книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

нейтронно-кинетических процессов требует отдельного рас­ смотрения. Ниже при исследовании процессов запуска дви­ гателя для распределенного описания нейтронно-кинети­ ческих процессов будет, однако, использоваться система (2.3), (2.4). При сосредоточенном описании нейтронно­ кинетических процессов с помощью системы (2.3), (2.4) величина отклонений плотности нейтронов не ограничена.

Skу

ß

Рис. 2.1. Структурная схема динамики нейтронно-кинетических про­ цессов:

1 — сумматор; 2 — умножитель.

Однако значение реактивности не должно быть слишком большим (состояние реактора должно быть близко к кри­ тическому).

Для исследования динамики ЯРД удобно пользоваться уравнениями кинетики в относительных отклонениях

динамическую систему, описываемую уравнениями (2.5),

27

29

§ 2. Уравнения динамики твэла и теплоносителя

Тепловыделяющий элемент ЯРД упрощенно можно пред­ ставить (рис. 2.4) в виде набора урап-графитовых блоков /, окруженных замедлителем 3. Блоки пронизаны большим количеством каналов 2, по которым движется теплоноси­ тель (рабочее тело). Нагрев последнего осуществляется за счет тепла, выделяющегося в уран-графитовых блоках при делении ядер урана. Режим движения теплоносителя турбулентный [5].

Динамика теплоносителя и твэла описывается следую­ щей системой дифференциальных уравнений в векторной

сил тяготения. Первые три уравнения системы (2.10) —

стояния теплоносителя, пятое относится к уран-графитовой смеси и описывает баланс тепла. Для однозначности реше­ ния система (2.10) должна быть дополнена соответствую­ щими начальными и граничными условиями.

30

Система уравнений (2.10) дает описание процессов в каж­ дой точке области, занимаемой теплоносителем и твэлом. Непосредственное применение этой системы для исследова­ ния динамики твэлов и теплоносителя связано с исклю­ чительно серьезными трудностями. В этом случае большое значение приобретают вопросы упрощения исходной систе­

дольном направлении. Во-вторых, возможность упроще­ ния зависит от степени детальности математического опи­ сания.

Рассмотрим сначала упрощения, связанные с деталь­ ностью описания. При исследовании динамики и вопросов управления ЯРД нас будет интересовать диапазон относи­ тельно низких частот (примерно до 50 гц), соответствующий возможностям средств управления. Возможность упроще­ ния связана с соотношением между верхней границей за­

соответственно характерные транспортная и звуковая ско­ рости в теплоносителе; L — длина твэла. Если выполняется условие

31

то все процессы в теплоносителе можно считать квазистационарными, т. е. в первых трех уравнениях системы (2.10) можно отбросить частные производные по времени.

изменяющимися квазистационарно. Так как при этом также fm С /т> т0 квазистационарно изменяющейся можно счи­ тать и температуру, распространение которой связано с транспортным запаздыванием. Условие (2.11) в теплоно­ сителе выполняется очень хорошо*.

Дальнейшие упрощения, связанные с детальностью опи­

Малость этих членов можно установить с помощью оценок по порядку величин.

После упрощений получаем следующую систему урав­ нений для описания процессов в теплоносителе и твэле:

рт ст (dTJdt) ■--- kn рт + div (Аг grad Тт);

К =К С О -

Имея, однако, в виду проведение в дальнейшем некото­ рых аналитических оценок роли производных д/dt и воз­ можность использования получаемой здесь математической модели для описания других элементов двигателя, где некоторые dldt отбрасывать нельзя, будем все же исходить

32

Переход к одномерному описанию может быть осуществ­ лен либо феноменологически (исходя из понимания сути происходящих явлений сразу можно дать описание по средним величинам), либо формально. В том и другом слу­ чаях конечный результат получается одинаковым, но формальный путь имеет то преимущество, что позволяет проследить связь вводимых средних величин с локальными величинами, входящими в уравнения исходной системы.

Процедура формального перехода к одномерным урав­ нениям и некоторые дополнительные соображения изложе­ ны в приложении 1. Ниже приведена одномерная система уравнений, полученная таким путем из системы (2.13):

S {dp! dt) -[- (dGIdz) =- 0;

dG/dt + d(GV)ldz= —S {dp/dz)~l1GV;

(2.14)

S TpTcT (dTJdf) -- knpT S v— Па (Тт— T);

G = pSV-, p = pRT;

R — R (T, p); ср = ср{Т,р)- а — а (T, G),

где G — расход теплоносителя; S — общая площадь сече­ ния каналов для теплоносителя; S T — площадь сечения твэла, — приведенный коэффициент гидравлического

сопротивления • ( | г = т/ (4 ^5 ), где £ — коэффициент гидравлического сопротивления), П — параметр; а — коэф­ фициент теплопередачи. Индекс осреднения в системе

(2.14) опущен.

