книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

M

1 +

М

b.o--

-M+ dkTr

I 4~ kj

1 -M a

(1 + М ) ( 1

+ k i ) » ^i2— kTr

з

Р

ехр ( — qa X

jmdУ

ѵо

^ и° — '

Dip) А

Д ,

X {

/ (р)

ехр

{qax—qi I)

2

Уь (°> Р)

х

*= 2,3

ехр

Р

К х + У у 1~

Яг /)

L

(п-212)

X 2

Ѵ^а

«2ѵ^

где

w

D

-

2

(С, Ь-у )

ехр

{Чу — Яг) I

L

щ

ѵ=і б?ѵ (<?ѵ

_<7б')

{c ’ b y ) =

2

° i b i r

У г ( ° ’

p ) =

T)i(p);

г/з(0, p) =

ij(p).

г

=

1

n(l, t) = ne (t),

(П.2.13)

__ 1_

~ d k T (1

ki)

(П.2.14)

1

—м2|

(1 + d k T r) (1 -ф£т) ,

(c, b' ,)-=0; (c,

1-ф-М

1 -f-M + dkT r

0;

b.2) = kT — 1---- •

—------------ — <

1—M

(1 —M2)2 ^

1—M

1—M-±dkTr

( c ,b . 3) = - k

< 0.

1+M

(1—M2)2

D(p) =

kM 1 -ф- М -ф- dkт г

(1-- а Ь е ~ рх), (П.2.15)

~ 2

1—М

где

1 — М

1 — М + dkT 1

» т = т+ 4^т_;

' 1 + М

1 -ф-М -ф-dkT г

т± - -

1

М

/

ао ± Ѵ0 ~ Т° 1 ± м ’

То

Со ’

Y (•*>

Р) =

Т (0, p)4-d

,

,

—

Рх

ф —

1 —ехр

----

Ѵо / J

Ч (X,

р) = ехр

—

) т|г + г

1 — ехр

— рх

(П.2.18)

Ч<

I

рх

ѵ0

I (X,

р)=

lj,

где у (0,

р)

произвольно. (П.2.18)

— решение задачи Коши

для

системы

(П.2.16),

поэтому при М =

0

величины у (0) = у*,

J)i, i{

можно

считать взаимно независимыми

внешними

воздействиями

(из класса

R).

при малых

М > 0

и системы

(П.2.16)

на воздействия щ, и,

ne CR, а также на воздействие і;

= ле (т. е.

поведение этих коорди­

нат при г\і =

0, Iг =

ле). Сравнение будет

проводиться для каж­

одноили

двукратной

первообразной — соответственно

g

или k

t

t

(g (0

=

lh

(и) du, k (t) =

j g (u) du).

Сходимость

будет

рассмат-

o

о

оо ) функций ограниченной вариа­

риваться в пространстве

V [0,

ции

на

[0,

оо ) или

в пространстве

L\ [0,

оо )

функций

г

вида

z(t) =

cs (t) + ф (t) [где s (0 = 0 при t<0 и 1

ОО

при / >

0, j

| ф (t)| Л <

оо

о

< оо

]

с

нормой

II г К с =

max

(

|с |, j

| ф (t)

\

dt0).

Это

даст

возможность судить о наличии и

о

реакций

характере сходимости

системы по соответствующему

каналу на произвольные воздействия

из некоторого фиксированного

класса функций от t. Действитель­

из R,

каждая

из

которых является і-кратной первообразной от

некоторой

функции

из R

и

имеет

і-ю

и (г — 1)-ю

производные

ограниченными

по модулю

(общими

для

класса Ф;

константами).

Тогда [2] сходимость переходных функций в пространстве V [0, оо ),

( Щ о ,

оо ))

эквивалентна

сходимости

реакций звена

на любое

воздействие из класса F (Фі), равномерной по / и по классу F(Фх)**.

Сходимость же

функций g (k)

в L[ [0, оо ) эквивалентна сходимости

*

При

фиксированных

k,

г, ѵ0 это

соответствует

R0T0-> со и

оо.

**

Для переходных функций из класса N (см. замечание).

реакций звена на любое воздействие

из класса Ф2 (Ф3),

равномер­

ной ио / и по классу Ф2 (Ф3).

'1;,

Ниже будем обозначать передаточные функции от воздействий

ч, пе к величинам

у (х),

г| (х),

і (х) через W

(х,

р),

а соот­

ветствующие

им переходные

функции — через hjk

(х,

t)

(/ = G,

i,

I; k - - i, I, p).

