книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

нение не позволяет произвести дальнейшую замену диффе­

по координате ф необходимо задать четыре независимых краевых условия, такое же количество независимых кра­ евых условий необходимо задать по координате 2.

Предложенное преобразование системы дифференциаль­ ных уравнений в частных производных к нормальному виду позволяет определить не только число краевых усло­ вий, но и указать, на какие неизвестные величины (или их производные) должны быть даны эти условия. Краевые ус­ ловия необходимо задавать только на те неизвестные ве­ личины, которые входят под знак производной. Для си­

висима и на нее можно краевых условий не задавать) и кра­ евые условия по ф для г, р, Т, q.

Методы численных расчетов. Разнообразие схем маг­ нитогидродинамических компоновок не позволяет дать еди­ ный метод расчета динамических характеристик, при­ емлемый для всех случаев. В связи с этим последующий материал данного параграфа будет носить обзорный харак­ тер. Ограничения, которые в данном случае можно сделать, будут весьма общими. В первую очередь это относится к утверждению о существенно дозвуковом классе рассмат­ риваемых течений. В этом случае мы сталкиваемся с такой качественной характеристикой гидродинамической части системы уравнений, как эллиптичность. В отношении чис­ ленного расчета этот класс течений наиболее капризен

всмысле устойчивости счета.

Впредыдущей главе мы говорили или о существенной разрывности параметров течения, или о том, что в нем долж­ ны присутствовать резкие градиенты теплофизических пара­ метров, накладывающие свои особенности на применяемые аппроксимационные схемы. Кроме того, возможные по­ становки задач могут быть разной степени сложности. На­ пример, от описания течения по схеме полного магнито­ гидродинамического уравнения Навье — Стокса до схемы течения идеальной жидкости и даже просто до магнитогид­ ростатического описания; от описания процессов теплооб­ мена излучением по схеме кинетического уравнения для ин­ тенсивности излучения / ѵ до обычного уравнения тепло-

217

проводности. Разнообразие и богатство всевозможных спо­ собов численных методов расчета позволяет в данном случае кратко изложить только основные направления.

В настоящее время методы численных расчетов течений по схеме уравнений Навье — Стокса бурно развиваются. В обычной газовой динамике при этом рассматривается уравнение состояния совершенного газа

но обычно отсутствует тепловыделение. Однако отличие за­ дач, описывающих течение в реакторе, не вносит численных затруднений, поскольку зависимость теплофизических па­ раметров от давления слабая.

Это позволяет представить описание энергетических и гидродинамических процессов раздельно в виде двух крупных блоков, связанных между собой внешним ите­ рационным циклом (можно показать, что при М С 1 схо­ димость внешних итераций хорошая). Такое допущение о возможности внешних итераций резко облегчает задачу создания алгоритма расчета. Гидродинамическую часть системы уравнений в этом случае можно рассматривать отдельно от тепловой, так как она практически сводится к описанию течения с заданной распределенной плотностью. Такое описание течения должно иметь в отношении числен­ ного счета свойства, похожие на те, которые встречаются при расчетах течения несжимаемых жидкостей. Постоянна ли при этом плотность р или она является заданной и не из­ меняющейся в процессе работы гидродинамического блока функцией, существа дела не меняет.

Численные методы расчета течений вязкой несжимаемой жидкости разработаны достаточно подробно [27—36], во­ просы существования и единственности решений хорошо ос­ вещены в работе [31].

В этих методах в качестве исходных систем уравнений использованы уравнения трех типов [32].

1.Так называемая и\ ѵ; р-система, когда для представ­ ления в конечно-разностном виде в качестве исходных ис­ пользуются обычные уравнения неразрывности и количе­ ства движения.

2.(£ —ф)-Система, когда по уравнению неразрывности вводится функция тока ф, являющаяся одной из составля­ ющих векторного потенциала скорости. (В двумерном слу­ чае две остальные составляющие равны нулю.)

218

которое в случае вязкой жидкости будет уравнением 2-го порядка. Вводя внешние итерации между уравнением Гельмгольца и выражением для функции тока, можно по­ очередно, находя поля распределения ф и £, получить ре­ шение задачи.

3. Третье направление заключается в использовании в качестве исходного одного уравнения для ф

которое получается подстановкой выражения для вихря (5.104) в уравнение Гельмгольца. В случае вязкой жид­ кости это уравнение 4-го порядка.

Аппроксимационные схемы, которые применяются для решения задач при наличии всех трех типов исходных си­ стем уравнений, достаточно хорошо рассмотрены в обзоре [32], и нет необходимости повторять их рассмотрение.

