книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

Оказывается, что во многих случаях, формально считая б обычной функцией, приходят к правильному результа­ ту в выкладках, разумеется, не забывая о том, что «за­ шифровано» в записи (2.38).

Дельта-функцию можно использовать для введения плотности вероятности в случае дискретной случайной

можно рассматривать как плотность вероятности X. Согласно (2.21) интегральный закон распределения

X

$ б (£ -*,)< £ = О

—ОО

исоответствующее pi в сумму (2.40) не входит. Таким обра­ зом, F (х) совпадает с (2.5) — интегральным законом рас­ пределения для дискретной случайной величины; следо­ вательно, f (х) есть плотность вероятности.

Совершенно так же убеждаемся, например, в справед­ ливости равенства

Введение при помощи дельта-функции плотности ве­ роятности дискретной случайной величины позволяет

§ 20] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 75

применять одну и ту же форму записи операций для ди­ скретных и непрерывных случайных величин.

З а д а ч а 42. Определить плотность вероятности для случайной величины — количества очков при бросании игральной кости.

Р е ш е н и е . Случайная величина принимает значе­ ния 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое с вероятностью 1/6. Поэтому

в

/(*) = 4 -2 8{x — i). i=l

З а д а ч а 43. Определить плотность распределения скоростей частиц относительно центра инерции системы, состоящей из двух движущихся навстречу друг другу со скоростью а потоков частиц. Частицы, принадлежащие одному потоку, имеют равные скорости, и число частиц

впотоках одинаково.

Ре ш е н и е , п частиц имеют скорость а и столько же частиц имеют скорость —а, поэтому

/ (у) = 4 ~ [б {v — а) + б (v + а)}.

§ 20. Математическое ожидание функции от случайной величины

Если / (х) есть плотность вероятности случайной вели­ чины X, а т] (X) — некоторая функция от этой случайной величины, то величина Mr\ (X), определяемая равенством

о о

называется математическим ожиданием ц (X). Пропис­ ная буква М, ставящаяся перед обозначением функции, используется как знак математического ожидания. Мате­ матическое ожидание случайной величины не есть слу­ чайная величина. Это постоянная величина, определяе­ мая согласно (2.41) функцией ц (х) и законом распределе­ ния случайной величины. Она имеет смысл среднего ожидаемого значения ц (X) при выполнении испытаний.

Для дискретной случайной величины X математиче­ ское ожидание т) (X) может быть записано в виде

о о о с

если т) (ж) непрерывна в точках *) xlt х2, . . .

При бросании игральной кости математическим ожи­ данием куба появляющегося количества очков является

M X 3 = I 3- ~ + 23- 4* + • • • + 63- 4 " = 73>5-

Поэтому игра, состоящая в том, что бросающий кость игрок делает ставку и получает выигрыш в копейках, равный кубу появляющегося количества очков, будет справедливой, если уплачиваемая им ставка равна 73,5 ко­ пейки. В этом случае возможный проигрыш будет только результатом «невезения», а возможный выигрыш только результатом «везения», но не следствием несправедливо­ сти условий для одной из играющих сторон.

Если бы игральная кость имела не вполне правильную форму, такую, например, что вероятности появлений чи-

сел 1,2,3 были бы равны а -g-, а вероятности появления

чисел 4, 5, 6 были бы равны b > -^-(при этом должно вы­

полняться равенство За + ЗЬ = 1), то математическое ожидание Xs было бы больше, чем 73,5, так как стано­ вятся более вероятными большие значения случайной величины X3.

Если

Л (X) = % (X) + ть (X),

*) Чтобы применение к ц (х) операции б было законно, мы, не ограничивая общности, можем считать, что функция ц (х) не­

прерывная всюду (иначе ее можно заменить непрерывной, совпа­ дающей с ней в точках эц функцией).

ТО

ос

Мц ( Х ) = J [% И + vh(x)]f{x)dx = Мщ{Х) + Мг\2(Х).

(2.43)

Следовательно, математическое ожидание суммы функций равно сумме математических ожиданий этих функций. Точно так же доказывается, что если с — постоянная ве­ личина, то

Очевидно, что размерность математического ожидания функции случайной величины такая же, как у функции случайной величины.

В частном случае, если ц (X) = X , равенство (2.41) дает математическое ожидание самой случайной величины

Математическое ожидание случайной величины является ее важнейшей характеристикой. Как отмечалось выше, она имеет смысл среднего значения случайной величины.

Из (2.42) следует, что для дискретной случайной вели­ чины ее математическое ожидание равно

Часто вместо Мр (X) для обозначения математического ожидания употребляют горизонтальную черту, которую

ставят над функцией, например, X, Xs, sin2X- Равенства (2.43) и (2.44) можно записать так:

% (^0 + % {X) — fli (^0 + Лг (X),

(2.47)

CTl(X) = сц (X).

В последнее время входит в употребление также сле­ дующее обозначение математического ожидания:

Мр (X) = <Т1(Х)>.

§ 21. Моменты функций распределения

Математическое ожидание функции

(X - а)к

называется моментом к-то порядка относительно начала а случайной величины X. Говорят также, что это момент к-го порядка функции распределения / (х). Обозначим его

^к,а'

Момент к-то порядка имеет размерность к-й степени раз мерности случайной величины.

Очевидно, что для любой функции распределения мо

Для дискретной случайной величины выражение началь­ ного момента запишется в виде

Очевидно, что математическое ожидание случайной вели­ чины есть начальный момент первого порядка,