(х) и

і (х):

Каналы от г); к г]

Wu ( X , р) =

Do (Р) { (l+ M )e <-

p'c»JC) [ 1 - а 2 е(-Р т)] +

+ dkT ге^~рх+х> [1—ае~~р ^т—тж)]}

1

-фМ -ф dkT г

1

WJ i (x, р) =

dkт

ку (1 +М)

{■

-рх.ox X

Do (р) 1

М -}■ dkT г

(П.2.19)

X (і —а2 е~" р%) +

e“

pXjtx [1 —а2 е ~ р ^т“ тх^ ]};

hii

{Х’ t} =

1 + М

+ dkTr {(1+М )А- 2

Т'Ох) +

+ dkTr[h0 (t—т+ж) —ah0(t—т —т_ж)]};

A д ^ (-Хі 0 — d k ’p У.у

1 + М

[

ha2 (t — т0х) +

Игг (х) =

(Лгі (х) —А [ехр (—т0х Р)\) <

„ „ /

2М

1 - М

\

(П.2.20)

<dkMr --------------

-—

+ - -----------

—И),

\ 1

-Ф М -ф dk^ г

2 -ф dk>г т Iм-> о

UСП = С/Г

М ) <

(1 + М) KCf

2 + dkTr

М^о’

где

— вариация

на [0, оо ). Отсюда [3]

вытекает

сходимость

при М 0 реакции 1) (х) и і (х) на тф из F (равномерная по і и

классу

F).

Каналы от ц и л е к г)

(х) :

W . л. (ж, р )

=

--------------

е

0ж (і — ае

рт) +

К у Df,

( р)

+ e-

pT+*[l _ а е ~ р (т- т-)])

1

1 -j- Ai -j- d k ^ г

№'іг>(*,

Р )

1

-2Ме“ р (т»*+т-)

1

+

1 + М + dkT г

Do (р) L

. [

+

е ~ Р (х- ~ Т-х) (і — be~ ртж)

1 + М’

(П.2.21)

кШ (хЛ)~

у

— Аа (^ — ^ож) +

i +M + dÄT

2М

1 + м hf> ( t —т + т_ж) + Ах (( — т+ж, т — тж)

h i p (ж, t )

ХрГ

2М

h i ( t — т+ж—т_,

]

+М | 1 -)- М+ dftx г

Тож— "Г+ж) + Лі (£ — т_ +

т_ж, T*)j,

где hi (t,

Ѳ) =

h0 (0

— h0 (t — Ѳ),

xp =

(1 -

M2/l

+

ft,).

Функция

(^, Ѳ) (0<

Ѳ< x), a

с нею и функции

Ajk (x, t)

(k = J , p)

имеют нормы (в пространстве V [0, оо )

по і),

неограни­

действия

i j , ле и

=

я е из класса

f

могут

нарастать неограни­

ченно [при М —> 0

и ж £ (0, /)].

Для ж =

I функции А;ь (ж, О (А =

«7, р) имеют уже ограничен­

ные по М нормы (так

как Ах (t — т+

, 0) =

0 и Ах (/, т) = (ab)n,

где

п =

[tlx]). Однако

сходимости

при М

0 в

пространстве

V [0,

оо )

у них нет. Действительно,

для каждой пары из множест­

ва

функций

А„ (t — т0) — s(t — т0),

А0 (t

— т+),

А0 (0 — s (t),

h0 (t — т0 — т_ ),

соответствующих

одному

и тому

же значению

u0

{hf j

(0 — h\ j (0) =

'-

1

(1+Mg+dftMg/-)

к[у) (l ф Mi +

dkb\\ г)

1

+

„■é,2

{i + Ma + d m a2 r) ^ №

- s) +

2M„

2r;

+ 1+M„ U% C

(0 -л < ‘) (0) =

г.

1 -М ,

1 4-ш ^ —

(П.2.22)

1—Мд,

1—м„

X

1 -f AM? —

а= і

1 + kMa 2

■ 2r;

X

2М,

1 +

Ма -ф-

где

, A ^ ,

(k =

J , p)

соответствуют

М= Ма>

Это означает отсутствие равномерной (по классу F) сходимости

при М-> 0 реакций г) (/)

на

воздействия ц-,

яе и ц = ле

из клас­

са

F.

