книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

сивные процессы диффузии и наблюдается резкое отличие от равновесного состояния, термо-э. д. с. следует учитывать. Эффекты Холла, как правило, сказываются в столь плотной плазме только при малых степенях ионизации газа. В каж­ дой конкретной конструкции газодинамической компо­ новки твэла эти особенности будут иметь место в разных местах и необходимость их учета или неучета в процессе расчетов статических и динамических характеристик реак­ тора будет определяться его конкретной конструкцией.

Наиболее общая форма закона Ома, приемлемая для исследования динамики течения в реакторе, следующая

[18]:

Етэ — термо-э. д. с.

Для замыкания общей системы уравнений в том случае, когда электрические токи, протекающие в газе, толь ве­ лики, что наведенное ими магнитное поле существенно иска­ жает магнитное поле, создаваемое внешней магнитной си­ стемой, необходимо в эту систему включить уравнения Мак­ свелла. В магнитогидродинамическом приближении без учета токов смещения эта система имеет вид [17—20, 23]

р = 1. В особых случаях, когда искажение внешнего маг­ нитного поля системой токов, протекающих в газе, невели­ ко, можно обойтись без этой системы уравнений (так назы­ ваемое безындукционное приближение, возможность подоб­ ного приближения обсуждена далее). В этом случае вектор индукции известен из расчетов электромагнитной системы реактора. В обычной электротехнике аналогичное явление встречается в электродвигателях и называется реакцией якоря электрической машины. В случае, когда реакция якоря велика, необходимо учитывать ее вклад в образова­

187

ние картины полного магнитного поля, в том же случае, когда она невелика, можно в качестве этой картины принять только то электромагнитное поле, которое создается ста­ тором.

Энергетический эффект воздействия магнитного поля на поток проводящего газа наряду с обычными гидродинами­ ческими эффектами, заключается в появлении джоулевых потерь

Этот член должен быть добавлен к уравнению баланса энер­ гии.

Переходя к воздействию теплового излучения на поток газа, необходимо учесть, что этот механизм теплообмена существенно сложнее обычной теплопроводности. В данном случае речь идет о взаимодействии фотонов с веществом. Строго говоря, излучение вносит в поток сразу несколько эффектов.

Во-первых, это утечка массы, уносимой фотонами из области излучающего газа. Однако этот эффект в наших условиях пренебрежимо мал и можно считать, что уравне­ ние неразрывности остается в прежнем виде, как и в обыч­ ной газодинамике [22].

Во-вторых, тепловое излучение обладает собственным тензором напряжений [22] и в изотропном и равновесном случае оптически толстой среды создает дополнительное давление излучения:

фана — Больцмана. Это давление (а в общем случае тензор напряжений излучения) должно быть добавлено к урав­ нению сохранения количества движения. Однако эти допол­ нительные члены существенны только при очень высоких температурах и в условиях газового реактора существенной роли не играют.

В-третьих, в энергетическом балансе, строго говоря, появляются еще два члена. Один из них должен учитывать объемную плотность энергии излучения, которая в рав­

188

где р — плотность газа; второй член связан с потоками из­ лучения. Опять же в случае равновесного излучения в оп­ тически толстой среде

скорость света). Если для характерных температур в газо­ вом реакторе плотностью энергии излучения в общем теп­ ловом балансе также можно пренебречь, то такой величи­ ной, как лучистый тепловой поток, пренебрегать нельзя, так как она сравнима с возможными конвективными теп­ ловыми потоками, а иногда даже и превосходит их. В за­ висимости от того, является ли среда оптически толстой или оптически тонкой, т. е. мала или велика длина свобод­ ного пробега излучения

возможно то или иное описание процесса переноса энергии излучения. Здесь Кѵ — приведенный коэффициент погло­ щения для частоты излучения ѵ; р — плотность газа [2 2]. В случае оптически толстой среды для наиболее энерго­ несущей части спектра излучения возможно диффузионное описание лучистого переноса энергии. Когда средняя по спектру длина свободного пробега излучения мала по сравнению с размерами области, в которой оно происходит:

Здесь XR — эффективный коэффициент лучистой теплопро­ водности

В этом случае член, описывающий в уравнении баланса энергии лучистый теплообмен, имеет такой же вид, как и член, описывающий обычную теплопроводность:

Q 7 = d i v ( ^ g r a d T ) ;

QR = div(XRg r a d Т).

