книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

так как их не имеет сама матрица системы (4.22). Столбцы же матриц Л4др и Л4ДН можно сделать ненулевыми прибав­ лением к строкам R соответствующих линейных комбина-

—S + С0Л4Р и С0Л4„ не имеют нулевых столбцов и т — ѵ, то можно выбрать 6 = 0, тогда и пд = 0.]

Полученная система уравнений (4.22) имеет единствен­ ное решение относительно £. Ей эквивалентна [с учетом (4.16)] система уравнений

Умножением слева на некоторую невырожденную квадрат­ ную матрицу Г она может быть приведена к матрице R, имеющей тот же ранг т + Ь и единичные диагональные элементы в блоке

Ер Е„ ß

—В

- Щ ѵ —44ßH

Полученная матрица R удовлетворяет требованиям, предъявляемым к расширенной матрице системы уравне­ ний регулятора; система уравнений

Пф — 0;

(4.24)

Кфи = 0

12 7

эквивалентна системам (4.23) и (4.22) и поэтому имеет единственное решение, удовлетворяющее требованиям (4.9).

Таким образом, необходимое и достаточное условие разрешимости поставленной задачи синтеза — разреши­ мость уравнения (4.16) относительно матрицы С0 (с разме­ рами V X л ) и совместность системы уравнений (4.21) относительно вектора £ линейных форм от / г. При выпол­ нении этих условий система уравнений регулятора, решаю­ щего задачу синтеза, имеет следующий общий вид:

■Сп П„

диагональные элементы, равные 1. По системе (4.25) легко построить схему регулятора, реализующего эту систему: каждое из уравнений (4.25) может быть представлено в виде (4.6), выражающем зависимость выхода соответствующего звена регулятора от остальных координат регулятора, от измеряемых координат объекта и от измеряемых воз­ действий.

Некоторые особенности задачи синтеза. О разрешимости уравнения (4.16) относительно матрицы С0. Необходимое и достаточное условие его разрешимости — совпадение ран­

где GHr, ПнзГ, П Н7Т — блоки матриц Gn и П„ в представле­ ниях

— множества строк П„ или столбцов С0; Zr, Z3 — мно­ жества столбцов Пн и GH; П„гг — какой-либо из старших

128

невырожденных квадратных блоков матрицы П„ порядка т(IIн); г ( ) — ранг стоящей в скобках матрицы; А — про­ извольная матрица с размерами ѵ X (п — г (П,,)). В част­ ности, если пя = s„ и матрица П„ невырождена, то при любых G„ уравнение (4.16) имеет единственное решение

Таким образом, необходимое и достаточное условие разрешимости нашей задачи синтеза может быть сформули­ ровано в виде равенств

л (Пн) = г

41Н

(4.28)

Пе

Ge

Иной способ составления системы уравнений регулятора. Система (4.25) уравнений регулятора может быть представ­ лена [с учетом (4.26)] в виде

нений регулятора, решающего задачу синтеза, может быть составлена с помощью следующей процедуры:

а) в уравнениях (4.5) и (4.9) (предполагаемых неза­ висимыми) величины х„, хн, /„ заменяются величинами, составляющими столбец фн;

б) система уравнений (4.5) (относительно сри и а)зн) разбивается на две подсистемы: (4.30), содержащую г (II „) уравнений с каким-либо из старших отличных от нуля ми­ норов матрицы 11 н, и подсистему

ний относительно срп и фн; д) с помощью эквивалентных преобразований системы

((4.30), (4.32), (4.33)) из нее исключаются величины, сос­ тавляющие столбец 4 іі (это возможно в силу невырожден­ ности матрицы Ищи в силу первого из соотношений (4.28)].

Полученная в результате описанной процедуры система т + b уравнений относительно ср„ эквивалентна системе вида (4.25) и потому может служить основой для составления различных схем регулятора, решающих задачу синтеза.

О в о з м о ж н о с т я х у п р о щ ен и я сх е м ы р е г у л я т о р а ( т . е .