У описаний течения по схеме с применением уравнений Навье — Стокса на заранее заданной и закрепленной сетке есть один общий недостаток, присущий всем аппроксима­ ционным схемам численных методов расчета. Уравнение Гельмгольца для двумерного плоского течения, в котором у вектора вихря имеется отличная от нуля нормальная к плоскости течения составляющая, выглядит в безразмер­ ном виде следующим образом:

В случае, когда граничные условия для вихря £ разрывны, при увеличении числа Re в жидкости появляется все более и более сужающаяся по размерам область (вихревая дорож­ ка), в которой Д£ растет. С одной стороны, это приводит к области с неопределенностями типа 0 • оо. Это объясняет отличие решения для идеальной жидкости от решения урав­ нения Навье — Стокса с исчезающей вязкостью (например,

219

при обтекании каверны). С другой стороны, при закреплен­ ном шаге сетки рано или поздно при достаточно больших числах Re размеры вихревой области становятся столь уз­ кими, что поведение функции £ не поддается численному описанию на столь грубой сетке. В результате, как правило, счет либо становится неустойчивым, либо дает неверное решение.

За последнее время появились схемы методов численного расчета уравнения Навье — Стокса с подвижными сетками [35]. В некоторых случаях совершаются попытки числен­ ного описания течения на конечном множестве точек, рас­ положенных в заданной односвязной области течения. Эти точки в зависимости от получаемого последовательными приближениями решения сгущаются в тех местах области, где требуется более подробное описание функции, и рас­ полагаются более редко в остальных местах [35]. По-види­ мому, эти методы более перспективны по сравнению с пре­ дыдущими и позволят продвинуться в область более высо­ ких чисел Re. Однако эти способы требуют более громозд­ ких схем аппроксимации уравнений, возникает сложность в определении способов перенумерации точек в области. Вопросы устойчивости счета могут осложняться не только аппроксимационными причинами, но и алгоритмом дефор­ мации координатной сетки или совокупности точек.

В случаях, когда гидродинамическая часть общей си­ стемы уравнений позволяет описывать течения по схеме идеальной жидкости, например На 1, возможно также применение всех трех типов исходных систем уравнений, как и в случае уравнения Навье — Стокса. Однако порядок системы уравнений в данном случае понижается на единицу. Возможно это приближение только в областях плавного из менения граничных условий для вектора вихря и в том слу­ чае, когда внутри течения нет источников вихреобразования, создающих особенности в виде одиночных вихрей и вихре­ вых дорожек. Наиболее проработанными численными спо­ собами получения решения в условиях взаимодействия по­ тока с магнитным полем являются те или иные модификации метода установления [28—30]. Ряд численных методов и ре­ зультатов расчетов, рассмотренных применительно к тече­ ниям проводящей среды в поперечном магнитном поле [17], может быть использован при составлении программ для рас­ чета тех фрагментов течения, где существенна поперечная составляющая вектора индукции. Методов расчета течений проводящей среды в продольном магнитном поле сравни-

220

тельно немного [26]. В них также используются внешние итерации между вихревой функцией течения £ и функцией гидродинамического тока ф. Однако большинство из них рассматривает течения, в которых плотность и проводимость либо постоянны, либо все теплофизические параметры те­ чения непрерывны. В случае бездиффузионного описания по схеме идеальной жидкости в области течения будет иметься линия разрыва теплофизических параметров. На­ иболее подходят для этого случая методы численного рас­ чета, изложенные в работах [33, 34]. Существо этих методов заключается в использовании так называемых лагранжевоэйлеровых систем координат. Сетка получается криволиней­ ной и состоит из линийф = const и X = const. Картина рас­ пределения радиусов линий тока от итерации к итерации корректируется после нахождения значений тангенсов уг­ лов их наклона к оси течения из решения системы гидро­ динамических уравнений. В этом способе также организован внешний итерационный цикл, однако не между вихревой функцией £ и функцией тока ф, а несколько иным способом, в котором результатом является построение новой сетки криволинейных координат (ф; х). Использование сетки кри­ волинейных координат (ф; х) уменьшает трудности, связан­ ные с поперечным прохождением линий разрыва парамет­ ров в процессе счета. В этом случае сами линии разрыва включаются в координатную сетку. Когда возможно при­ менение аппроксимационных схем, не использующих точек за пределами линий разрыва параметров (обычно это схемы первого порядка), вполне приемлемыми способами числен­ ного счета оказываются различные виды прогонки в соче­ тании с методами установления или с методами дробных шагов [28—30].

