книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие
.pdf50 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ [ГЛ. 1
По формуле полной вероятности (1.93) находим вероят ность выхода из строя прибора:
Р ^ 0,0595-0,3 +0,0102-0,7 +0,0007-1 ^ 0,0257.
З а д а ч а 26. В первых 20 партиях матча на первенст во мира по шахматам четыре партии выиграл чемпион ми ра, шесть партий выиграл претендент и 10 партий закон чились вничью. Чтобы сохранить свое звание, чемпиону мира в оставшихся четырех партиях нужно набрать не меньше трех очков. Какова вероятность того, что чем
пион мира сохранит |
свое |
звание (выигрыш приносит |
1 очко, ничья — 1/2 |
очка, |
проигрыш — 0 очков). |
Р е ш е н и е . В сыгранных 20 партиях относительная частота выигрышей у чемпиона мира равна 0,2, проигры шей — 0,3 и ничьих — 0,5. Предположим, что эти отно сительные частоты равны вероятностям соответствующих событий. Чтобы чемпион мира набрал не менее трех оч ков, необходимо осуществление одного из следующих событий: 1) все четыре партии выиграл чемпион, 2) три партии чемпион выиграл и одну свел вничью, 3) три пар тии чемпион выиграл и одну проиграл, 4) две партии чемпион выиграл и две свел вничью. Вероятности этих событий согласно формуле (1.100) соответственно равны
Pi - |
А (4, 0, 0) = |
iL |
-0,24 = 0,0016, |
|
Р а = |
р4(3,0,1) = |
4р0,23-0,5 = |
0,0160, |
|
Л, = |
Л (3 ,1 ,0 )= > |- 0,23-0,3 = |
0,0096, |
||
Р4 = |
Pi (2,0, 2) = |
0,22 • 0,52 |
^ 0,06. |
|
Так как эти события несовместимы, то искомая вероят ность
Р = л + Рг + Р 3 + Р4 = 0,0872.
Полученное решение не является строгим, так как за вероятности событий приняты относительные частоты этих событий. Его можно считать приближенным. Если бы
§ 12] ВЕРОЯТНОСТЬ СЛОЖНОГО СОБЫТИЯ 51
число сыгранных партий было бы большим, то прибли жение было бы лучшим. В выполненном решении пред полагается также, что вероятности исходов партий в ходе матча не изменяются, не сказываются, например, утомле ние или какие-нибудь иные психологические факторы, за висящие от времени.
3 а д а ч а 27. Система состоит из большого числа (п) частиц. Объем Г фазового пространства (шестимерного пространства, координатами которого являются три ко ординаты положения и три компонента скорости), в кото ром могут находиться частицы, ограничен. Найти наиве роятнейшее распределение частиц в элементах фазового объема.
Р е ш е н и е . Разобьем объем Г фазового пространства
на элементы объема y lt |
у2, . . |
., y k. Вероятность попада |
|
ния частицы в i-й элемент фазового пространства р; = |
. |
||
Следовательно, вероятность попадания в объемы |
у2, ... |
||
. . . , y h соответственно |
пи |
/г2, . . ., п к частиц равна |
|
Рп (пъ пг, . . nh). Нужно найти максимум этого распре-
к
деления при условии постоянства числа частиц 2 Щ=-п.
i—1
Согласно правилу нахождения условного экстремума сос тавим функцию Лагранжа
L == In- |
п\ |
|
Р”‘Р22• • • Р** + а 2 |
/и! т\ |
v |
||
|
|
i=i |
где а — неопределенный коэффициент Лагранжа. Беря частные производные L и приравнивая их нулю, находим
д 1пгеЛ |
Ь In Р;"+ п = 0, i = i , 2 , . . . , k . |
------^ ----- |
|
i |
|
Так как п очень велико, то первый член с высокой точ ностью равен приращению In щ\, когда яг возрастает на единицу. Имеем
Эп.1]
^ In (п 1)! — In n! == In (п + 1) ^ In п.