о м и н и м а л ь н о в о зм о ж н о м зн а ч е н и и ч и сл а Ь в н у т р ен н и х

к о о р д и н а т р е г у л я т о р а ). Из описанной выше процедуры составления системы уравнений регулятора следует:

а) при т > V b может быть взято равным нулю (т. е. регулятор, решающий задачу синтеза, может быть построен без внутренних координат);

б) при т = V b может быть взято равным нулю в том и только в том случае, когда матрица А, входящая в (4.26), выбрана так, чтобы матрицы —5 + С0М Р и С0М„ [где С0 определяется согласно (4.26)] не имели нулевых столбцов; для существования матрицы А с^указанньшГсвойством не-

130

обходимо и достаточно, чтобы каждый из столбцов матрицы

в представлении

в) если т = ѵ и хотя бы один из столбцов матрицы Мп за­ висит от столбцов матрицы ¥ пг, то минимальное значение Ь,

скоторым может быть решена задача синтеза, равно 1. Таким образом, регулятор, обеспечивающий заданные

соотношения (4.9), всегда может быть построен с не более чем одной внутренней координатой.

О в о з м о ж н о с т и п о ст р о е н и я р е г у л я т о р а с н ев ы р о ж д ен н о й

м а т р и ц е й R0. Среди различных возможных схем регулятора, решающих задачу синтеза, в настоящее время более пред­ почтительны для реализации схемы с невырожденной мат­ рицей R0 и, в частности, так называемые схемы прямой передачи, не содержащие внутренних координат и имею­ щие диагональную матрицу R0. (Для схем с вырожденной матрицей R0 возникают трудности с обеспечением грубости системы объект — регулятор по отношению к отклонениям параметров; о понятии грубости см., например, [10, 11].) Для существования среди схем регулятора, решающих за­ дачу синтеза, схемы с невырожденной матрицей R0 (а сле­ довательно, и схемы прямой передачи) необходимо и доста­ точно, чтобы ранг матрицы Ra (Ч^,,. МП) был не меньше

г (Пн) + V.

О с и н т е з е р е г у л я т о р а , о с у щ е с т в л я ю щ е г о за д а н н ы е с т а ­ т и ч еск и е со о т н о ш ен и я в за м к н у т о й с и с т е м е . Во многих слу­

чаях целью синтеза регулятора может быть выполнение за­ данных линейных соотношений между координатами систе­ мы и воздействиями в установившихся режимах. Эта задача также может решаться изложенным выше методом, но при этом под Xj, цк, ßr понимают установившиеся, постоянные во времени значения соответствующих величин, а коэффи­ циенты соотношений (4.5)—(4.9) являются элементами чис­ лового поля WQ. (Соотношения с коэффициентами из W0 будем называть статическими.)

Однако задача синтеза регулятора по заданным стати­ ческим соотношениям имеет следующую особенность: звенья, составляющие регулятор, не обязательно должны быть де­ тектирующими (в статике), и в соответствии с этим система (4.7) уравнений регулятора не обязана иметь единичные эле­ менты на главной диагонали матрицы Д0. Действительно, введение в схему регулятора интегрирующего звена, опи­ сываемого уравнением вида

[где Vj (0) Ф оо и хотя бы одно из Vj (0) отлично от нуля, обозначения см. (4.6)], позволяет в статике получить равен­ ство

J

(при условии существования у замкнутой системы единст­ венного устойчивого положения равновесия). Поэтому любая совместная система статических соотношений вида (4.7) может быть реализована с помощью статических [описывае­ мых уравнениями вида (4.6) с Vj (0) Ф оо] и интегрирующих [описываемых уравнениями вида (4.34) ] звеньев.

Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи синтеза с выполнением статических соотношений (4.9) — совместность статических соотношений (4.16) и (4.21) [или выполнение (4.28)], но b здесь всегда может быть выбрано равным нулю. Система статических соотношений для регу­ лятора по-прежнему имеет общий вид (4.25), но с коэффи­ циентами из поля W0. При этом матрица R 0' может теперь иметь нулевые столбцы. Для реализации статических соот­ ношений (4.25) с помощью статических и интегрирующих звеньев эти соотношения должны быть заменены соотно­ шениями аналогичного вида с коэффициентами из поля W, принимающими при р — 0 значения соответствующих коэф­ фициентов статической системы (4.25) (соотношения с коэф­ фициентами из W назовем динамическими). При этом нули на главной диагонали матрицы TR '0 заменяются ненуле­ выми элементами поля W. При любом выборе динамической системы уравнений регулятора, удовлетворяющей этим условиям и условию устойчивости замкнутой системы, обеспечено выполнение в статике заданных соотно­ шений (4.9).