Одним из возможных методов расчета разрывного тече­ ния в тех случаях, когда отсутствуют возвратные потоки, является метод «потенциализации»*. Кратко сущность его заключается в следующем. Если рассматривается МГД-

С. С. Преображенский. Идея необходимости балансировки градиента давления высказана В. П. Жуковым.

221

с произвольно заданной плотностью, то в двумерном цилин­ дрическом случае можно непосредственно перейти к криво­ линейным координатам (if; х), вводя функцию тока по соот­ ношениям

или заменяя

можно получить новую безразмерную систему уравнений, разрешенную относительно градиентов давлений:

p У 2 s ( d s / d t f )

где St — число Стюарта; Fr — число Фруда.

222

Как видно, написанная система имеет третий порядок относительно я(ф, х) по координате л; и второй — по коорди­ нате я)) и требует постановки трех граничных условий по х и двух — по ф.

Применение координат (ф; х) автоматически включает линии разрыва параметров в координатную сетку. Приме­ няя аппроксимационные схемы первого порядка по ф и произвольного порядка по х, можно, задавшись перво­ начальной реализацией распределения площадей трубок тока 5°(ф; х), составить для каждой из точек сетки с индек­ сами (і j) элементарные контурные интегралы

В вычисление каждого из этих контурных интегралов вой­ дут сеточные значения функции по некоторой аппрок­ симационной зоне. Задача заключается в создании такого численного процесса, чтобы по мере коррекции распреде­ ления сеточных значений функции от итерации к ите­ рации вся совокупность интегралов J ц стремилась к нулю в каждой точке. Фактически это соответствует «потенциализации» правых частей уравнений количества движения. В пределе, когда вся совокупность J равна нулю, удов­ летворяется уравнение Гельмгольца для вихря скорости и данная реализация будет являться решением. Один из способов организации процесса потенциализации следую­

значений функций s*y, входящих в его аппроксимационную зону:

где m — число точек, входящих в аппроксимационную зону интеграла J по оси х.

Частные производные типа dJij/(dsi+m- ;) численно можно определить, варьируя отдельные значения si+m; ;-

223

(при постоянных значениях остальных) и рассчитывая при этом изменения интеграла A J ijtm. Проделав эту процедуру для всех внутренних точек и считая значения граничных величин Sij закрепленными граничными условиями, по­ лучим алгебраическую систему уравнений, которую следует

величину Л/;/- Разрешить эту систему алгебраических урав­ нений можно различными способами, например с помощью матричной прогонки или метода скорейшего спуска. Можно применить сочетание итерационной схемы типа Зейделя с методом Ньютона. При переходе от одной линии тока к другой находится совокупность корректирующих значений Аstj только для той линии, которая расположена между предыдущей и последующей реализациями, например для

последовательно в том или ином направлении. При этом нет необходимости численно определять частные произ­ водные dJij/dsi+m■/_ 1 и dJij/dsi+m. j-+1, а требуется опре­ деление только dJ ij/dsi+m; j. В этом случае для каждой из линий тока с номером / матрица алгебраической системы уравнений

Asi+m,;

тö s i + m; /

менее громоздка, чем общая матрица но всему полю значе­ ний Stj.

Численные методы расчета тепловой части задачи в случае диффузионного описания процесса переноса тепла в приближении лучистой теплопроводности хорошо из­ вестны [27—30]. В том случае когда осевыми тепловыми потоками пренебречь нельзя, хорошо «работают» методы типа продольно-поперечной прогонки, установления и дроб­ ных шагов. В том случае, когда осевыми тепловыми пото­ ками удается пренебречь, возможно сочетание метода сквоз­ ного счета по оси х с поперечной прогонкой. Нелинейность уравнения, заключенная в том, что теплофизические пара­ метры р; ср; 7Эф — функции температуры, легко устраняет­ ся, если брать их значения либо на предыдущем итерацион­ ном слое, либо применять итерации на данном слое или на данной координатной линии.

В том случае, когда постановка задачи требует описания процесса теплопроводности излучением в строгом кинети­

224

ческом приближении с применением уравнения для интен­ сивности излучения / ѵ, задача значительно осложняется. В настоящее время практически неизвестны приемлемые численные методы расчета течений с оптически тонкими средами.