Одномерная система уравнений, соответствующая си­ стеме (2.12), получается из системы (2.14) отбрасыванием всех частных производных по времени в уравнениях тепло­ носителя.

Иногда систему (2.14) целесообразно использовать в не­ сколько иной форме, введя понятие импульса. Для этого, пользуясь известным выражением для импульса

преобразуем уравнение движения в системе (2.14). Диф­ ференцируя (2.15) по г и складывая полученное выражение с уравнением движения, имеем

Заменяя в системе (2.14) уравнение движения уравне­ нием (2.16) и добавляя для полноты системы соотношение (2.15), получаем вместо (2.14) следующую систему урав­ нений:

5 (ЗрIdt) + 3G/dz = 0;

dGldt + d£fldz = — ^GV;

^ r ( f + v f ) = n « ( T , - T y ,

(2.17)

S r pTcT (dTyldt) = knpTST— Па (Тт— T); p = pRT\ G = pSV; Cf = GV + Sp-,

R = R (T, p); cp = cp (T, p); а = а (7\ G).

Особенно существенно система (2.17) упрощается, когда оправдано квазистационарное описание теплоносителя и последний можно считать совершенным газом. В этом слу­ чае, используя известные соотношения [6]:

Вспоминая затем [6], что 3 ~ р* Sf (X), где р* — давление торможения; f (X) — известная газодинамическая функция, и, учитывая, что при малых Я можно принять / (X) = 1, вместо (2.18) получаем уравнение

Газодинамическая функция X/z (X), входящая в А, при малых X может быть аппроксимирована выражением

где q (X) — газодинамическая функция, которую можно выразить через параметры торможения, пользуясь изве­ стным соотношением

34

где т — величина, характеризующая теплоноситель и за­ висящая от k и R. Учитывая соотношения (2.20) и (2.21), из (2.18) получаем следующую форму уравнения движения:

циент. Заметим, что в уравнении (2.22) скорость оказа­ лась исключенной. Учитывая далее, что при малых к мож­

STрт ст (dTT/dt)=knpTST— Па (Гт— Т*).

Вследствие малости к параметры торможения р*, Т* могут

быть заменены в системе (2.23) статическими параметрами

Р, т.

В заключение отметим, что системы уравнений (2.14), (2.17), (2.23) могут быть с некоторыми изменениями при­ менены для описания процессов в других элементах кон­ струкции реактора (замедлитель, корпус твэла и т. д.).

§ 3. Динамика системы твэл — теплоноситель вблизи номинального режима

жима будем изучать, линеаризуя одномерные уравнения, полученные в § 2, и составляя выражения для частотных характеристик реакций выходных координат твэла на входные воздействия. При линеаризации будем исходить из уравнений (2.17), внося в них следующие дополнитель­ ные упрощения:

1) пренебрежем членами с производными по t в урав­ нениях динамики теплоносителя; это соответствует предпо­ ложению о быстром в сравнении с тепловыми процессами затухании газодинамических процессов (некоторые асим­ птотические свойства этих процессов изучаются в при­ ложении 2);

2) пренебрежем кинетической энергией теплоносителя в сравнении с его энтальпией;

3)зависимость коэффициента теплоотдачи а от расхода

итемпературы теплоносителя примем (согласно работе [7]) имеющей вид

(ср, К и р считаем зависящими лишь от температуры тепло­ носителя);

4) будем пренебрегать изменением в динамике геомет­ рических размеров и плотности твэла, а также коэффициен­ та kn в выражении для тепловыделения: q = £n«pTS T; 5) скорость потока теплоносителя на номинальном ре­ жиме будем считать меньшей изотермической скорости

звука [8].

Передаточные функции теплоносителя. Упрощения 1 и 2 позволяют решать уравнения нагрева твэла и теплоносите­ ля независимо от остальных уравнений, входящих в (2.17). Линеаризация этих уравнений дает

(2.25)

где Ф = Д777’б; # т = А 7\/Т б — отклонения температур соответственно теплоносителя и твэла, отнесенные к не­ которому постоянному значению Тб; ѵ = Аq/q0\ у = АG'G0— относительные отклонения соответственно тепловыделения и расхода теплоносителя (согласно предположениям 1 и 4, они не зависят от х)\ Ѳ— перепад температур между твэлом и теплоносителем; индекс «О» означает «на номинальном режиме».

При получении (2.25) использованы соотношения для

36