книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

нии, меньшем р, от центра сферы, равна А,3. Следовательно, искомая вероятность

З а д а ч а 32. Найти наивероятнейшее число появле­ ний единиц при бросании игральной кости 3000 раз.

Р е ш е н и е . Так как в этой задаче р — 1/6, п = 3000, то согласно (2.11) наивероятнейшим числом т появлений единицы будет 500. Это не означает, что вероятность появ­ ления 1 при 3000 бросаниях игральной кости велика. При помощи формулы (2.7) легко подсчитать (для этого надо использовать формулу (Стирлинга), что

Рзооо (500) 5S 0,01954,

т. е. эта вероятность мала. Она мала потому, что имеется большое число других возможных частот появления 1 при 3000 бросаниях игральной кости. Но вероятность любого другого количества появления 1 меньше, чем />3000 (500).

§ 15. Гипергеометрическое распределение

Из урны, в которой имеется S шаров, в том числе N белых, случайным образом последовательно извлекается п шаров. Чему равна вероятность того, что среди них ока­ жется ровно т белых шаров. Должны, очевидно, выпол­ няться неравенства N ^ S, п S, т N, т п.

Вероятность достать белый шар при первом извлечении

N

р = — .

Если каждый раз, как извлечен шар, записывать его цвет и возвращать шар в урну, то вероятность события А — получить белый шар при каждом извлечении — будет од­ на и та же, равная р. Эта задача была рассмотрена в § 12 и привела к биномиальному распределению (1.101). Иног­ да ее называют задачей на извлечение с возвращениями.

Предположим теперь, что извлеченные шары не воз­ вращаются в урну. Тогда формула (1.101) неприменима,

так как вероятность события А будет все время меняться

взависимости от того, произошло или не произошло оно

впредыдущем испытании. Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А произойдет т раз в схеме извлечений без возвращений.

Рассмотрим различные последовательности из п из­ влекаемых шаров. Число таких равновозмошных после­

довательностей равно

С П

S*

Число благоприятных событий (когда получено т белых шаров) равно числу сочетаний из N белых шаров по т, умноженному на число сочетаний из S —N не белых ша­ ров по п — т. Таким образом,

/-tin ггп—т

Рп (т) - bNb8-N

СS

(2.13)

Распределение (2.13) называют гипергеометрическим. Как и в биномиальном распределении, найдем значе­

ние т, при котором вероятность достигает максимального значения. Должны выполняться неравенства

Роли S u n велики, то приближенно максимум вероятно­ сти достигается при

§ 16. Распределение Пуассона

Рассмотрим даваемое формулой (1.101)

Ги !

=) ( РтГ - т,

Р + 5 = 1.

биномиальное распределение, определяющее вероятность появления события А т раз при п испытаниях.

Предположим, что число испытаний п очень велико, и пусть

Зафиксируем а и устремим п к бесконечности. Поскольку

рравно а/п, оно будет стремиться к нулю. Заменим в (1.101)

рна aln, a q — на 1 — aIn:

Рп(т)=

Полученное распределение называется распределением Пуассона для случайной величины — числа наступлений события А. Это распределение является точным, если п бесконечно велико (а р соответственно бесконечно мало). Однако оно может быть с успехом использовано и для конечных, но больших п, так как для больших п точность его весьма велика, а вычислять вероятности по формуле Пуассона проще, чем по формуле биномиального распре­ деления, в особенности в тех случаях, когда а невелико, не превосходит нескольких единиц.

Именно в тех случаях, когда а мало, и, кроме того, требуется учитывать вероятности только небольшого чис­ ла первых значений т (для больших значений т вероят­ ности очень малы), распределение Пуассона наиболее упот­ ребительно.

всюду, за исключением, быть может, множества точек х лебеговой меры 0.

Будем называть случайную величину, отвечающую это­ му требованию, непрерывной.

Функция / (х) называется дифференциальным законом распределения случайной величины. Для того чтобы по­

Таким образом, произведение / (х) на dx с точностью до бесконечно малых высших порядков равно вероятности того, что случайная переменная примет значение, заклю­

наряду с термином дифференциальный закон распреде­ ления употребляют также термин плотность вероятности. Целесообразность этого термина следует из такой анало­ гии. Если рассматривается линейный стержень с перемен­ ной линейной плотностью (массы) / (х), то, как известно, выражение в правой части (2.23) дает массу стержня, за­ ключенную в промежутке [а, Ь], а выражение в правой части (2.24) — массу стержня в промежутке [х, х + dx]. Поэтому, поскольку в нашей задаче левые части равенств (2.23) и (2.24) определяют вероятности, то функцию / (х) уместно назвать плотностью вероятности.