52 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ [ГЛ. 1
Таким |
образом, |
получаем |
|
|
п. |
— а = const, |
i = 1, 2 , . . . , к, |
|
In — |
||
|
Pi |
|
|
откуда |
следует, |
что |
|
|
|
nt = |
cpt. |
кк
Так как ^ щ = п, |
2 Pi — 1» |
т0 из этого вытекает, что |
г=1 |
t = l |
|
|
Щ= ПРг = |
П, |
т. е. при наивероятнейшем распределении число частиц в фазовых элементах пропорционально объему этих эле ментов.
3 а д а ч а 28. Предыдущую задачу решить при усло вии, что и стоянная полная энергия системы равна сум ме энергий частиц. Энергия частиц определяется тем, в каком фазовом элементе они находятся.
Р е ш е н и е . К условию постоянства числа частиц в предыдущей задаче теперь прибавляется условие посто янства полной энергии системы
2 щЕх= Е.
г—1
Функция Лагранжа дополняется членом
к
р2 «i^i. i=l
ипосле приравнивания частных производных нулю получаем
—In rii -(- In pi - f a — §Et — 0.
Отсюда следует, что |
|
щ = р {е |
Г Ti*,a-pЕ, |
Полученное распределение |
называется распределением |
Максвелла — Больцмана. |
|
§ 12] |
ВЕРОЯТНОСТЬ СЛОЖНОГО СОБЫТИЯ |
53 |
Отличие полученного результата от результата пре дыдущей задачи объясняется тем, что учет постоянства полной энергии системы фактически означает, что учи тывается взаимодействие частиц между собой. Именно при взаимодействии частиц между собой существенно соблюдение закона сохранения энергии. Следовательно, закон распределения Максвелла — Больцмана получа ется тогда, когда в результате состоявшегося взаимодей ствия частиц между собой установилось равновесное сос тояние системы. В задаче 27 постоянство энергии системы не упитывалось; это фактически означало, что рассмат ривалась система не взаимодействующих частиц.
Глава 2
СЛУЧАЙНАЯ в е л и ч и н а
§ 13. Случайная величина с дискретным распределением
Переменная величина, принимающая различные зна чения в зависимости от случая, называется случайной ве личиной.
Допустим, что некоторая величина X может прини
мать значения |
х к. |
,п .. |
®i, ®a, • • |
(2.1) |
Каждый раз, как выполняется некоторый комплекс ус ловий, величина X принимает одно из значений (2.1). Пусть при этом вероятности того, что X примет то или иное из значений (2.1), соответственно равны
|
Ри |
Pi, |
• • |
Ри- |
(2-2) |
Очевидно, должно |
выполняться |
равенство |
|
||
|
2 |
й |
= 1. |
|
(2.3) |
|
1=1 |
|
|
|
|
Если вероятности (2.2) известны, то говорят, что рас |
|||||
пределение случайной величины] |
X известно, |
и что слу |
|||
чайная величина |
X задана. |
|
|
|
|
Можно сказать, что, как и в случае (1.90), задается полная система событий, и события состоят в том, что случайная величина принимает то или иное из значений (2.1) с вероятностями (2.2).
Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принимать, можно прону меровать. Число этих значений может быть и неограни ченным, нужно лишь, чтобы мог быть указан метод нуме рации, при котором не будет пропущено ни одного воз можного значения случайной величины. Иначе говоря, дискретной случайной величиной называется такая слу чайная величина, которая может принимать значения,
§ 13] СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 55
образующие счетное множество. Распределение дискрет ной случайной величины называется дискретным рас пределением.
Примером дискретной случайной величины может быть, например, число фотонов, излучаемых атомом во дорода при каскадном переходе из г-го возбужденного состояния в основное состояние. Число фотонов при этом может равняться 1, 2......... i — 1 и является случайной величиной. Дискретной случайной величиной будет также энергия первого фотона, излученного при каскадном переходе.
Другим примером дискретной случайной величины является число солнечных пятен с площадью, большей некоторого заданного значения S, наблюдаемых в тече ние дня на солнечном диске.
