книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

г д е

К (х) — W h (X, 0) — {СріоІСро {x)) X

(2.39)

Так как s в представлении для wi2 может быть взято поло­ жительным, то из представления (2.38) с помощью интег­ рала Дюамеля (при ѵ = 0, у = 0) имеем

— OO

47

из которой непосредственно вытекает устойчивость звена от

где функции fa (g, X, р) (а = п, G) регулярны на бесконеч­ ности; оригиналы этих функций могут быть представлены в виде, аналогичном (2.38):

Фа (s, X, t) = fa Q, X, oo) 8 (i) 4- [ka (I, x)/ra (g, x)) X

Xexp [ — tlta(g, x)] г] (/) -f фа2 (£, X, 0 (a = я, G), (2.43)

где

fn (І. X, oo) = 0 ; fG(£, X, oo) = ~(0,2/T6) X

X(cp0 №)/cPo (x)) exp ф1/Гб) $ И £ )/с(0] dT0(£)

X

exp [(1IT6)) J [a(t)/c (OJ dT0(0 — 0,2 l

48

Из (2.40) и (2.44) имеем оценку для реакции ft (х, t) на про­ извольное воздействие ѵ (і) или у (t), ограниченное по модулю константой F:

| f t ( x , О К Л Я М х , oo)| + F { l —

Из оценки (2.45) вытекает устойчивость звеньев передачи от

49

§ 4. Динамика твэла и теплоносителя «в большом»

Уравнения, методика изучения, общие соображения. Для изучения динамики твэла «в большом» необходимо вос­ пользоваться исходной нелинейной системой динамических уравнений

(Ст MJL) {дТт(X, t)!dt) = q (X, t) - «П [Гт (*, t) —

CG (0 (дТ (X, і)/дх) = аП [Тт(х, t)— T (х, t)].

Член в первом уравнении (2.46), учитывающий тепло­ проводность по длине твэла, вообще говоря, малый при номинальном режиме, может оказаться существенным при режимах малой мощности, например при предварительном разогреве.

Эта система уравнений должна быть дополнена началь­ ными и граничными условиями, отражающими начальное распределение температур по длине реактора, изменение входной температуры во времени и условия теплоотдачи

вторцевых точках твэла реактора:

Т(х,0) = Тн (х)-

Система уравнений (2.46) нелинейна, в силу того что ее коэффициенты явно зависят от температуры и от расхода:

(2.48)

Коэффициенты в выражении для а зависят от многих факторов [9, 10]: конфигурации канала, скорости течения газа, уровня температур, вязкости рабочего тела и пр.

50

Наиболее простое выражение для а в случае течения газа в цилиндрическом канале с большой скоростью [9]:

Достаточно хорошие результаты дает и выражение для а в виде

В этих уравнениях расход рабочего тела — величина за­ даваемая, зависящая от работы тракта подачи рабочего тела и соплового аппарата двигателя. Если пренебречь накоплением массы газа в твэлах и в предсопловой камере, предположить адиабатичность процесса истечения газа, то можно считать, что расход рабочего тела пропорционален давлению на входе в реактор и обратно пропорционален корню квадратному из температуры газа на выходе твэлов:

рабочим режимом двигателя.

Исходя из теоретических соображений, А можно пред­ ставить в виде

приведенная к выходному концу твэла; Sc — площадь кри­ тического сечения сопла; SBbIX — выходное сечение твэлов; g — ускорение силы тяжести; R — универсальная газовая постоянная. При выводе этого соотношения пренебрегали инерционностью газа в камере перед соплом.

Таким образом, для описания динамики твэла получили систему двух уравнений с частотными производными (2.46), граничными условиями (2.47) и одно уравнение для опре­ деления расхода (2.51). Величинами, заданными в этих урав­ нениях, являются плотность тепловыделения q (х, і) и давление газа на входе в твэл р ѵ Граничные условия опре­ деляют начальное распределение температур и температуру теплоносителя на входе в твэл. Решение такой системы урав­ нений проще всего получить численными методами с ис­ пользованием ЦВМ.

51

Пользуясь тем или иным численным методом, получим набор частных решений, определяемых начальными усло­ виями [температурами Т (х, 0)], уровнем входной темпера­ туры Т (0, t) и характером ее изменения, а также характе­ ром изменения тепловыделения q (х, t) и входного давле­ ния (рх). Такой набор решений может быть достаточно полным, т. е. исчерпывать все интересные для практики случаи поведения системы: динамику твэла на рабочем режиме, пуск и останов двигателя. Однако при этом возни­ кает определенная неудовлетворенность. Исследователю и конструктору хотелось бы иметь некие обобщенные дина­ мические характеристики системы. Такие характеристики можно получить, сравнивая переходные процессы в изу­ чаемой системе при определенных воздействиях с переход­ ными процессами в стандартных динамических звеньях типа апериодического звена, интегрального звена и т. п. Если удается с достаточной точностью провести такую аппрок­ симацию, то можно характеризовать динамические свойства изучаемой системы через динамические характеристики аппроксимирующих звеньев (постоянные времени, коэф­ фициенты усиления и т. п.).