189

В данном случае можно ввести понятие эффективного теп­ лового потока и эффективного коэффициента теплопровод­ ности:

<2Эф = Qt -f Qr = diV (V + KR) grad T = div (Хэф grad T). (5.27)

В случае оптически тонкой среды дело обстоит значительно сложнее. Вектор теплового потока, проходящего через пло­ щадку с нормалью п , определяется интегральными соотно­ шениями

Здесь I — интегральная интенсивность излучения по всем частотам спектра; I, ш, п — направляющие косинусы ли­ нии луча, а интегрирование ведется по всевозможным те­ лесным углам для всех направлений излучения. Интеграль­ ная интенсивность излучения получается интегрированием по частотам спектральной интенсивности / ѵ:

Последняя же подчиняется специальному уравнению балан­ са излучения:

глощения; ds — расстояние между двумя точками по лучу. В большинстве газодинамических задач не рассматриваются

Тогда уравнение переноса излучения в направлении еди­ ничного радиуса-вектора имеет вид

с учетом излучения рассеяния и излучения, связанного с образованием фотонов. Последнее включает в себя спонтан­ ное и индуцированное излучения. Коэффициент поглощения состоит из истинного коэффициента поглощения и коэффи­ циента рассеяния. В случае, например, оптически тонкой среды в качестве рабочего тела, заполняемой твердыми ча­ стицами, все эти эффекты необходимо учитывать до тех пор,

190

пока частицы не испарятся и рабочее тело не перестанет обладать свойствами оптически тонкого слоя.

Как видим, система уравнений магнитной гидродина­ мики в случае оптически тонких сред значительно услож­ няется. Уравнение баланса энергии из дифференциального становится интегро-дифференциальным, что затрудняет ис­ следование динамики.

При выборе системы уравнений, которой следует опи­ сывать динамику газофазного реактора, необходимо в об­ щую систему включить и уравнение, описывающее процес­ сы диффузии различных компонент. Дело в том, что среды, используемые в магнитогазодинамической компоновке ре­ актора, могут быть неоднородны по составу и в общем случае представлять смеси различных веществ, наиболее подходя­ щих для организации надлежащего теплосъема и защиты конструкционных материалов от тепловыделения в актив­ ной зоне. Не вникая в подробности, вполне возможно вы­ сказать ряд общих соображений по вопросам диффузион­ ного переноса. Если ввести предположение о локальном термодинамическом равновесии, для чего есть основания в силу того, что при высоких давлениях и температурах, характерных для процессов в плазме, столкновения частиц часты и скорости протекания химических реакций весьма велики по сравнению со скоростями процессов диффузии, то описание диффузионных явлений можно вести на уровне базисных компонент. При этом конкретный состав в данной точке должен соответствовать тому, который получается равновесным для данной температуры и давления в пред­ положении о том, что исходный, базисный состав компонент известен. Это позволяет ограничиться комплектом диффу­ зионных уравнений не для каждой компоненты в отдель­ ности, а только для базисных компонент и свести, напри­ мер в случае однокомпонентного рабочего тела, его диффу­ зию в зону делящегося вещества к бинарной. В этом случае потребуется учитывать только единственный эффективный коэффициент диффузии.

В заключение выпишем полную систему уравнений магнитной газовой динамики, охватывающую процессы в наиболее широком классе возможных компоновок газовых реакторов, после чего перейдем к разбору возможных ее упрощений [17—23].