Дискретной случайной величиной является также число лепестков в цветке сирени. Как известно, вероят ность того, что у случайно выбранного цветка сирени имеется четыре лепестка, близка к единице, вероятности трех или пяти лепестков малы, а вероятности встретить другие значения числа лепестков еще намного меньше.
В водородном газе при некоторой заданной темпера туре атомы могут находиться как в основном состоянии, так и в возбужденных состояниях. Возбужденных состоя ний бесчисленное множество, но они распределены дис кретно и имеют точку сгущения, определяемую потенциа лом ионизации. Следовательно, множество возбужденных состояний атома водорода счетно. Случайная величина— номер возбужденного состояния (основное состояние бу дет иметь номер 0) некоторого наудачу выбранного ато ма — является дискретной случайной величиной с бес конечно большим числом значений.
Интегральным законом распределения или интеграль ной функцией распределения случайной величины X назы вается функция F (ж), равная вероятности того, что слу
чайная величина X примет значение, меньшее ж, |
|
F(x) = Р (X < ж). |
(2.4) |
Очевидно, что |
|
F(x)= 2 Рь |
(2.5) |
х г<х |
|
где суммирование ведется по всем i, для которых жг <1 ж.
56 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА [ГЛ. 2
Функция F (х) является монотонно возрастающей функцией, так как при возрастании х к правой части (2.5) могут только добавиться положительные члены — веро ятности событий. При изменении х от — оодо ос функция F (х) растет от 0 до 1 и имеет ступенчатый вид, как это для примера'показано на рис. 6,а. Если возможные значения X ограничены снизу величиной М и то F (Mt) = 0. Если воз
можные |
значения X ограни |
||||
чены сверху |
величиной |
М 2, |
|||
то |
F (М2 + |
Д) = 0, где |
Д— |
||
любая |
положительная вели |
||||
чина. |
|
|
|
|
|
|
Если а < |
ft, то на основа |
|||
нии теоремы |
сложения веро |
||||
ятностей справедливо равен |
|||||
ство |
|
|
|
|
|
P ( X < a ) + P(a<?X<ft)^= |
|||||
|
|
|
|
= Р (X < ft), |
|
откуда |
на основании |
(2.4) |
|||
следует, |
что |
|
|
||
Р (а < |
X |
< |
Ь) = |
|
|
|
= F (ft) |
_ F (а), |
(2.6) |
||
т. |
е. |
вероятность для |
слу |
||
чайной величины принять значение, лежащее между а и ft, равна разности интегральных функций распределения для аргументов Ь и а.
|3 а д а ч а 29. Электролампа многократно включается и выключается. Вероятность перегорания лампы при од ном включении и выключении равна р. Рассмотреть слу чайную величину — порядковый номер включения и вык лючения, при которых лампа перегорит,— и найти ее распределение.
Р е ш е н и е . Эта дискретная случайная переменная имеет бесконечно большое число возможных значений. Вероятность того, что лампа перегорит при к-и включе нии и выключении, равна произведению вероятности то го, что она не перегорит при к — 1 первых включениях и выключениях, на вероятность того, что в следующем,
§ 13] |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
57 |
к-м включении, она перегорит:
(1 — р.
Следовательно, возможные значения случайной пере менной
1, 2, . . к, . . .
имеют соответственно вероятности
Р, (! — Р)Р, . . . . (1 — р)к-гР, . • •
Вероятность того, что лампа не перегорит после к включений и выключений, равна (1 — р)к, поэтому ин тегральный закон распределения
F (к) = 1 - (1 - р)*,
что можно получить и суммированием вероятностей зна чений случайной переменной до к — 1.
• З а д а ч а 30.’ Известно, что отношение числа крат ных систем звезд с кратностью’^ к числу кратных систем звезд с кратностью к — 1 приблизительно постоянно (не зависит от к) и равно Ъ. В предположении, что этот закон
выполняется строго, (рассмотреть в |
качестве |
случай |
ной переменной кратность”^ системы, |
которой |
принад |
лежит случайно выбранная звезда, и найти ее рас пределение.
