотность фона.

104

Предложенная Вандер Люгтом в {Л. 128] гибридная схема объединяет конструктивные особенности интер­ ферометров Маха — Цандера и Релея. Она отличается достаточной сложностью настройки: необходимо вырав­ нивать оптические пути опорного и сигнального лучей, поскольку точечная диафрагма и сигнал не лежат

водной плоскости.

Вобщем случае обнаруживаемый объект может за­ нимать в микроскопическом поле зрения случайное положение, иметь случайную ориентацию и форма его может иметь случайный характер.

Внекоторых случаях интерес может представлять обнаружение микрообъектов, известных с точностью до положения, ориентации и масштабов. Отношение прав­ доподобия в этом случае представляется как матема­ тическое ожидание совокупности случайных значений отношения правдоподобия, вычисленных для некоторой области к возможных значений неизвестных параметров:

Л = | . . . jA ( a , Д-t, Ду, m)w(a, Ах, Ау, in)dadAx dAijdm,

(180)

где т — коэффициент изменения масштаба; а, Ах, Ау — угол поворота и координаты переноса.

Правило решения в этом случае будет сводиться к отысканию максимумов по меняющимся параметрам объекта

п сравнению их с некоторыми пороговыми значениями. Фазовый множитель, появляющийся за счет парал­ лельного переноса объекта, приводит к дополнительно­ му наклону сигнальной компоненты корреляционного поля. Изменение угла в спектральной плоскости вызы­ вает изменение координат в выходной плоскости. Таким образом, положение корреляционной функции повторяет

положение объекта на входе.

Как уже отмечалось (§ 7), при повороте изображе­ ния объекта на произвольный фиксированный угол его спектр поворачивается на такой же угол. Поскольку спектр эталона в частотной плоскости остается непо­ движным, поворот спектра объекта приводит к умень-

105

шеншо пикового значения корреляционной функции. Характер изменения корреляционной функции будет зависеть от структуры спектра. Зависимость пикового значения корреляционной функции от угла поворота в общем случае определяется детальностью изображе­ ния и характером его симметрии. Мейес выраженный характер зависимости часто объясняется заметной сим­ метрией вращения в спектре объекта.

Для устранения неопределенности, связанной со слу­ чайной ориентацией объекта в поле зрения, необходимо производить вращение изображения. Это приводит к не­ которому усложнению оптической системы, так как результат корреляции входного распределения и этало­ на воспроизводится в одном из дифрагированных по­ рядков. При вращении изображения корреляционное поле тоже перемещается относительно фотоэлектриче­ ского детектора, анализирующего распределения ярко­ сти в нем. Чтобы исключить этот нежелательный эффект, в спектральную плоскость можно ввести призму с углом отклонения равным углу дифракции, обусловленному несущей частотой. Световой поток, формирующий кор­ реляционное поле, при этом становится параллельным оптической оси и не перемещается при вращении изо­ бражения.

Поворот изображения может осуществляться с по­ мощью вращающейся призмы Дове. Во избежание по­ явления астигматизма и комы может также использо­ ваться система призм, известная под названием призмы Пехана [Л. 58].

Существуют некоторые задачи автоматического ана­ лиза мнкрообъектов, в которых информативными при­ знаками при разделении объектов на классы являются лишь размеры объекта при некоторой устойчивости остальных морфологических признаков. В такой поста­ новке неопределенность структуры объекта сводится к неопределенности масштаба, кроме уже рассматри­ вавшейся неопределенности положения и ориентации. Речь идет об обнаружении объекта, известного с точ­ ностью до ориентации, положения и изменения масшта­ ба. К таким задачам можно отнести, например, эрптрометрпю.

Уже говорилось, что анализ форменных элементов крови, в частности эритроцитов, имеет большую диагно­ стическую ценность.

106

Для обсуждаемой проблемы весьма важно то, что форма эритроцитов достаточно устойчива. Например, показатель эллиптичности, определяемой как отношение

Решение задач, в которых исследованию подлежит изменение размеров при относительной устойчивости формы, может быть выполнено методами двумерной согласованной фильтрации. При этом должны исполь­ зоваться оптические системы, осуществляющие преобра­

Рис. 28. Система согласованном фильтрации, осуществляю­ щая преобразование Фурье с переменным масштабом. (Масштаб преобразования определяется переменной /а=

= !/£*•)