191

Уравнение движения (баланса количества движения)

где г — тензор вязких напряжений с компонентами

<6 3 5 >

р, — коэффициент вязкости; 6 ^ — символ Кронекера бі;=

массы газа, состоящая из внутренней и кинетической энер­

лучением; Е- j — джоулевы потери; Q — тепловыделение. Закон Ома

j = a j^ E + Ет.э ф у V хВ реV— (1/с) j X В. (5.37)

К этим уравнениям следует добавить зависимости тепло­ физических параметров от давления, температуры и кон­ центрации базисных компонент

РР (р> Г , ск ...),

ц= ц-(р; Т\ Ск-0;

о ^ о (р; Т\ ск ...);

192

а также зависимость термо-э. д. с. от градиента концент­ раций

и коэффициентов диффузии базисных компонент от тех же величин

где /Ск — источники от химических реакций; jK— диффу­ зионный поток [24].

В случае индукционного приближения в общую систему

Наконец, в случае оптически тонких сред ко всей сово­ купности уравнений добавляется выражение для теплового потока излучения в виде

СО V

и уравнение для интенсивности излучения

а в случае оптически толстых сред — более простое выра­ жение для лучистого теплового потока

' (5-5°)

Общая система уравнений, как видим, чрезвычайно сложна и должна быть подвергнута ряду упрощений. Каж­ дое из них приводит к сужению общности класса динами­ ческих задач. Однако целый ряд упрощений можно все же сделать достаточно безболезненно даже при весьма большой детальности описания.

Поскольку выяснено, что для достижения существенного коэффициента разделения делящееся вещество и рабочее тело должны образовывать две отдельные зоны, то об опти­ чески тонких средах имеет смысл говорить только приме­ нительно к отдельным слоям рабочего тела, так как газовая зона ядерного горючего, как правило, оптически тонкой средой не является [14— 16]. Размеры ее определяются тре­ бованиями достижения критичности и обычно значительно больше длин свободного пробега излучения. Но рабочее тело также не может быть полностью оптически тонкой средой, в нем обязательно должны быть слои с большим пог­ лощением лучистого теплового потока, так как иначе не­ возможно обеспечить требуемый теплосъем и защиту сте­ нок. Схемы с применением слоев оптически тонких сред вполне возможны, однако они очень сложны для описания, если, конечно, эти слои не представляют собой просто твер­ дые прозрачные стенки между делящимся веществом и ра­ бочим телом [14— 161.

В дальнейшем мы не будем рассматривать вопросы ди­ намики плазмы с оптически тонкими газовыми средами, а ограничимся только теми схемами, в которых возможно диффузионное приближение лучистого теплообмена. Таким образом, из общей системы уравнений сразу выпадает урав­ нение для определения интенсивности излучения. Далее ограничимся осесимметричными схемами. В таких кон­ струкциях вполне естественно предположить тангенциаль­ ную однородность всех входящих в уравнения величин. Это означает, что все функции не зависят от угловой координаты и все производные от них по этой координате равны нулю. Кроме того, вполне допустимо предположение о достаточно хорошей электронейтральности сред в реакторе. Это поз­ воляет пренебречь в уравнениях силами, связанными с рас­ пределением электростатического заряда [реЕ в уравнении (5.34)], конвекционными токами в законе Ома [ре V в урав­ нении (5.37)], а выражение (5.44) в системе уравнений Мак­ свелла просто исключить из рассмотрения.

Анализируя состав членов уравнения сохранения энер­ гии, можно прийти к выводу, что в этом уравнении несуще­ ственными оказываются потери от вязкой диссипации [у-(Ѵ-т) в (5.36)] й джоулевы потери E-j. Если при этом учесть существенно дозвуковые характеристики течения в активной зоне, то становятся также несущественными чле­ ны, описывающие изменение кинетической энергии потока V2/2, и та часть члена, которая описывает работу сил дав­

1 9 4

ления и равна V • \j р. Известно, что

Оставшийся член р(у-Ѵ) объединяется обычным спо­ собом [2 1] с членами, описывающими изменение внутренней энергии, в результате чего после введения энтальпии і уравнение баланса энергии принимает вид обычного урав­ нения теплопроводности

лучистого и молекулярного коэффициентов. Резкое упро­ щение уравнения энергии становится возможным только благодаря тому факту, что процессы передачи тепла от ре­ акции деления с помощью диффузионного (обычного и в ос­ новном лучистого) теплообмена подавляюще велики по сравнению со всеми остальными энергетическими изме­ нениями.