Р е ш е н и е . Число систем кратности к согласно условию равно сЪк~1, где с — число одиночных звезд. Число звезд в системах кратности к равно ckb^1. Веро ятность того, что случайно выбранная звезда принадле жит системе кратности к, равна
кЪк_1 |
■ |
|
Рк = |
|
|
kbk_1 |
|
|
k=i |
|
|
Так как знаменатель дроби равен |
1 |
то |
(1 — Ь)2 |
Ph = (1 — Ь)2кЬ*-\
что и определяет искомое распределение.
58 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
£ГЛ. 2 |
§ 14. Биномиальное распределение
Примером дискретной случайной величины является число появлений пт событий А при выполнении п испы таний. Возможными значениями т этой случайной ве личины являются
т = О, 1,2, . . ., п,
а соответствующие вероятности вычисляются по формуле
( 1.101):
Рп (т ) = —гг~~— ггpmqn~m. v ' га! (ге —га)! г а
Условие (2.3) легко проверяется. В самом деле, поскольку (1.101) представляет собой выражение для общего члена бинома Ньютона, то, имея в виду, что р -f- q = 1, находим
ПП
2 Рп И = 2 т | (в~-~Ж |
= (Р + ЯУ = !• (2-7) |
|||
ТП=0 |
тп = 0 |
: |
' |
|
Таким образом, выражение (1.101) определяет распре деление случайной величины — числа появлений события А при п испытаниях. Это распределение, вследствие того, что оно имеет такой же вид, как и общий член разложе ния бинома Ньютона, называют биномиальным распреде лением.
Если число испытаний п велико, а вероятность р реа лизации события А не очень близка к нулю и не очень близка к единице, то маловероятно, чтобы событие А при п испытаниях случилось очень малое число раз или число раз, близкое к п. Очевидно, что при малых т вероятность Рп (т) растет с увеличением т, а для т, близких к п, она убывает при увеличении т. Можно предположить, что для какого-то значения т вероятность рп (яг) достигает максимума. Для определения этого максимума отметим, что если он достигается при значении т, то должны быть справедливы два неравенства
PnW |
(2.8) |
|
/»„(«) ^ ’ р„(»*+1) |
||
|
Вычисляя при помощи (1.101) величины в левых частях
§ 14] |
БИНОМИАЛЬНОЕ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ |
59 |
||
(2.8), |
находим |
|
|
|
|
|
т |
q д |
т + 1 |
4 > |
(2.9) |
|
п— т |
1 |
’ п— га |
р |
|
Решая эти неравенства относительно т и учитывая, что р + q = 1, получаем для значения т, при котором р п (т) достигает максимума, неравенства
т ^ пр + р, т пр — q. |
(2.10) |
Интервалу [пр — q, пр + р] в общем случае принадлежит только одно целое число, в частном же случае, когда кон цы интервала целые числа,— два целых числа. Таким об разом, максимум рп (т) достигается в общем случае при одном значении т, а в некотором частном случае при двух последовательных значениях т.
Часто вместо случайной величины га целесообразно рассматривать относительную частоту события А
in
П
Когда п велико, из неравенства (2.10) следует приближен ное равенство
“Г = Р. |
. (2-И) |
т. е. наивероятнейшим значением относительной частоты является вероятность того, что событие произойдет в од ном испытании.
Часто также рассматривают случайную величину
Х т = ^ - р , |
(2.12) |
которая представляет собой отклонение относительной частоты от наивероятнейшего значения.
З а д а ч а 31. В сфере радиуса г находится п молекул газа. Найти вероятность того, что из них ровно т молекул будут находиться на расстоянии, меньшем р = Кг от цент ра этой сферы (т ^ п, X ^ 1).
Р е ш е н и е . Так как отношение объема сферы с ра диусом р к объему всей сферы равно К3, то вероятность р того, что какая-то одна молекула окажется на расстоя