книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

нения везде одинаковы, то они везде такие же, как в сопле, а значит и их соотношение такое, как в сопле, что приво­ дит к (3.75).

Отметим, что равенство на всех режимах относительных отклонений каждого из параметров газа во всех точках газового тракта соответствует постоянству на всех режимах отношений соответствующих абсолютных параметров для любых точек тракта. Например, из постоянства по всему тракту Ф следует постоянство для всех режимов отношения абсолютных температур в любых двух точках тракта. Действительно, из равенства f), --'&j для любых двух точек і и / тракта следует:

(Гг —Ті0)/Ті0 (Tj - Tj(); /

или

TiITj — TiaIT]0 -----const,

т. e. отношение абсолютных параметров в любых двух точ­ ках тракта остается постоянным на всех режимах работ газового тракта.

Из отмеченного факта вытекает важное следствие: если для исходного режима было известно распределение какого-либо параметра по интересующим точкам тракта, то для получения такого распределения на новом режиме достаточно измерить этот параметр в какой-либо одной точке.

Методика математического описания квазистационарных процессов в сложных газовых трактах. Сложность газовых трактов ракетных двигателей делает актуальным вопрос о разработке такой методики математического опи­ сания процессов в этих трактах, которая позволила бы по возможности избежать трудоемкости обычного способа описания, связанного с написанием всех уравнений балан­ са для каждого из элементов тракта и с последующим исклю­ чением многих не интересующих нас координат. Ниже для широкого класса газовых трактов дан метод, позволяющий значительно сократить трудоемкость математического опи­ сания квазистационарных процессов в таких трактах. Этот метод аналогичен методу описания электрических цепей с помощью законов Кирхгофа. Заметим, что ниже речь будет идти только об описании гидродинамических про­ цессов с помощью уравнений баланса импульсов и расходов, тепловые процессы при этом не затрагиваются и их можно описывать обычным способом (в частности, нестационарно).

107

Аналогом уравнения Кирхгофа первого рода («алгебраи­ ческая сумма токов в узле равна нулю») является в любом случае (несжимаемая жидкость, совершенный или несо­ вершенный газ) уравнение

записанное для узлов тракта и являющееся обычным урав­ нением баланса расходов. Аналогов для уравнения Кирх­ гофа второго рода («алгебраическая сумма падений напря­ жений в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил в этих ветвях») может быть несколько; при этом в любом случае аналогом источника электродвижущей силы (э. д. с.) является всякое активное устройство, создающее напор за счет постороннего источ­ ника энергии, например насос. Все зависит от того, что считать в уравнениях импульсов аналогом электрического потенциала или падения напряжения. Можно считать ана­ логом падения напряжения перепад давлений, но можно за такой аналог принять и другую функцию входного и вы­ ходного давлений ветви. В зависимости от этого выбора вид уравнений, являющихся аналогами уравнений Кирх­ гофа второго рода, различен. Выгодно взять такой аналог падения напряжения, при котором давления для большин­ ства точек изучаемых газовых трактов не войдут в аналог уравнений Кирхгофа второго рода. Это выгодно потому, что давления в большинстве точек тракта оказываются в этом случае сразу исключенными, причем не приходится для этого проделывать всю ту большую работу, которая совершается при обычном методе описания.

Для большинства элементов гидравлической схемы ракетных двигателей в качестве аналога падения напря­ жения выгодно взять разность квадратов входного и вы­ ходного давлений р2вх — р2ВЬІХ. Дело в том, что урав­ нения баланса импульсов для большинства элементов могут быть приведены к виду, когда давления входят толь­ ко в одну часть уравнения в виде р2вх—р2вых- Действи­ тельно, если исходить из обычного предположения, что ра­ бота сил трения на элементарном участке любой ветви трак­

часто встречающихся элементов (местные сопротивления, каналы с подводом и без подвода тепла, турбины) можно

108

получить при сосредоточенном описании следующее урав­ нение баланса импульсов:

где р*вх. Р*вых — полные давления газа на входе в описы­

с подводом или без подвода тепла возможно с помощью урав­ нения (2.22). Для местных сопротивлений такой вид урав­ нения баланса импульса получается, если в соотношении (3.58) среднее значение плотности рср выразить через средние значения давления и температуры, приняв пара­ метры торможения газа равными их статическим значениям:

Рср = р У ( Я П р) = (Рвх 4 - р в*ых)/( 2 Я Г с*р).

Заметим, что в случае регулируемого местного сопротивле ния коэффициент с в (3.89) следует считать переменным. Для турбин уравнения баланса импульсов в виде (3.89)

ля тем точнее, чем меньше изменение числа оборотов ро­ тора турбины.