прямой равновероятны, если вероятность, что полупря­ мая пройдет через любой отрезок дуги проведенной ок­ ружности, пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения.

Пусть радиус окружности равен 1. Вероятность того, что рассматриваемый угол будет заключен в промежутке [а, а -f- da], пропорциональна соответствующему диффе­ ренциалу дуги, который равен da. Следовательно,

/ (a) da = сda.

Постоянная с находится из условия нормировки. Если угол отсчитывается в определенном направлении, то он может принимать значения в промежутке [0, 2я]. Следо­ вательно,

о

и

З а д а ч а 34. Найти функцию распределения угла между закрепленной полупрямой и полупрямой, все нап­ равления которой в пространстве равновероятны.

Р е ш е н и е . Понятие равновероятности всех нап­ равлений полупрямой в пространстве определяется сле­ дующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой точки произволь­ ным радиусом сферу. Мы будем говорить, что все направ­ ления полупрямой равновероятны, если вероятность того, что полупрямая пройдет через любую область сферы, про­ порциональна площади поверхности этой области и не за­ висит от ее формы. (Если это условие выполняется, то при многократном испытании точки пересечения полупрямой со сферой будут стремиться равномерно заполнить сферу.)

Полупрямую с фиксированным направлением также проведем из центра сферы; пусть это будет вертикальная полуось (рис. 8). Пусть радиус сферы равен 1. Рассматри­ ваемая случайная величина — угол между двумя полу­ прямыми — может принимать значения из промежутка [О, я]. Вероятность того, что она примет значение из про­ межутка [of + dal, равна вероятности попадания под-

что атом не распадается за время t, умноженной на ве­ роятность того, что он распадается за следующий проме­ жуток времени dt. Следовательно,

/ (t) dt — e~uXdi.

З а д а ч а 37. Пространство заполняет газ. Вероят­ ность встретить молекулу газа внутри бесконечно малого объема dv равна a dv. Для любой молекулы в любой момент времени найдется какая-то молекула — ближайший сосед. Расстояние до ближайшего соседа есть случайная вели­ чина. В разные моментывремени она различна. Найти функ­ цию распределения расстояния до ближайшего соседа.

Р е ш е н и е . Для того чтобы ближайший сосед нахо­ дился на расстоянии, заключенном между г и г + dr, не­ обходимо, 1) чтобы расстояние до ближайшего соседа было

молекула — вероятность этого события равна aAnr2dr. Так как эти два события взаимно независимы, то вероят­ ность, что произойдет и то, и другое, равна произведению их вероятностей. Следовательно,

Деля обе части (2.28) на r2dr, дифференцируя по г и имея в виду (2.22), получаем

7 - г /' (г) “ ~ ~ f ^ = ~~

\

Деля обе части на — f(r) и интегрируя, находим

Произвольная постоянная находится из условия норми­ ровки (2.26). Окончательно получаем

Как показывает (2.30), при возрастании г плотность ве­ роятности расстояния до ближайшего соседа растет от нуля, достигает максимума при г = (2яа)_,/*, а затем убывает, стремясь к нулю.

§ 18] ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 69

§ 18. Функции от случайной величины

Очевидно, что Y также является случайной переменной, причем если X — дискретная случайная величина, то и Y — дискретная случайная величина.

Поставим задачу нахождения функции распределения Y, если известна функция распределения X. Ограничим­ ся при этом случаем, когда т] (х) является строго монотон­ ной функцией и, следовательно, X и Y однозначно опреде­ ляют друг друга. Этот случай имеет основное прикладное значение.

Для дискретных случайных величин задача тривиаль­ на. В самом деле, если возможные значения X

3/2, . . ., Xjii

имеют соответственно вероятности

Р 15 Рг? • • *j P n i

то вычисленные по формуле (2.31) возможные значения Y

У\1 Уг, ■• м Уп

имеют соответственно те же вероятности.

Чтобы решить задачу для непрерывной случайной ве­ личины, рассмотрим два случая.

1. Функция т) (х) монотонно возрастающая. Тогда, очевидно, если у = ц (х), то для интегральных функций

2.Функция ц (х) монотонно убывающая. Тогда, если

у= г] (х), то для интегральных функций распределения справедливо равенство

Приравняем дифференциалы обеих частей (2.32):