книги из ГПНТБ / Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с

лением тепла извне пренебрегаем. При этих условиях после осреднения получается следующая система уравнений:

где I — энтальпия.

Решение системы уравнений (3.60) в общем случае пред­ ставляет большие трудности. Некоторые оценки влияния эффекта накопления массы газа на процессы распростра­ нения тепла в трубопроводе для случая малых возмущений даны в приложении 2. На основе полученных оценок при

Как известно, третье уравнение системы (3.61) означает,

Представляет интерес влияние этого явления на характер изменения выходного давления трубопровода. Наиболее простой случай имеет место для несжимаемой жидкости, если пренебречь зависимостью ее плотности от температуры. Соответствующая система уравнений получается из (3.61), если учесть, что р не зависит от р и Т, приняв также dS/dz = âS/dt = 0:

âG/dt = — S (dp/dz) — AG2; 1

âT/ât + (G/pS) (dT/dz) = 0,|

где А = ^/(pS) — константа. Так как Т не входит в первое уравнение, то последнее может быть разрешено независи­ мо от второго уравнения (давление не зависит от температу­ ры). Не останавливаясь на данном случае более подробно, приведем первое уравнение системы (3.62) в интегральной

форме, для чего проинтегрируем его по длине трубопро­ вода I:

ношение скорости газа к изотермической скорости звука);

р — комплексное число; д =-- (Т — Т0)/Т0; я ,/ — изоб­ ражение Лапласа от величин я, j$BX. Для того чтобы по­ нять характер влияния температуры на давление, получим

из (3.64) более простое выражение для я (г, р) при отсутст­

Из этого выражения видно, что давление в любой точке трубопровода изменяется в тот же момент времени, когда появляется любое из возмущений я вХ, /, (это связано с неучетом звуковых процессов). Но при действии возму­

98

щения іЭ'пх имеется еще вторая (транспортная) составляю­ щая влияния температуры на давление. Она связана с тем, что фронт возмущения температуры распространяется позакону транспортного запаздывания. Однако из приведенных выражений также видно, что при малых значениях числа Маха, для которых получены эти выражения, влияние температуры на давление незначительно.

§ 10. Газовые тракты

И с с л е д о в а н и е г а з о в ы х т р а к т о в , о к а н ч и в а ю щ и х с я з в е н ь ­

я м и , р а б о т а ю щ и м и в р еж и м е с в е р х к р и т и ч е с к о г о и с т е ч е н и я .

Сложность гидравлических схем ракетных двигателей, в том числе и ЯРД, весьма сильно затрудняет исследование динамики последних. Поэтому большой интерес представ­ ляет выявление некоторых специфических особенностей сложных газовых трактов и развитие на этой основе соот­ ветствующих методов их исследования, уменьшающих воз­ никающие при этом трудности 15].

Ниже рассматриваются тракты, которые имеют один вход (на входе могут изменяться давление и температура) и произвольное число выходов, с каждого из которых газ подается на звено, работающее в режиме сверхкритического истечения (например, сопло или группа сопл). Критическое истечение в любой из внутренних ветвей тракта также возможно, если перепад давлений на зоне скачков уплот­ нения, которая может иметь место за критическим сечением, может быть описан приведенным ниже обычным соотноше­ нием (3.69). Сложность схемы тракта между входом и выхо­ дами может быть произвольной. Подразумевается, что для описания процессов в газе трубопроводов достаточно учесть распределенность процессов вдоль их оси, т. е. достаточно одномерного описания (для турбин и камер смешения доста­ точно сосредоточенного описания). В качестве возмущений рассматриваются изменения давления и температуры на входе в тракт.

Относительно свойств газа и элементов тракта примем следующие, основные предположения:

1) газ может считаться совершенным (удовлетворяется уравнение Клапейрона), газовая постоянная и теплоем­ кость газа постоянны;

2) работа сил трения на элементарном участке сіх лю­ бой ветви тракта определяется общепринятым выражением dLTp = %w2dx/2d, где £ — коэффициент гидравлического

сопротивления (не меняется со временем); w — скорость

d— диаметр;

3)газ нигде не имеет теплообмена с внешней средой;

4)критическое истечение локализовано в фиксирован­ ном сечении во всем диапазоне рассматриваемых измене­ ний входных параметров газа.

Первые два предположения часто довольно хорошо вы­ полняются и обычно используются при математическом опи­ сании газовых трактов. В соответствии с третьим предпо­ ложением не допускаются звенья, в которых газ нагревается или охлаждается вследствие теплообмена с внешней средой. Следовательно, в рассматриваемых звеньях (точнее, в их математических моделях) могут иметь место либо идеальные адиабатические процессы, либо неизоэнтропические адиа­ батические процессы, неизоэнтропичность которых обуслов­ лена трением в газе. В первом случае процесс в газе описы­ вается идеальной адиабатой, во втором — некоторой по­ литропой. И в том и в другом случаях газ может совершать работу. Таким образом, в состав рассматриваемых газовых трактов могут входить трубопроводы (в том числен пере­ менного сечения), различного рода нерегулируемые местные сопротивления, эжекторы, турбины, если для этих элемен­ тов можно пренебречь перетечками тепла.