132

Таким образом, общий вид динамических уравнений регу­ лятора, обеспечивающих выполнение в установившемся режиме соотношений типа (4.9)

менты на главной диагонали клетки, соответствующей коор­

динатам (р„, ßr). Выбор матриц R и /?д должен обеспечи­ вать устойчивость замкнутой системы объект — регулятор.

Минимальное количество интегрирующих звеньев в схеме регулятора при т = ѵ, Ь = 0 равно числу столбцов матрицы Мп, зависящих от столбцов матрицы ЧгпГ; при

т+ Ь — ѵ >0 без интегрирующих звеньев можно обойтись. Динамическая система уравнений регулятора всегда

может быть составлена так, чтобы матрица коэффициентов при рк в (4.36) была невырожденной; поэтому для любой си­ стемы статических соотношений вида (4.9), удовлетворяющей (4.28), задача синтеза разрешима с помощью регулятора со схемой прямой передачи. При этом, если матрица RÖ ста­ тической системы (4.25) вырождена, динамическая система уравнений регулятора будет содержать передаточные функ­ ции с нулевыми полюсами, реализуемые интегрирующими устройствами; минимальное количество звеньев регулято­ ра с такими передаточными функциями равно количеству столбцов матрицы R о, линейно зависящих от остальных ее столбцов, и, следовательно, не меньше ѵ — г (Rn) + г (П„).

О синтезе регулятора без дифференцирующих звеньев. Поскольку решение рассмотренной здесь задачи синтеза всегда оказывается не единственным, на систему (4.7) урав­ нений регулятора могут накладываться дополнительные условия. В частности, может быть выдвинуто требование отсутствия в синтезируемой схеме регулятора дифференци­ рующих звеньев, т. е. звеньев со степенью числителя пере­

133

даточной функции, большей степени ее знаменателя. При использовании регулятора со схемой прямой передачи это требование накладывает дополнительные ограничения на значения элементов матриц Р, Q, S, которые входят в соот­ ношения (4.9). Использование же схем с перекрестными связями между звеньями регулятора и, может быть, с внут­ ренними координатами позволяет выполнить это требование без ограничений на матрицы Р, Q, S. Действительно, назо­ вем степенью элемента из W разность степеней его числите­ ля и знаменателя и обозначим N максимальную из степеней элементов матрицы С„ — С0ПИ (при фиксированном выборе

ментов матрицы Дд не превышающими N, обеспечим нали­ чие в каждом столбце матрицы Ro элемента с максимальной степенью; поэтому выбором Г можно будет добиться неполо­ жительности степеней всех элементов матрицы/? (см. далее).

ны ми п а р а м е т р а м и . До сих пор коэффициенты соотношений (4.5) —(4.9) считались элементами поля Подробно-рациональ­ ных функций. Расширим теперь класс рассматриваемых в задаче синтеза уравнений объекта и замкнутой системы так, чтобы включить в него встречающиеся на практике виды си­ стем с распределенными параметрами. Будем считать синте­ зируемый регулятор состоящим из конечного числа линей­ ных детектирующих звеньев с импульсными переходными функциями по каждому входу, относящимися к классу обоб­ щенных производных регулярных оригиналов. Каждое из таких звеньев по-прежнему описывается уравнением вида (4.6) , но передаточные функции Vj теперь — элементы класса U0 функций V комплексного переменного р при Re р > s аналитических и удовлетворяющих условию

фициентов) и удовлетворяющих условию (при тех же Re р):

