книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

3 а д а ч а 20. В условии задачи 7 найти вероятность того, что ровно тп зрителей (т п) будут сидеть на своих местах.

Р е ш е н и е . Вероятность того, что определенные т зрителей будут сидеть на своих местах, равна

(га — т)\

га! *

Вероятность того, что остальные п — т зрителей при этом окажутся сидящими не на своих местах, согласно

вадаче 7 равна

п~m

По теореме умножения вероятность того, что определен­ ные тп зрителей окажутся на своих местах, а остальные зрители — не на своих местах, равна

Но из п зрителей определенные тп зрителей могут быть

выбраны Сп различными способами. Как бы ни были выбраны эти тп зрителей, вероятность того, что они ока­ жутся на своих местах, а остальные зрители — не на своих местах, определяется выражением (1.76). Все эти случаи несовместимы. Поэтому вероятность того, что какие-то тп зрителей окажутся на своих местах, а осталь­ ные п — тп зрителей — не на своих местах, равна, согла­

сно теореме сложения вероятностей, произведению (1.76) w r*m

ИС п

—m

атома за время dt равна %dt. Вероятность распада атома не зависит от того, как долго атом уже существует, не распадаясь. Поэтому X не зависит от времени. Какова вероятность распада атома за время t? Найти зависимость между коэффициентом X и временем полураспада Т.

В промежутке времени t промежуток времени dt содер­ жится d/dt раз. Вероятность того, что за время t атом не распадается, равна, согласно теореме умножения, произ­ ведению t j d t множителей (1.77):

Считая dt бесконечно малым, получим из (1.78) после предельного перехода е~Х(. Искомая вероятность, таким образом, равна

пада атома. Приравнивая (1.79) числу 1/2, находим

§ 9. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Введенные выше классическое и статистическое опре­ деления понятия вероятности не являются достаточными для построения общей теории. Классическое определение не может быть использовано в общем случае, когда нельзя определить полную систему конечного числа равновоз­ можных случаев, часть которых благоприятна для собы­ тия А, а остальная часть для него неблагоприятна.

С другой стороны, относительная частота появления события А может служить лишь приближенным значе­ нием, некоторой оценкой вероятности события А. Только в тех случаях, когда частота появлений события А на­ столько велика, что ошибки измерения относительной час­ тоты в физических опытах и в астрономических наблюде­ ниях заведомо превосходят ее случайные отклонения от вероятности события А, можно на данном этапе развития науки рассматривать наблюденную относительную частоту как вероятность события А.

§ 9J а к с и о м а т и ч е с к о е п о с т р о е н и е т е о р и и 43

Чтобы построить теорию вероятностей, непротиворе­ чивую и свободную от ограничений, в основу ее следует положить систему аксиом. Эти аксиомы, так же как, нап­ ример, аксиомы евклидовой геометрии, формулируются как результат жизненного опыта, практической дея­ тельности человека. Ввиду того, что относительная частота в обширных сериях испытаний приближенно равна ве­ роятности события, аксиомы теории вероятностей должны формулироваться так, чтобы правила действий с вероят­ ностями и относительными частотами совпадали. При­ нятая в теории вероятностей система аксиом сформули­ рована А. Н. Колмогоровым.

А к с и о м а I. С каждым событием А данного поля событий связывается число Р (А), называемое его веро­

Эта аксиома сложения вероятностей несовместимых событий соответствует очевидному правилу сложения относительных частот. В самом деле, если в данной серии из п испытаний относительные частоты событий Си С2, ...

А к с и о м а IV. Если событие А может быть пред­ ставлено как сумма бесконечной последовательности

причем бесконечный ряд в правой части (1.85) предпола­ гается сходящимся.

Эта аксиома, называемая расширенной аксиомой сло­ жения, необходима, так как часто приходится рассмат­ ривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.

Из сформулированных аксиом вытекает ряд уже зна­ комых нам элементарных следствий.

1) Из очевидного равенства

U + V = U

и аксиомы II следует, что

P(U) + P(V) = P(U)

и, следовательно, вероятность невозможного события

сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

3)Из очевидных равенств

А+ В = A -f- АБ,

В= АВ -f АВ,

вкоторых слагаемые правых частей несовместимы, сог­ ласно аксиоме II получаем

Таким образом, теорема сложения вероятностей есть следствие аксиомы II.

№ СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ [ГЛ. 1

Соотношение (1.93) носит название формулы полной ве­ роятности.

3 а д а ч а 22. Среди наблюдаемых спиральных галак­

0,0020, в галактике Sb — 0,0035 и в галактике Sc — 0,0055.

Найти вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в далекой спиральной галактике, подтип кото­ рой определить не удается.