Кроме сделанных предположений оговорим также, что будем описывать процессы в газе с помощью статических уравнений, пригодных для квазистационарных динами­ ческих процессов в газе при рассмотрении относительно

Можно утверждать, что система уравнений, описываю­ щая процессы в любом газовом тракте, удовлетворяющем перечисленным выше предположениям, содержит уравне­ ния следующих шести типов: 1) уравнения, дающие за­ висимость расхода в любом сечении ветви от температуры и давления торможения Т*, р* и коэффициента скорости К в этом же сечении; 2) уравнения баланса энергии для каж­ дого из звеньев любой ветви; 3) уравнения баланса им­ пульсов для каждого из звеньев; 4) уравнения баланса энергии в камерах смешения; 5) уравнения баланса расхо­ дов в точках разветвления трактов; 6) уравнения, дающие связь параметров торможения с соответствующими стати­ ческими параметрами. Уравнений может быть в системе произвольное число.

100

Уравнения второго и третьего типов могут быть записаны как в сосредоточенной форме, так и распределенно. Приня­ тая форма записи уравнений, когда исключается скорость (посредством введения в некоторые уравнения параметров торможения и коэффициента скорости Я), не обязательна, но более удобна для дальнейших рассуждений.

В том случае, когда параметры торможения можно считать равными статическим параметрам (X 1), урав­ нения шестого типа отсутствуют, а уравнения первого типа записываются только для критических сечений на выходе.

С учетом сделанных ранее предположений перечислен­ ные типы уравнений могут быть записаны следующим образом.

Уравнения первого типа, справедливые в каждом сече­

динамическая функция; G — расход.

Уравнения второго типа, следующие из первого закона термодинамики

dq = du -|- d (pv) + (dw2/2) + dL,

где и — внутренняя энергия; ѵ — удельный объем, приобре­ тают в нашем случае (dq = 0) различную форму в зависи­ мости от того, производит газ работу L или нет. В случае L = 0 уравнения второго типа приобретают особенно простую форму

ного действия, характеризующий степень неизоэнтропичности адиабатического процесса, вызванной потерями на трение. В том случае, когда процессы в газе близки к изоэнтропическим, Л; в широком диапазоне изменения режима работы установки остается практически постоянной величи­ ной. В дальнейшем будем считать, что в интересующем нас диапазоне изменения режимов л г можно считать постоян­ ным. Это первое дополнительное предположение о газовых процессах в турбинах.

101

Уравнения третьего типа при распределенном описании какого-либо звена, где газ не совершает работы, имеют вид

G (dw/dx) = —F (х) (дрідх) — ^ (х) Gw.

В этом уравнении в правую часть вместо рвх, Твх могут входить р вх, рВЬІХ либо 0,5 (рвх + рВЬІХ), 0,5 (Гвх +

+ ^ в ы х )-

Для турбин в качестве уравнений третьего типа исполь­ зуем известное приближенное соотношение Флюгеля, спра­ ведливое для тех случаев, когда смена режима приводит к слабым изменениям числа оборотов турбины:

Параметры с индексом «0» относятся к номинальному режи­ му, без этого индекса — к измененйому режиму. Принятие справедливости соотношения Флюгеля — второе допол­ нительное предположение о газовых процессах в турбинах. При этом, конечно, не учитывается изменение числа оборо­ тов турбины при изменении мощности последней. Вызван­ ная этим погрешность тем меньше, чем круче характеристи­ ка мощность — число оборотов у нагрузки. Это нужно иметь в виду при использовании полученных ниже резуль­ татов. В тех случаях, когда на входах в камеру смешения имеются критические режимы течения (как, например, в эжекторе), статические давления на входах нельзя счи­ тать одинаковыми. Появляются дополнительные неиз­ вестные давления, и необходимо написать дополнительные уравнения баланса импульсов для камеры смешения типа

П

Р‘ Fi / (bt) = Рвых Fвых / (^сых) +

102

где / (А,) — газодинамическая функция, а индекс і относит­ ся к входным величинам. Последний член в правой части

пт

где т (А,), л (л) — соответствующие газодинамические фуНК-

ции.

