книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

Выведем важную для практики формулу:

оо

DX = ^ (х — X)2j(x)dx =

—оо

оо оо оо

откуда следует:

DX = {X - X f = Т 2 — Х 2 = M X 2 - (MX)2, (2.57)

т. е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата и квадратом матема­ тического ожидания случайной величины.

Корень квадратный из дисперсии

называется стандартом случайной величины. Стандарт есть среднее квадратичное отклонение случайной вели­ чины от ее среднего значения. Он имеет размерность слу­ чайной величины.

Отношение стандарта к абсолютному значению средне­ го арифметического

называется относительным среднеквадратичным откло­ нением случайной величины от среднего значения или вариацией случайной величины. Эта характеристика имеет важное значение в том случае, когда случайная величина

Все моменты функции распределения можно рассмат­ ривать как некоторые характеристики случайной вели­ чины. Если случайная величина может принимать значе­ ния из ограниченного промежутка, то все ее моменты существуют. Если же промежуток значений случайной величины не ограничен, то могут существовать не все моменты.

Все же моменты второго и более высокого порядков не существуют, так как соответствующие интегралы расхо­ дятся. Дисперсия случайной величины с плотностью веро­ ятности (2.60) бесконечна.

Математические ожидания абсолютных значений (X — а)1сназываются абсолютными моментами к-то поряд­ ка. Нанример,

с©

§|х — X | / (х) dx,

—оо

00

^ |х — X |3 / (х) dx

есть соответственно абсолютные центральные моменты пер­ вого и третьего порядка.

З а д а ч а 44. Все направления отрезка прямой а рав­ новероятны. Найти среднее значение, а также дисперсию длины проекции X этого отрезка на: 1) заданную прямую, 2) заданную плоскость.

Р е ш е н и е . Согласно решениям задачи 33 и 34 функ­ ция распределения угла а между данным отрезком пря­ мой и фиксированной прямой есть

/ (а) = sin а,

а функция распределения угла между отрезком и пло­ скостью

/ (Р) = cos р.

Проекция отрезка на прямую равна a cos ct, а на пло­ скость — a cos р. Поэтому средняя длина проекции от­

резка на прямую

Я

изведению вероятности того, что частица не испытает столкновения на участке пути [О, Л, на вероятность того, что она испытает столкновение на участке пути [Z, Z+ + dl]. Первая величина, по аналогии с (1.79) в задаче 21, равна е~м. Второй множитель равен Xdl. Поэтому

/ (1) dl = е~пЫ1.

Средняя длина свободного пробега частицы

оо

п стандарт

Таким образом, фигурирующий в условии задачи пара­ метр %имеет тот смысл, что его обратной величине равны средняя величина свободного пробега и стандарт свобод­ ного пробега.

З а д а ч а 46. В условиях задачи 38 найти математи­ ческое ожидание, дисперсию и стандарт расстояния г до молекулы—ближайшего соседа.

Р е ш е н и е . Используя найденную в решении за­ дачи плотность вероятности расстояния для ближайшего соседа, находим математическое ожидание

О о

Здесь

Г (а) = ^

о

есть известная гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. (Существуют таблицы этой функции, напри­ мер, Б. И. С е г а л, К. А. С е м е н д я е в, Пятизначные математические таблицы, Физматгиз, М., 1962.)

Дисперсия расстояния до ближайшего соседа

б2 = ^ (г — t)2/ (г) dr =

3__\’h

а стандарт

a0,201 •а-1'».

§22. Связь между моментами относительно

различных начал

Рассмотрим моменты относительно начала Ъи выразим их через моменты относительно начала а:

ОО ОО

^к,ь= 5 (х — b)kf (х) dx — § [(х — а)-\-(а — b)]kf (х) dx =

г=о

Если плотность вероятности f (х) задана в табличной форме, то моменты вычисляются при помощи приближен­ ных формул для определенного интеграла. Центральный и начальные моменты обычно вычислять менее удобно, чем моменты относительно начала а, когда а выбрано удач­ но. Если а принять целым и близким к X (это нетрудно сделать на глаз), то в выражении (2.48) множитель, стоя­ щий перед / (х), вычисляется проще, чем аналогичный множитель в (2.53); в то же время этот множитель в среднем меньше, чем аналогичный множитель в (2.50). Поэтому сна­ чала вычисляют моменты относительно начала а, удобно выбранного, целого и близкого на глаз к X, а затем перехо­

(меньшим звездным величинам соответствует больший блеск), приходящихся на квадратный градус неба, зави­ сит от галактической широты. Считая, что для некоторого значения галактической широты среднее число звезд до данной величины N (т) известно, найти вероятность того, что в некоторой площадке размером в 1 кв. градус, распо­ ложенной на этой широте: 1) не будет звезд с видимыми

матическое ожидание и дисперсию видимой величины яр­ чайшей звезды.

Р е ш е н и е . Среднее число звезд с видимой величичиной, меньшей т, равно N (т). Поэтому среднее число звезд с видимыми величинами, заключенными в проме­ жутке [тх, т 2], равно N (т2) — N (тj). Вероятность встре­ тить ровно к звезд с видимыми величинами, заключенными в промежутке [тх, т2], согласно распределению Пуас­ сона равна

р (к) =* -L [/У(те2) - N (mi)]* е-ГУ(^)-У(т,)].

Вероятность не иметь ни одной звезды в этом промежутке (к = 0), следовательно, равна

Вероятность того, что не встретится звезда в промежутке lm, т + dm], равна

g-[N (m + d m )-N (m )] __ ^-N'(m )dm

а вероятность встретить звезду с видимой величиной в этом промежутке есть

Функция N (т) — математическое ожидание числа звезд до видимой величины т непрерывна и дифференци­ руема.

Так же как было найдено (2.74), найдем, что вероят­ ность не встретить ни одной звезды с видимой величиной меньшей т равняется

e-N<™>. (2.76)

Для тогочтобы ярчайшая звезда имела видимую вели­ чину, заключенную в промежутке [т, т + dm], необхо­ димо, во-первых, чтобы в площадке не было звезды с ви­ димой величиной, меньшей т и, во-вторых, чтобы была звезда с видимой величиной, заключенной в промежутке [/га, т + dm]. Эти два события взаимно независимы, по­ этому искомая вероятность равна произведению (2.76)

на (2.75):

щадке площадью 1 кв. градус, расположенный на опре­ деленной галактической широте.

Для определения математического ожидания видимой величины ярчайшей звезды необходимо (2.77) помножить на т и проинтегрировать по всему промежутку значений видимых величин. Можно принять, что видимые величины всех звезд расположены в промежутке (0, оо,] и, следова­ тельно, N (0) = 0. На самом деле три звезды (Сириус, Канопус и а Центавра) имеют отрицательную видимую вели­ чину, но этим можно пренебречь, так как вероятность по­ падания одной из этих трех звезд в рассматриваемую