Кроме изложенных методов численного расчета динами­ ки, учитывающих в том числе и нелинейные эффекты, воз­ можно применение методов, основанных на способе линеа­ ризации полной системы уравнений. В этом случае возмо­ жен операторный метод решения этих уравнений примени­ тельно к временной переменной 136]. Однако, как правило, для получения всей совокупности динамических харак­ теристик элемента не удается перейти к описанию его в сосредоточенных параметрах. Иногда требуется опреде­ ление пространственной картины течения. В этом случае операторные выражения решения получаются трансцен­ дентными и плохо поддаются обращению.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Мегреблиан Р., Холмс Д. Теория реакторов. Пер. с англ. М.> Госатомиздат, 1962, с. 435.

4.Mann Е. IRE Trans. Nucl. Sei., 1956, р. 3, 12.

5.Жуков В. П., Креер Р. И. Динамика нейтронно-кинетических процессов в реакторе с циркулирующим горючим.—«Атомная энергия», 1971, т. 31, вып. 2, с. 134.

6.Жуков В. П., Креер Р. И. Эквивалентные системы уравнений кинетики для реактора с циркулирующим горючим. —• «Атом­ ная энергия», 1971, т. 31, вып. 2, с. 134.

7.Shepherd L. R., Cleaver А . V. The Atomic Rocket-3. — J. Brit.

9.Бассард Р., Делауэр Р. Ядерные двигатели для самолетов и ракет. Пер. с англ. М., Воениздат, 1967, с. 11.

10.Кесси К. О., Гросс Р. А. Вихревой газовый ядерный ракетный двигатель с удержанием топлива при помощи МГД-вращения газа. — «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 8, с. 127.

11.Джонсон К. П. Ядерный ракетный двигатель с магнитогидро­ динамической закруткой газообразной активной зоны. — «Ракетная техника и космонавтика», 1966, № 4, с. 78.

12. Ромеро Ж. Б. Удержание топлива в газовом вихревом ЯРД с магнитогидродинамическим вращением газа. — «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 6, с. 152.

V.28, No. 9.

14.Мак-Лафферти Дж. X. Перспективные концепции ядерных ра­ кетных двигателей. — «Вопр. ракетн. техн.», 1968, №10, с. 25.

15.McLafferty G. Н. Gas-core nuclear rocket engine technology status. AIAA-paper, N 708, 1970.

16.McLafferty G. H. Absorption of thermal radiation in the tran­ sparent wall of a nuclear light bulb rocket engine. AIAA-paper,

N66—619, 1966.

17.Ватажин А . Б. и др. Магнитогидродинамические течения в ка­

налах. М., «Наука», 1970, с. 672.

18.Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М., Физматгиз, 1962, с. 248.

19.Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. Пер. с англ. М., Изд-во

V.12, No. 4, p. 321.

21.Кочин H. E., Кибель И. А., Розе H. В. Теоретическая гидро­ механика. М., Физматгиз, 1963, ч. 1, с. 584; ч. II, с. 728.

22.Бай Ши И. Динамика излучающего газа. Пер. с англ. М., «Мир», 1968, с. 323.

23.Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., «Наука», 1966, с. 624.

24. Гиршфельдер Дж. и др. Молекулярная теория газов и жидко­ стей. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1961, с. 929.

25.Buckmaster J. Inviscid Layers in Magneto-hydrodynamics. — Phys. Fluids, 1969, v. 12, No. 6, p. 1173.

26.Uberoy M. S., Parbhaker K. J. Magneto-hydrodynamic Flow Past Axisymmetric Bodies with Aligned Magnetic Field. — Phys.

Fluids, 1969, V. 12. No. 10, p. 2083.

27.Годунов С. K-> Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1962, с. 340.

28.Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «На­ ука», 1971, с. 552.

29.Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М., «Наука», 1968, с. 592.

30.Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач

математической физики. М., «Наука», 1967, с. 195. 31.15Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой

несжимаемой жидкости. М., «Наука», 1970, с. 288.

32.В сб.: «Вычислительные методы и программирование. Численные методы в газовой динамике». М., МГУ, вып. XI, 1968, с. 224.

33.Моисеенко Б. Д., Рождественский Б. Л. Численное решение

стационарных уравнений гидродинамики при наличии танген­ циальных разрывов. — «Выч. матем. и матем. физ.», 1970, т. 10, № 2, с. 499.

34.Моисеенко Б. Д., Рождественский Б. Л. Ортогональная про­ гонка и ее применение к расчету гидродинамических течений с? тангенциальным разрывом. М., Изд-во Ин-та прикладной матем., 1970, вып. 47, с. 35.

35.Пасконов В. М. Разностные схемы на самоорганизующемся мно­ жестве расчетных точек в двумерных односвязных областях

226