Если в исследуемый тракт входят лишь различного рода каналы, местные сопротивления и турбины, то аналог урав­ нений Кирхгофа второго рода имеет следующий вид:

Это уравнение верно для любого контура рассматриваемых газовых трактов и, как видно, не содержит в качестве пере­ менных величин давлений. Получается это уравнение сум­ мированием уравнений (3.89) для всех элементов описывае­ мого контура в газовом тракте.

Если бы контуры рассматриваемых газовых трактов содержали, кроме перечисленных выше элементов, также такие элементы, уравнение импульсов для которых отлича­ лось бы от (3.89) наличием в правой части давлений, то эти давления вошли бы и в уравнение (3.90). Это снижает эф­ фективность описываемого метода, так как в этом случае для получения замкнутой системы уравнений требуется

109

в описываемой цепи насосов. Относительно использования систем уравнений, состоящих из уравнений типа (3.88), (3.90) , (3.91), можно сказать следующее. Решения этих систем, дающие правильную информацию о величинах расходов, давлений и о направлении течения, в случае произвольного задания направлений течения не могут быть получены, если хотя бы одно из направлений задано неверно. Для получения правильных решений этих систем все направления течения должны быть заранее известны. Это связано с тем, что уравнение (3.89) и уравнения (3.90), (3.91) , получающиеся суммированием уравнений типа (3.89), верны только в случае, когда направления течения извест­ ны. В свою очередь, это обусловлено тем, что в уравнениях (3.90), (3.91) знак нелинейных членов сгС2;Г*ср t не зависит от знака G*. Именно наличие этих членов не позволяет аналитически определить истинное направление течения, если оно заранее неизвестно; в этом случае получаются решения, не дающие никакой информации (расход выража­ ется, например, комплексной величиной).

На практике часто истинные направления течения газа в ветвях описываемого тракта известны из физических сооб­ ражений. В тех же случаях, когда направления течения в некоторых ветвях все же неизвестны, можно пойти по нескольким путям.

Во-первых, можно рассмотреть все варианты возможных направлений течения в этих ветвях и соответственно для каждого из вариантов решить систему уравнений. Правиль­ ным решением будет такое, при котором все значения рас­ ходов и давлений — положительные действительные числа.

Во-вторых, можно сразу исходить из такого описания газовых трактов, при котором не нужно знать истинные направления течения газа в ветвях тракта. Для этого урав­ нение импульса для любого элемента тракта необходимо записывать в такой форме, при которой оно верно при лю­ бом выбранном направлении течения, пусть даже неверном.

111

где |G| — модуль расхода, а индексы «вх», «вых» обозна­ чают вход в элемент и выход из него при принятом направле­ нии течения газа. Этому уравнению соответствуют уравне­ ния

аналогичные уравнениям (3.90), (3.91), но отличающиеся тем, что в них знаки членов ctGi\G\lTtp г зависят от знака расхода G. При решении систем, состоящих из уравнений типа (3.88), (3.93), (3.94), направления течения газа могут быть заданы произвольно. Если после решения системы ка­ кие-либо значения Gt получились отрицательными, необ­ ходимо изменить направление движения газа в соответст­ вующем элементе на противоположное принятому. Вопрос о методах решения указанных систем уравнений требует специального рассмотрения.

Выше обсуждалось применение описываемого метода для нахождения абсолютных значений параметров газа. Урав­ нения, необходимые для нахождения малых относительных отклонений этих параметров, можно получить линеариза­

относительное изменение гидравлического сопротивления г'-го элемента тракта.

112

Г л а в а 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ

ИВОПРОСЫ УПРАВЛЕНИЯ ЯРД

СТВЕРДЫМ ДЕЛЯЩИМСЯ ВЕЩЕСТВОМ

§11. Исследование ЯРД как объекта управления вблизи номинального режима

Цифровой и аналоговый способы исследования дина мики. С точки зрения теории управления ядерный ракет­ ный двигатель представляет собой достаточно сложную систему с большим количеством динамических звеньев и с перекрестными связями между ними. Поэтому важным этапом разработки системы управления для ЯРД должно стать составление такой математической модели, которая была бы, с одной стороны, достаточно точной, чтобы отра­ зить принцип действия объекта и основные физические за­ кономерности в его звеньях, а с другой — достаточно простой, чтобы облегчить исследователю понимание проте-. кания процессов в объекте и выбор методов управления им. Особенно важно составление простой математической модели для применения современных аналитических методов проектирования системы управления [как для маршевого режима (см. § 12), так и для пускового (см. § 14)].