Р е ш е н и е . Согласно данным о доле каждого под­ типа спиральных галактик среди всех наблюдаемых га­ лактик вероятности того, что данная далекая галактика принадлежит к указанным подтипам, соответственно равны

P(Sa) = 0,23, Р (Sb) = 0,31, Р (Sc) = 0,46. (1.94)

Поэтому по формуле (1.93)

IP = 0,23-0,0020 +0,31-0,0035 + 0,46-0,0055 ^ 0,0041.

§11. Теорема Байеса

Вобщем случае вероятности Р (Я | A t), которые со­

бытия A t «сообщают» событию Я, различны. Допустим, что стало известно о происшедшем событии Я, но неиз­ вестно, какое при этом произошло событие из полной системы (1.90). Можно утверждать, что вероятности Р (Ai | Я) отличны от Р (Аь). Должны возрасти вероят­ ности тех из событий (1.90), которые «сообщали» большие вероятности событию Я, и — уменьшиться вероятности событий, «сообщавших» событию Я малые вероятности.

Напишем согласно теореме умножения вероятностей:

а р { \ ) р ( н \ А 1) i=*1

Полученная формула носит название теоремы Байеса. Она позволяет найти новые вероятности событий А г, если известно, что событие Н произошло.

Вчастном случае, если

Р(Л 1) = Р (4,) = ... = Р (Л ) = ^ - |

(1.97) показывает, что если до того, как стало известно о происшедшем событии Н, вероятности событий A t были равны, то после того как стало известно, что событие Н произошло, вероятности событий A t становятся пропор­ циональными тем вероятностям, которые они «сообщали» событию Н.

З а д а ч а 23. В условиях задачи 22 определилось, что в течение года наблюдений далекой спиральной галак­ тики в ней обнаружена вспышка одной сверхновой звезды. Найти теперь вероятность того, что галактика принадле­

Как и следовало ожидать, по сравнению с (1.94) вероят­ ность Sa уменьшилась, а вероятность Sc возросла.

§ 12. Вероятность сложного события

Рассмотрим полную систему событий (1.90). Обозначим вероятности этих событий соответственно

Ply Pit • • •» Ph-

Каждый раз, как выполняется необходимый комплекс

48 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ 1ГЛ. 1

условий (производится испытание), происходит одно из событий (1.90). Определим вероятность р п (тъ т2, . . . ,тк) того, что при п испытаниях событие А х произойдет тх раз, событие А 2 — т2 раз, . . событие A h — mk раз. При этом безразлично, в какой последовательности про­ исходят события. Так как в каждом испытании осуществ­ ляется одно из событий (1.90), то

Определим сначала вероятность того, что осуществится одна определенная последовательность событий А ( при п испытаниях, в результате чего каждое из событий A t произойдет требуемое количество раз. Согласно теореме умножения вероятность такой последовательности равна

Этой же величине равна вероятность любой последова­ тельности событий, содержащей требуемое число событий A t. Поэтому искомая вероятность согласно теореме сложения равна величине (1.99), умноженной на число различных последоватзльностей событий, содержащих события A t требуемое число раз. Число удовлетворяющих условию различных последовательностей можно получить, выбрав одну из таких последовательностей и определив в ней число всех перестановок, дающих новые последова­ тельности. Число всех перестановок из п элементов равно п\. Но так как, поменяв местами два одинаковых собы­ тия, мы не получим новой последовательности событий, число всех различных перестановок равно

п!

т\\ тъ! . . . т^1

Таким образом,

Рп {тъ т2, . . . , тк) =

Эта формула называется формулой вероятности сложного события.

Если требуется определить вероятность того, что событие А, вероятность осуществления которого в одном испытании равна р, при п испытаниях произойдет т раз, необходимо рассмотреть полную систему событий А, А. Тогда согласно (1.100)

падание в остальную часть мишени} составляют полную систему событий. Вероятность промаха равна 0,3. Сог­ ласно (1.100)

Рю(4,4, 2) = -0,2*.0,5*-0,3*^0,028.

З а д а ч а 25. Прибор имеет шесть ламп, вероятность выхода из строя каждой из которых при данном повы­ шении напряжения в цепи равна 0,3. При перегорании трех или меньшего числа ламп прибор из строя не выхо­ дит. При перегорании четырех ламп вероятность выхода прибора из строя равна 0,3, при перегорании пяти ламп 0,7, при перегорании шести ламп — 1. Определить ве­ роятность выхода прибора иэ строя при повышении нап­ ряжения.

Р е ш е н и е . Вероятности выхода из строя четырех, пяти и шести ламп соответственно равны:

Р* (6) = -§■-0,3е ^0,0007.