Теперь перейдем к определению тех особенностей, ко­ торыми обладают рассматриваемые газовые тракты произ­ вольной сложности, описываемые системами уравнений типа (3.65)—(3.74). Выявление этих особенностей основано на нахождении решений указанных систем уравнений. Для упрощения дальнейших рассуждений необходимо пе­ рейти к относительным отклонениям координат О - АТ/Т0; л = Ар/р0; } = АG/G0; ф = АА/А0, в которых в ка­ честве баз использованы соответствующие абсолютные зна­ чения координат в невозмущенном режиме. Заметим, что интерес представляют не только малые отклонения, так что линеаризация уравнений (3.65)—(3.74) не имеется в виду.

Покажем, что при изменении на входе тракта температу­ ры или давления или обоих параметров вместе (для кон­ кретности будем говорить об изменении статических тем­ пературы и давления на входе, хотя с одинаковым правом в качестве возмущения можно было бы принять затормо­ женные параметры газа) решение системы уравнений типа (3.65)—(3.74), записанной в относительных координатах, будет для тракта любой сложности следующим:

где ■Ö’bx и явх — известные величины, характеризующие изменение параметров газа на входе в тракт, а индекс і относится к любой точке тракта (в том числе и ко входу, где

1Ö'*BX = ^ВХі ЗТ*ВХ = ^ВХІ ФвХ ~ 0).

103

Из решения (3.75) следуют все особенности рассматривае­ мых трактов.

Первая особенность: относительное отклонение каждого из параметров газа в любой точке тракта одинаково и равно отклонению данного параметра на входе. Следствием этой особенности является то, что зависимость между параметра­ ми газа в любой точке тракта такая же, как и в любом кри­ тическом сечении:

Действительно, так как относительные отклонения каждого из параметров в любой точке тракта одинаковы, то из соот­ ношения

Вторая особенность, вытекающая из (3.75), заключается в наличии у рассматриваемых трактов некоторых инвари­ антных свойств, а именно: в любой точке тракта изменение температуры инвариантно к изменению входного давления, изменение давления инвариантно к изменению входной температуры, а изменение коэффициента скорости к ин­ вариантно к изменению обоих входных параметров газа.

Третья особенность — наличие у рассматриваемых трак­ тов некоторых линейных свойств, хотя соответствующая им система уравнений нелинейна. Действительно, как вид­ но из (3.75), относительные отклонения температуры и дав­ ления в каждой точке тракта прямо пропорциональны от­ носительным отклонениям соответствующих входных пара­

ленных особенностей существенно облегчает исследование как самих этих трактов, так и содержащих их объектов. Действительно, если мы в каком-либо объекте можем вы­ делить газовый тракт, удовлетворяющий нашим требова­ ниям, то при любой его сложности он может быть заменен всего лишь одним соплом, так как на входе в тракт имеет место соотношение (3.76), справедливое для критического сечения сопла. При этом считается, что газ, поступающий на вход выделенного тракта, как бы подается в сопло.

104

туры и расхода для критического сечения введенного сопла. Но тем самым мы нашли и относительные отклонения всех параметров газа в любой точке нашего тракта, так как най­ денные для сопла величины являются входными для всего отброшенного тракта и определяют в соответствии с (3.75) все значения относительных отклонений параметров для

В этом случае, согласно (3.75), можно сразу получить ре­ шение для тракта любой сложности, т. е. сразу становятся известными параметры газа в любой точке тракта.

Докажем теперь, что система уравнений типа (3.65)— (3.74) , описывающая процессы в газовом тракте любой сложности и записанная в относительных отклонениях, имеет решение (3.75). Прежде всего предположим, что у рассматриваемой системы уравнений, описывающей кон­ кретный газовый тракт, существует единственное решение. Обоснованием такого предположения является то, что эта система довольно хорошо описывает реальные физические процессы, которые протекают совершенно однозначно.

Далее доказательство можно провести следующим об­ разом. Если показать, что решение (3.75) удовлетворяет системе уравнений в относительных отклонениях, получен­ ной из системы уравнений типа (3.65)—(3.74), то решение (3.75) и будет тем единственным решением, которое необ­ ходимо найти.

Оказывается, что каждое из уравнений (3.65)—(3.74) любой решаемой системы уравнений, будучи записано в от­ носительных отклонениях, удовлетворяется решением (3.75). Это можно проверить непосредственной подстановкой (3.75) в каждое из этих уравнений. Приведем соответствую­ щие уравнения в относительных отклонениях:

_ Р*ВХ О0 + < х ) .

105

Легко видеть, что решение (3.75) обращает каждое из приведенных уравнений в тождество. Следовательно, (3.75) — решение любой системы уравнений типа (3.77)— (3.87), описывающей газовые тракты произвольной слож­ ности .

Конкретный вид решения (3.75) следует из одного лишь предположения, что относительные отклонения каждого из параметров газа (6-, ■&*, я, я*, /, -ф) одинаковы во всех точках газового тракта (например, # одинаково во всех точках тракта). Действительно, если относительные откло-

106