при

Однако сходимость реакций имеет место для класса /='2 =

ф 1|"|ф2

X ф (0, I)

и для класса

Fx— Фд при

х = 1. Действительно,

Xs(t)

и [2М/(1 —ab)][ 1— (âb)Ufr)+i\ s((), поэтому функция

2МА0

сходится при М -S- 0 к

функции

( і — е— 2^ т*) s (t) (по

норме

пространства Z-i[0, оо)). Функция же ha сходится

по той же нор­

ме к функции (1/ 2) ( і +

е ~ 2^т») s (t).

Наконец,

значения функции

t

0

gi (t,

Ѳ)=

Г Лі (ы, Ѳ) du

заключены между --------

[1 — (аЬ)*?х] s (t)

и

•q

1 —ab

s(t)

Ѳ

t - Ѳ+ 1

функции

gy

(t, т — тх)

и

1 — (ab)

поэтому

gi (t , т ж)

п ри

M -» 0

с х о д я т е я

к ф у н к ц и я м

с о о т в е т с т в е н н о

——

( l— e~~2t^x°) s (t)

и

——

(l — e—2^ To) s (t)

(в

метрике

2

2

i f [0,

oo)).

образом [ см . ( П .2.21)],

при М

0

(0, I)

реак­

Таким

и х

£

ции Г| (X) на воздействия

і*

и пе из

класса

F2 сходятся

(равно­

мерно

по

t и

по

классу Р2)

к реакциям

звеньев с

передаточными

,

(То — Т0ж) р + 1 — (ТоР-фІ) ехр(— ртож)

функциями соответственно г

--------— --------

--------------------------------------

То Р + 2

■

То* Р + 1 — ехр (— рт0ж).

и г

Сумма

этих

реакции

сходится

т 0 р 4 2

т-

е.

к реакции звена с передаточной функцией л[1—ехр (—ртож)]>

к реакции ті (х) на воздействие

іі = ле в системе

(П.2.16).

Для величины т} (/) сходимость

реакции на

воздействия ц ,

ле

и I; =

Tig к реакциям

звеньев с передаточными

функциями

соответ-

ственно г

1 — ( То Р + О ехр ( — рт 0)

г

т0 р 4- 1 — ехр (— рт0)

и

-----------------------------------

ТоР+

2

;

------------------------------------

т0 рТ-2

г [1—ехр (— рт0)]

для более

имеет

место

широкого класса воздей­

ствий,

а

именно

Fx

(так

как

функция

/гх ((,

т)

находится

при

М -* 0

в метрике

пространства

Lx[0,

оо)

суммируемых на

[0, оо)

функций к функции ехр (—2//т0) s (t).

Каналы от і,

и

ле

к

і (л:):

W /уу

(х, р) —

М -|- £ІРТ г)

{dkT I

До (р) (1 4

X

(1 —

ае ~ рТ ) 4 ( 1 4 M )

е~рхіх[ I — а 3 е- Р < т — ' * > ] } ;

„„

,

,

Г

2MdÄTr

X

W л-

(х, р) ----------=

Do(p) -------------------------------------

L(1

4

M)(l

4

М 4 dkTr)

J P

"

X е -- р(Т°*+ т- ) 4 е- р(Т - Х- ) ( а - 6 е - рЧ

1

dkт rha (t—Тох) +

(П.2.23)

' l j j (х, t ) — ] Ң-М -f-dk^ г

4

(14М) А], (t = t+x, T— ■Tx) 4

4M

■h0 (t— t 4

t_x)

14M

hJ P(*• 0 =

= xp x^

2Mdky

{t

т- —, Tqx

^+x)

4

(1+M ) (1 +M + dky r)

+ ahi (t — t_ 4

t_x, Tx)j.

Используя указанные выше асимптотические свойства функций

2 МА„ (t), ha (t),

gt

(t, Tx) и

(t,

%— Tx),

из вида функций

(x,

t)

точными функциями

соответственно

(т0 — тож)

р + 2]/ [т0р + 2]

и (тохр)/ (т0р +

2). Сумма этих реакций сходится

к реакции звена

с

передаточной

функцией

1, т. е. к реакции і (х ) на воздействие

ij

= ле в системе (П.2.16).

Для величины і (/)

сходимость реакции

на воздействия

і;, ле и і; =

пе к реакциям

звеньев с передаточны­

ми функциями соответственно 2/ (т0р +

2),

т0р/

(т0р

-+- 2) и 1 имеет

место для класса воздействий Fr.

tj,

п е могут быть

Для класса же

F реакции і (х ) на

л е и

ц

=

сколь угодно большими при

(О, I) и ограничены, но не имеют рав­

номерной по F

сходимости

при X = I.