Основными способами изучения динамики сложной сис­ темы вблизи установившегося режима в настоящее время следует признать цифровой (с помощью ЦВМ) и аналоговый (с помощью аналоговых моделирующих установок).

При использовании первого из этих способов наиболее удобен язык частотных характеристик. Он позволяет с по­ мощью простых алгебраических операций по частотным характеристикам звеньев (см. § 3,6) получить частотную характеристику объекта по каждому из каналов передачи от возмущающих или управляющих воздействий к инте­ ресующим нас координатам объекта. Расчет частотной ха­ рактеристики объекта при этом сводится к решению систе­ мы алгебраических уравнений, каждое из которых характе­

1І4

выбранного ряда значений со и для каждого из интересую­ щих нас каналов передачи воздействий. Диапазон и шаг выбираемых значений со определяются необходимой точ­ ностью расчета и сложностью определяемых характе­ ристик.

Алгебраический расчет частотных характеристик может быть проведен и для объекта, содержащего звенья с распре­ деленными параметрами. В этом случае можно либо для каждого со перед решением системы уравнений объекта

ристики звеньев с распределенными параметрами и вводить эти результаты в машину в виде таблицы.

Полученные частотные характеристики объекта следует аппроксимировать характеристиками возможно более простых типовых звеньев; результатом этой работы будет математическая модель объекта, к которой можно приме­ нять различные (аналитические или аналоговые) методы синтеза системы управления; один из аналитических мето­ дов синтеза изложен в § 12.

Аналоговый способ исследования динамики объекта опи­ рается на описание динамики каждого из звеньев обыкно­ венным дифференциальным уравнением (здесь речь идет лишь о применении стандартного аналогового оборудова­ ния). Поэтому для объекта, содержащего звенья с распреде­ ленными параметрами, необходимо предварительно заменить эти звенья какими-либо достаточно простыми звеньями с со­ средоточенными параметрами. Это удобно сделать, пред­ варительно рассчитав частотную характеристику каждого из этих звеньев; звенья, рассмотренные в § 3, 6, обычно уда­ ется с приемлемой точностью аппроксимировать типовыми звеньями не выше второго порядка.

При необходимости же оперативного проведения ра­ боты по изучению динамики объекта можно описывать динамику всех его звеньев сразу в сосредоточенных пара­ метрах; некоторые оценки допускаемых при этом погреш­ ностей приведены в § 5, 6 (для конкретных примеров). Аналоговый способ изучения динамики объекта вообще более удобен для оперативного получения качественной оценки динамических свойств объекта и подбора удовлет­ ворительных методов управления; в частности, во многих

115

случаях удается подключать к аналоговой модели объекта элементы реальной аппаратуры, предназначенной для уп­ равления натурным объектом. Но этот способ менее удобен, чем цифровой, для проведения более детальных исследова­ ний, в частности, для решения оптимальных задач, связан­ ных с выбором системы управления.

Проверка устойчивости динамической системы. Один из первых вопросов, возникающих при изучении динамики объекта, — вопрос об устойчивости последнего. Особенно остро стоит этот вопрос в сложных системах со многими перекрестными связями, к таковым относится и ЯРД. Точные методы проверки устойчивости в настоящее время разработаны лишь для систем, состоящих из звеньев с сос­ редоточенными параметрами [1]. Для систем же, содержа­ щих звенья с распределенными параметрами, методы про­ верки устойчивости находятся еще в стадии разработки, хотя по этому вопросу уже существует обширная литерату­ ра [2], [3]. Само понятие устойчивости для таких систем требует уточнения.

В литературе известны понятия устойчивости по Ля­ пунову и устойчивости при постоянно действующих возму­ щениях для систем, описываемых обыкновенными диффе­ ренциальными уравнениями [4]. Для систем же, содержа­ щих звенья с распределенными параметрами, эти определе­ ния нуждаются в модификации.

Ниже приводится одна из возможных модификаций оп­ ределения устойчивости, применимая к случаю (наиболее типичному), когда изучаемая система в некоторой окрест­ ности установившегося режима может считаться линейной.

Вэтом случае динамические свойства системы, в том числе

иустойчивость, имеет смысл изучать раздельно для каждого из звеньев передачи, на которые распадается система в силу линейности. Каждое из таких звеньев передачи характе­ ризует реакцию какой-либо координаты х системы на неко­ торое внешнее воздействие / или на некоторую составляю­ щую начального (соответствующего моменту перед началом процесса [1]) состояния системы. Под реакцией координаты X на воздействие / понимается поведение х при нулевых начальных условиях и при отсутствии всех воздействий,

начального состояния и значения в момент времени t коор­ динат и воздействий могут быть либо скалярными, либо

116