Если освещать входную плоскость непараллельным пучком света, то модифицировав систему рис. 24, мож­ но выполнить преобразование Фурье с переменным масштабом [Л. 8]. Оптическая система, реализующая такую операцию, может быть синтезирована способом, указанным на рис. 28. Фактически предметная плоскость препарата оказывается перенесенной из передней фо­ кальной плоскости линзы Лз в плоскость, находящуюся справа от линзы. При этом в ее задней фокальной пло­ скости Пл2 появляется распределение, по-прежнему описываемое преобразованием Фурье от входных дан­ ных:

ОО

5 К , соу) = j j / (л% у) exp [— jkL (х'х + у’у)] dx dy. (182)

—ОО

107

Заметим, что преобразование Фурье осуществляется теперь по переменной /2= 1 /L2, а не по параметру / = = 1/F, как в системе, 'изображенной па рис. 24:

00

sк, а>у) = Jf f (X, у) exp [—jkf (х'х-\-у'у)\ dxdy. (183)

— 00

Меняя /2, можно изменять масштаб преобразования Фурье функции f(x, у). Указанные соотношения будут справедливы только при условии, что f (х, у) целиком умещается в пучке света. Это определяет минимальную величину L2.

При фильтрации в плоскости Пл2 устанавливается согласованный фильтр с коэффициентом передачи И (ах, Шу). Условием того, что распределение в плоско­ сти Пл3 является преобразованием Фурье от произве­ дения 5(co.v, <в„)Я (ы.г, ыу), существующего в плоскости Пл-i, будет выполнение равенства

___ !___ + J L = _ L

где Fo — фокусное расстояние линзы Jh,. Эго равенство представляет собой условие отображения плоскости Пл\ на плоскость Пл3. В плоскости Пл3, таким образом, всегда существует сфокусированное изображение от­ фильтрованного входного сигнала. Поэтому для подбо­ ра масштаба в системе на рис. 28 нужно перемещать одновременно плоскость Пл\, линзу JhLп плоскость Пл3.

Отметим некоторые дополнительные возможности при формиро­ вании согласованных фильтров. Так, для увеличения интенсивности прошедшего сквозь фильтр потока, формирующего корреляционную функцию, могут использоваться фазовые голограммы Фурье [Л . 84]. Отбеливание в специальных составах, растворяющих металлическое серебро фотографической эмульсин [Л. 117], приводит к полному отсутствию ослабления светового потока в плоскости фильтра. Од­ нако вследствие сохранения в эмульсин рельефа интерференцион­ ной структуры, модулированной теперь только по фазе, фильтр попрежнему формирует распределения, соответствующие центральному порядку, свертке и корреляции (177) только большей интенсивности. Процесс отбеливания, правда, может несколько деформировать рельеф, что приводит к увеличению уровня шумов [Л . 84].

Несомненный интерес представляют системы согласованной дву­ мерной фильтрации, минующие процесс фотографической обработки

1Q8

Фурье выполняется электронным путем с помощью анализатора спектра. К трудностям практической реализации подобной системы, ограничивающим ее применение, следует отнести необходимость обеспечения широкой полосы частот электрического тракта, (порядка

20 М Гц ).

Реализация фильтра, осуществляющего фильтрацию но критерию минимума среднеквадратичной ошибки, также возможна когерентнооптнческнмн методами [Л. 79]. Коэффициент передачи такого фильтра можно записать в форме

где Ssr представляет взаимную спектральную плот­ ность, a SYy, Sss, Snn— спектральные плотности. В слу­ чае отсутствия корреляции между объектом п фоном выражение (185) становится идентичным выражению (81) (справедливому для системы с неограниченной по­ лосой). Знаменатель выражения (185) является дейст­ вительной функцией п может быть получен экспониро­ ванием фотопластинки в Фурье-плоскостп когерентной оптической системы, когда во входную плоскость после­ довательно вводятся изображения объектов и шума.

Числитель выражения (185) в общем случае явля­ ется комплексной величиной. Он может быть реализован последовательным выполнением следующих операций. Вначале формируется голограмма Фурье незашумленного изображения объекта, для чего его спектр 5 фиксируется на фотопластинке совместно с внеосевым эталонным пучком А

Далее, подавая на вход совокупность изображения объекта п шума и используя зарегистрированную функ­ цию (186) как пространственный фильтр, получим:

(S + N) (|S|2-b|/l|2 + S/l* + S*/l) =

= {(\S\*+\A\*)(S + N)} + {A*(SS + NS)} +

Первый член выражения (187) после обратного пре­ образования Фурье соответствует распределению ампли­ туд на осп оптической системы, а второй и третий чле­ ны— внеосевым распределением на несущих А* и А. Блокируя первые два члена выражения (187), что мож-

109