Таким образом, исследование динамики твэла «в боль­ шом» складывается из двух этапов: получения достаточно широкого набора частных решений численными методами на ЦВМ и аппроксимации полученных частных решений простыми динамическими звеньями.

Конечно-разностные уравнения. Для использования численных методов систему уравнений (2.46—2.51) необ­ ходимо представить в конечно-разностном виде. Для этого в данном довольно простом случае достаточно производные заменить конечно-разностными отношениями:

Соответствующим образом изменятся и граничные условия:

^s (TTitt — 7’т2.г)/Ал:= ccF (Тт1 t— ТтЛ); 1

ks (TtW- i ,(— TrN't)/Ax-=— <xF(TjN,t— TN11),)

52

где N — число расчетных точек по длине твэла. Остальные уравнения системы не изменятся.

Существует много методов численного решения конеч­ но-разностных уравнений на ЦВМ [11—13]. Их можно разделить на прямые и непрямые. Сущность прямых методов состоит в том, что по рассчитанным значениям переменных на предыдущем шаге определяются значения на последую­ щем шаге. И так шаг за шагом получается решение для всего поля. Прямые методы могут быть применены не для всех систем уравнений, а только для тех, которые не критичны к накоплению погрешностей округления и аппроксимации, например к уравнениям параболического типа. Другое

состоит в том, что приращение переменных за шаг интегри­ рования не должно превышать значение разностей пере­ менных в предыдущем шаге, из которых извлекалась ин­ формация для расчета приращения. Непрямые методы сво­ бодны от последнего ограничения. Поэтому шаг интегри­ рования в них не ограничен (или ограничен требованиями точности расчета), что является существенным источником экономии машинного времени. Однако непрямые методы связаны с решением системы конечно-разностных уравнений сразу для всего поля, что при большом количестве расчет­ ных точек приводит к значительному увеличению количест­ ва операций на каждом шаге интегрирования. Таким обра­ зом, сокращая количество шагов интегрирования, непря­ мые методы увеличивают время расчета каждого шага. По­ этому вопрос о предпочтительности того или иного метода следует решать конкретно, исходя из условий задачи. В настоящем исследовании предпочтение отдано прямому сеточному методу счета, так как он позволяет лучше от­ тенить физическую сторону изучаемых явлений. Примени­ тельно к такому методу в уравнениях (2.53) нужно явно выразить последующие величины через предыдущие:

53

Условия устойчивости счета, о которых говорилось выше, ограничивают шаги интегрирования по длине и по времени соотношениями [ 14 J

На практике шаги интегрирования берут в несколько раз

ний динамики твэла представлена на рис. 2.15. Программа реализует два цикла: интегрирования по х (длине твэла) от х = 0 д о х = С и интегрирования по времени изучаемого процесса от t = 0 до t = /макс. Выбор шага интегрирова­ ния At производится из условий устойчивости (2.56). Вход­ ные воздействия — входное давление теплоносителя р г (/) и уровень тепловыделения q (х, /). Поскольку правые части уравнений (2.55) определяют по-разному для внутренних точек поля и для граничных, то в программе должны пре­ дусматриваться три параллельные ветви расчета правых частей, а также логика выбора соответствующей ветви. При интегрировании по х величина расхода G (/), рассчи­ тываемая по уравнению (2.51), в пределах каждого проме­ жутка времени At остается фиксированной. Блоки ввода данных и обработки результатов расчета стандартные.

Поле т е м п е р а т у р . Распределение температур в твэле типичного ЯРД в стационарном состоянии и деформация его во время переходного процесса, рассчитанные для экспериментального ЯРД малой мощности, представлены на рис. 2.16. Как видно из этого рисунка, в стационарном со­ стоянии ЯРД температура стенки твэла 7 \ и температура рабочего тела Т монотонно возрастают в направлении от входа в твэл к выходу из него. Разность температур стенки

т. е. определяются конструктивными характеристиками двигателя: тепловыделением q(x), теплоемкостью потока

54

^ Начало ^

Оформление промежуточных результатов

Оформление окончательных

Конец ^

результатов

Рис. 2.15. Схема программы расчета уравнений динамики твэла на ЦВМ.

Рис. 2.16. Изменение во времени распределения температуры при смене режимов.

56