Действительно, для любого

е > 0 существуют пары значений Ма (^ (0, е)

(а =

1, 2), для которых

(/) -

htyy (/))

= dkr

Щ

1 +

M2-f d k r

Мi

2

1

X

1+ M i-f d m {

r

a= 1 l + M0+ dAM^

X

dmlru; (а«“)-*) +

4M,

( V )

—

>

;

o

m„->2

( 1 - M 2) 2

( 1 - M i ) 3

1+ Ж І

1+ ШІ

■

(П.2.24)

+ І

2Ma dkr

-

*kMi

\ + M a + dkM2 r V o K })-

<x= 1

+ 0 -

Ma) U0 №

-

S)

Ma^0

U~(

2

2

t y k V A -

Kk = J , p

k = J , p

I

=

2

( 0 - ^ >

(0 )—

►4.

k = J ,

p

Ma-0

Канал от т)г- к у (х)\

W g ‘ { x ’ p ) = i + m + і Ь { ш ~ Р Х + х {1 +

— (1 + М ) е ~ Р хох(1 —а2 е - р т ) } ;

hGi (х’ V = 1

+

м +

[М/!° (/_Т+х) +

+ вМЛ0

— Т + Т _Х) — (1

М) h a 2

— Тох)]-

Из

вида

hGi

(х, t)

следует

сходимость при

М

0

реакции

(d

----!-----— e px0 x\ (Так

как функция

ft сходится в метрике

V

r0p+2

1

Z.f [0, эо )

к функции s).

Реакция разности у (х) — у (0) при этом

сходится к реакции звена с передаточной

функцией d (1 — е

-рт

'1Х),

т.

е. к реакции по этому каналу системы (П.2.16).

1 + M2 +dftMf r

( l + Ml)(l+ ftM fr/2)

■VT

1-f- AMaf /2

1-pMi+dftMf г

+

Z

---------------- ~ X

a=

11+ Ma + rfftMaP

X Ma (i+ ««)^r M W

1 +M a) u? (ftS > -s)

(AoV (O)-ftoV (0)) = d

1 + AMf r/2

1 + M 2 + dftM|p

(П.2.26)

1 + AM?r/2

+ AM(W2

І+ЛД + dAMfp

+ a =2l I + Ма 4

-X

~ г

X ( / - ( f t ( « ) _ s)

ма-о

d;

([AcV W -A o V

H . )

W - A o V

(0)]) =

(0 )]-tfto V

r Gp(^, р) =(I —М)

-f М + dAT г Ао (^—т0х—х_)

_ _ L e - P ( T-

- Т-х) (i + b e - ^ x ) ] ;

(П.2.27)

AM

J

+

^ [Л° (t—x+x) + a h 0 (t—т + т _ ж)][,

,

^

,,

f2Mdrh0 (t—t 0x —T _)

' G p

(*• 0 = (1 -M )

----л , n , JU _

m

X

I.

l + tA + dkTr

X[h0 (t— t _ + T

- x) + bh0 (t—x+x —T _ ) ] | .

Из

(П.2.27)

видно,

что реакции у (х) на

воздействия і;, пе и

hGJ

(°’ ^ =

1 -р kт

dr [ha (t —xox) —ha (0] —

1 +М -\-dkTr

1

Ш Л2 (t, x+x, т _ ж, т —тж)

;

2Mdr

(П.2.28)

hGp (*,

t ) ~ h Gp (0, 0 = ( 1 - M ) { - 1 + M +

X

dkTr

X [h0 (t— т 0ж —1 _ )— h0 (t—t _ ) ]

—

2 (2 + d£T r)

т_ж)—

hx (t—т _ + т _ ж,

(1+M) (l+ M + d*Tr)

ab

h2 (t—t_ + т _ ж, т _ ж, т+ж, 0)

,

ш

где h2 (t, Ѳь Ѳ2, Ѳ) =

hx (t,

0!) —

К ( t - Q x-

Ѳ,

Ѳ2) (Ѳ{ > 0 , і =

= 1, 2; Ѳ> 0).

02

Функция hx (t , т_ж) имеет в Lx[0,

оо) ограниченную

при М-»0

норму Ьх (т_ж) =

тож

1 +

М -р dkT г

Р>ж .

Ее первообразная

2а

2

+ dkT г

м - >

о 4

gi{t, т _ ж) = J

(и , т _ ж)гі«при М->0 сходится по норме

простран-

о

ства Lj [0, эо) к функции s (() - ^ ( 1 —е~2/^х°).

К той же

функции

4