134

назовем порядком роста функции F. Выбирая константу s0 не меньшей значений s для всех коэффициентов уравнений (4.5) и (4.9), можно считать эти коэффициенты элементами поля Ws„ функций р, мероморфных и удовлетворяющих (4.37) при Re р > s0. Тогда, считая коэффициенты представ­ лений (4.8) для xj, p ft, ßr и коэффициенты искомых уравнений (4.7) регулятора элементами того же поля WSa, можно ре­ шать задачу синтеза по изложенной выше методике [ибо она пригодна для любого поля коэффициентов и неизвестных уравнений (4.5) и (4.9)]. Однако теперь к искомой системе уравнений регулятора предъявляется новое требование: все элементы матрицы R должны принадлежать классу U0. При использовании регулятора со схемой прямой передачи это возможно лишь при определенных ограничениях, на­ лагаемых на матрицы Р, Q, S. Применение же схем с пере­ крестными связями и, может быть, с внутренними коорди­ натами позволяет снять эти ограничения. Для того чтобы получить матрицу R с элементами из U0, достаточно выбрать:

b > V — т, элементы матрицы

ехр (рт0) (где т0 больше максимального из порядков роста элементов матрицы (?„ — С0 П п), а остальные элементы мат­ рицы R д — функциями из Ws0 с порядком роста, меньшим т0. Тогда соответствующим выбором матрицы Г можно до­ биться отсутствия у всех элементов матрицы R полюсов и выполнения для них условия (4.37). Полученная система уравнений регулятора может быть реализована с помощью звеньев с импульсными переходными функциями из класса обобщенных производных регулярных оригиналов.

Замечание. Следует помнить, что описанная выше методика синтеза системы управления опирается на предположение о точ­ ном соответствии свойств объекта и регулятора их математическому описанию соответственно (4.5) и (4.7). Практическая работоспособ­ ность синтезированной системы управления может быть установлена только в результате исследования поведения этой системы при на­ личии не учтенных в описании (4.5) — (4.7), но возможных в экс­ плуатации отклонений параметров звеньев, т. е. в результате про­ верки системы на грубость. Вопрос о грубости системы управления особенно существен для систем с регуляторами, построенными по схеме с перекрестными связями и, в частности, с регуляторами, имеющими вырожденную матрицу R0. Поэтому построение регу­ лятора по такой схеме может быть рекомендовано к практическому применению лишь после проверки иной схемы на грубость (см., например, [12]).

Уравнения регулятора для ЯРД. Применим изложенную методику к решению задачи синтеза системы управления

135

ЯРД на маршевом режиме. Уравнения (4.5) объекта за­ пишем, согласно гл. 1, в следующем упрощенном виде:

ных значений основных координат ЯРД: соответственно удельной тяги двигателя, тяги и нейтронной мощности реак­ тора; ру, ре* — соответственно управляющие воздействия на двигатель по импульсу рабочего тела (с помощью поворо­ та дросселя в тракте рабочего тела) и по реактивности реак­ тора (с помощью перемещения стержней в реакторе); /т, fj — возмущающие воздействия по температуре и импульсу рабочего тела; D tj, М ік, Ф^г — передаточные функции соот­ ветствующих динамических звеньев ЯРД.

Первое из уравнений (4.39) описывает термодинамические процессы нагрева рабочего тела в реакторе, второе — гид­ родинамические процессы формирования тяги, третье — нейтронно-физические процессы в реакторе. D u, M ik, Ф}1 считаем рациональными дробями от р, при этом каждая из функций D 31 и М 32 с точностью до константы совпадает с пе­ редаточной функцией Wpn от реактивности к нейтронной мощности (см. §2). Матрицу D считаем невырожденной.

Регулируемыми координатами объекта будем считать отклонения тяги и удельной тяги. При этом отклонение тяги будем считать измеряемой координатой, поскольку оно пропорционально отклонению давления рабочего тела в камере перед реактивным соплом (для совершенного газа); отклонение же удельной тяги определяется в основном от­ клонением температуры рабочего тела в камере и потому в настоящее время не может надежно измеряться на борту ракеты. Второй измеряемой координатой будем считать бп. Воздействия /т и fj будем считать неизмеряемыми; кроме них в состав учитываемых внешних воздействий включим задающее воздействие /у от системы управления полетом ракеты; это воздействие естественно считать измеряемым.

136