книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

функция

хх, ха, . . ., хт, обращающих в нуль все ее частные про­ изводные:

пm

и заменить z4 на y t, то система уравнений (4.89) в развер­ нутом виде запишется так:

Система уравнений (4.91) называется нормальной си­ стемой избыточной системы (4.81). Матрица ее коэффициен­ тов, очевидно, квадратная и симметричная.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема: если матрица (4.84) имеет ранг пг, то матрица (квадратная) коэффициентов, построенных по правилу (4.90), имеет ранг т.

Раз ранг матрицы || с^ || равен т, то определитель нормальной системы (4.91) отличен от нуля и система

§58. Оценивание неизвестных в способе наименьших квадратов при помощи доверительного интервала

Когда система уравнений избыточная, условные урав­ нения вследствие случайных ошибок в измерениях y t противоречат друг другу, и сумма квадратов остаточных погрешностей отлична от нуля.

Используя (4.92), напишем равенство (4.99) в виде

n n m п п

где коэффициенты bsj определяются выражениями (4.93). В равенстве (4.100) правая часть представлена непосред­ ственно через измеренные величины Y, и коэффициенты избыточной системы.

Измерения Y t являются случайными величинами, по­ этому определяемая ими сумма квадратов остающихся погрешностей также является случайной величиной. Под­

Как уже отмечалось выше, если бы в измерениях величин Di случайные ошибки были равны нулю, то избыточная система (4.81) с Y t вместо yt решалась бы точно, сумма квадратов остающихся погрешностей была бы равна нулю.

Правая часть равенства (4.100) при 6*=0 равна нулю. Следовательно, первый и четвертый члены правой части (4.101) взаимно уничтожаются.

Следовательно, в последней сумме правой части (4.101) отличны от нуля математические ожидания лишь тех сла­ гаемых, у которых s = i. Очевидно также, что

для всех значений г; а 0 — средняя квадратическая ошиб­

личины определяются соотношением коэффициентов из­ быточной системы условных уравнений.

Точечные оценки неизвестных х} выражаются через измеряемые величины Y , при помощи линейных соотноше­ ний (4.92). Поэтому согласно закону распространения

Используя (4.93), находим

пп т

Если к Ф /, то (4.110) представляет собой сумму произ­ ведений алгебраических дополнений элементов /-го столб­ ца определителя на соответствующие элементы другого столбца, что, как известно из теории определителей, рав­ но нулю. Для значений жв к = j выражение (4.110) рав­ но определителю D. Поэтому получаем

и искомые соотношения для средних квадратических оши­ бок таковы:

исравним его с равенством (4.29).

Вобоих этих равенствах случайная величина, стоящая под знаком математического ожидания, есть произведение

постоянного коэффициента на случайную величину, яв­ ляющуюся суммой квадратов отклонений от значений вы­ ражений, которые получаются, если в эти выражения вме­ сто измеряемых величин подставить их точечные оценки. Что касается постоянных коэффициентов, то множителю (п — 1) в равенстве (4.29), которое относится к задаче с одной измеряемой величиной, в равенстве (4.114), от­ носящемся к задаче с т измеряемыми величинами, соот­ ветствует множитель (гг — т). Множителю п в равенстве (4.29) соответствует множитель DIDjj в равенстве (4.114).

§59. Проверка гипотез

офункции распределения аргумента. Критерий согласия

Одной из задач математической статистики является вынесение суждения о функции распределения аргумента в статистическом коллективе по полученной случайной выборке.

До сих пор предполагалось, что закон рапределения аргумента известен с точностью до параметров, которые нужно было оценить. Рассмотрим теперь задачу, состоя­ щую в том, чтобы проверить некоторую гипотезу о функции распределения аргумента в статистическом коллективе, определив, совместима ли она с данными полученной слу­ чайной выборки из статистического коллектива.

Предположим, что следует проверить гипотезу состо­ ящую в том, что плотность вероятности аргемента в стати­ стическом коллективе есть / (х). Разобьем промежуток возможных значений х на к интервалов

Тогда вероятность того, что аргумент статистического коллектива примет значение внутри i-го интервала, равна

Допустим, что в полученной случайной выборке объема п частоты, соответствующие интервалам аргумента (4.115),

§ 59] ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 20?

Не противоречит ли этот результат принятой гипотезе? Если объем случайной выборки равен п, то при справед­ ливости гипотезы математические ожидания соответству­ ющих интервалам (4.115) частот равны

Совокупность отклонений полученных частот от их ма­

имеет асимптотическое распределение, такое же, как и случайная величина %2, рассмотренная в § 46 и соответ­ ствующая числу слагаемых в сумме (3.120), равном к—1,

т. е. Хк-1- Как показывает ход доказательства в § 47, уменьшение на 1 номера при %2 вызвано тем, что среди слагаемых в сумме (4.119) независимых всего к — 1, так как должно выполняться условие нормировки

кк

i=l i=l

Если принятая в гипотезе функция распределения / (х) определяется I параметрами, то, чтобы вычислить вероят­ ности (4.116), нужно сначала определить значения пара­ метров. Для этого можно применить метод наибольшего правдоподобия. Как было показано в § 51, при этом оп­ ределяется I соотношений (4.32), связывающих функцию распределения со значениями аргумента в случайной

208 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РА СП РЕДЕЛЕН И Й [ГЛ. 4

выборке. Это равносильно тому, что в сумме (4.119) еще I слагаемых будут зависимыми от других, число незави­ симых слагаемых станет равным к — I — 1. Соответствен­ но рассуждения, аналогичные проведенным в § 47, пока­ жут, что функция распредления величины U, определяе­ мой равенством (4.119), совпадает с функцией распреде­

ления Хх’ где к = к — I — 1.

Таким образом, если функция / (х) описывается I па­ раметрами, которые вычислены методом наибольшего правдоподобия по случайной выборке, определяемой чи­ слами (4.117), то случайная величина (4.119), где p t задаются равенствами (4.116), при выполнении условий (4.120) имеет асимптотическое распределение с плотностью

где % — к — I — 1.

Если гипотеза верна, то отличие величины U от нуля вызывается случайными отклонениями частот ntj от их математических ожиданий npi. Интеграл

равен, следовательно, вероятности того, что при справед­ ливости проверяемой гипотезы величина (4.119) примет значение, не меньшее и.

Если при подстановке вместо и вычисленного по слу­ чайной выборке значения U эта величина будет мала, то едва ли можно допустить, что соответствующее событие произошло: будет больше оснований считать, что значи­ тельные отклонения лг* от npi вызваны неверностью гипо­ тезы о функции распределения аргумента в статистиче­ ском коллективе. В противном случае можно сделать вы­ вод о возможности объяснения отклонений mi от npi случайностью и заключить, что данные наблюденной слу­ чайной выборки не противоречат гипотезе. Как бы близка к единице полученная величина ни была, нельзя утверж­ дать, что доказана справедливость гипотезы. Можно лишь