Рассматривая возможные упрощения в законе Ома, можно прийти к выводу о том, что э. д. с. Холла для боль­ шинства газодинамических схем, в которых применяется магнитное поле, можно пренебречь. Учитывать эту часть э. д. с. следует, по-видимому, при малых степенях иони­ зации. Но поскольку мы договорились рассматривать оп­ тически толстые и плотные среды, то следует ожидать, что они почти по всей области течения достаточно хорошо про­ греты и степень их ионизации высока. Так что если и сле­ дует учитывать э. д. с. Холла, то она уже будет играть роль достаточно «тонкого» эффекта в исследованиях общей дина­ мики. Будем считать, что ее можно опустить наряду с кон­ векционными токами.

В силу предположения об осесимметричности конструк­ ции основным, очевидно, будет течение в меридиональной плоскости. А для течения в этой плоскости при внешнем осесимметричном магнитном поле наиболее существенна только тангенциальная составляющая плотности тока

/ф= о [Еф + (1/с) (ѵ X В)ф].

Если рассматривать стационарный случай течения, то эту составляющую может создавать только э. д. с. Лоренца № (V ХВ)Ф. В самом деле, тангенциальная составляющая термо-э. д. с. не может существовать в силу однородности течения. По этой же причине в стационарном случае не мо­

жет существовать и £ ф, так как к потоку внешних источ­ ников э. д. с. в тангенциальном направлении не приложена. В нестационарном случае эта составляющая э. д. с. может существовать и определяется скоростью изменения индук­ ции. Что же касается меридиональных составляющих плот­ ностей тока, то они определяются в основном наличием тер­ моэлектродвижущих сил на границах раздела различных по своему составу сред. Эти э. д. с. вызывают появление токов в меридиональной плоскости, которые приводят к закрутке потока в области течения. Взаимодействие тан­ генциальных скоростей с полем магнитной системы создает противоположно направленную э. д. с. Лоренца, которая уравновешивает термо-э. д. с. Однако явления закрутки потока под влиянием термо-э. д. с. носят, во-первых, локальный характер, а во-вторых, могут рассматриваться как возмущения основного чисто меридионального течения. В дальнейшем мы эту часть движения рассматривать не будем, поэтому в выражении закона Ома нас будет интере­ совать только тангенциальная составляющая плотности тока

/ф= о [Еф+ (1/с) (ѵ X В)ф],

а из уравнений движения только те, которые описывают движение в меридиональной плоскости. При этом будем считать, что центробежные силы от тангенциальной за­ крутки потока пренебрежимо малы.

Рассматривая зависимости теплофизических параметров от давления, температуры и концентрации базисных ком­ понент, можно сделать еще одно заключение. Дело в том, что для принятых предположений о существенно дозвуко­ вом характере течения перепады давления не могут быть сравнимы с общим уровнем давления, который требуется по соображениям критичности реактора. Поэтому во всех выражениях для теплофизических параметров можно удер­ жать их зависимость только от температуры и концен­ трации.

Можно пойти дальше по пути упрощения общей системы уравнений. Чисто «двигательное» требование достижения высокого коэффициента резделения делящегося вещества и рабочего тела приводит к необходимости создания таких газодинамических схем, в которых смешение обоих рабочих тел было бы минимальным настолько, насколько это в принципе возможно. В зависимости от последнего условия ту или иную газодинамическую схему следует считать удач­

J 96