книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

то событие В называют независимым от события А. На­ пример, события {извлечение из колоды карты масти треф} и {извлечение валета} являются независимыми события­ ми. Информация, что извлечен валет, не меняет вероят­ ности появления трефы; она остается равной ги. Точно так же не изменяется вероятность, равная Vi3, что извле­ ченная карта — валет, когда стало известно, что карта трефовая.

Независимость событий является свойством взаимным, т. е. если справедливо (1.38), то выполняется и равенство

Это свойство будет доказано в следующем параграфе. Если же

Р ( А \ В ) ф Р ( А ) , Р ( В \ А ) ф Р ( В ),

то события А и В называются зависимыми.

Полная система событий Л (будем обозначать так для

называются взаимно независимыми, если справедливы ра­ венства

для любых i и /. В этом случае справедливы, очевидно, и равенства

Если хотя бы для какой-нибудь пары значений г и / равенство (1.42) не выполняется, то полные системы со­ бытий (1.40) и (1.41) являются взаимно зависимыми систе­ мами событий.

Система событий, составленная из всех попарных про­ изведений событий системы Л на события системы 33,

является полной системой событий, так как ее события несовместимы и при выполнении комплекса условий од­

но из событий системы (1.44) должно произойти. Эту пол­ ную систему событий будем обозначать jt33.

Отметим также, что

Pf Bt l A; ) + Р ( В 21А0 + . . . + Р ( 5 ь| Л г) = 1 (1.45)

при любом значении i.

§ 8. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Пусть А и В — события, которые могут происходить нри выполнении некоторого комплекса условий. Рассмот­ рим также события

Согласны принятым в § 2 обозначениям, первое из этих событий состоит в том, что произошли оба события, А и В; второе состоит в том, что событие А произошло, а событие В не произошло и т. д.

События (1.46) составляют полную систему событий, так как они несовместимы и при выполнении комплекса условий одно из них обязательно произойдет.

Теперь допустим, что удалось рассмотреть полную систему п равновозможных событий такую, что каждое из событий (1.46) равно объединению некоторых событий системы, причем событию АВ благоприятны п1 событий, событию АВ — п2 событий и т. д. Поскольку (1.46) сос­

Для п независимых событий эта формула упрощается:

ПП

Распространим и теорему сложения (1.56) на случай числа событий, большего двух. Для трех событий находим

Р ( А + В +С) =

= Р (А А-В) + Р { С ) - Р[(А + В)С]. (1.69)

Вследствие выполнения распределительного закона (1.5) после простых преобразований находим

Р ( Л + В А-С) =

= Р( А ) + Р ( В ) А - Р ( С ) ~

- Р (АВ) - Р (ВС) - Р (СА ) + Р (АВС). (1.70)

Применяя метод индукции, можно установить теорему сложения вероятностей для п событий:

Р (A-i + А 2 + • • • -(- А п) —

= \Р (А^) А~ Р (А-г) 4~ • • • + Р (Лп)1 —

— \Р (АгА^) -f- Р (AiA^) + • • • + Р (An-iА п)\ +

+ tP (АхА гА^) + Р (АгА гА 4) - |- ... 4-^>(Л„-аЛп_1Лп)] + •••

Часто при больших п вместо равенства (1.71) удобнее использовать равенство

справедливость которого очевидна и которое в случае

Р е ш е н и е . Вероятность выпадения двух шестерок при одном бросании равна 1/36. Вероятность, что это событие не случится ни разу при 24 бросаниях, равна

Следовательно, вероятность, что две шестерки выпадут хотя бы один раз

лицу правильно предсказать погоду не зависит от того, правильно ли ее предсказал первый. Так как предсказа­ ния погоды двумя лицами разошлись, то случилось со­

Хорошая погода будет, если случилось событие АВ. Сле­ довательно, вероятность наступления хорошей погоды равна

pi (1 — pi)

pi (1 — pi) + (1 —pi) pi

З а д а ч а 16. В игре покер каждому играющему сда­ ется пять карт. Различают различные комбинации из пяти карт. Эти комбинации в порядке убывания их зна­ чения следующие А: пять карт последовательных значе­ ний одной масти, начиная от туза; В: пять карт последо­ вательных значений одной масти, начиная не от туза; С: четыре карты одинаковых значений и пятая произволь­ ная карта; D: три карты одинаковых значений и две карты одинаковых значений; Е : пять карт не последова­ тельных значений одной масти; F: пять карт последова­ тельных значений, но произвольных мастей; G: три карты

§ 81 ТЕОРЕМЫ СЛОЖ ЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 37

одинаковых значений и две неодинаковых значений; Я: две нары карт одинаковых значений и одна произволь­ ная; I: одна пара карт одинаковых значений и три нерав­ ных значений; J: случай, когда сочетание карт не явля­ ется ни одной из девяти перечисленных комбинаций.

Найти вероятность каждой из комбинаций. (Разум­ ность последовательности комбинаций должна состоять в том, что с уменьшением значения комбинации ее вероят­ ность должна возрастать.)

Р е ш е н и е . Общее число всех равновозможных со­ четаний карт у одного игрока равно Cl- Для комбинации

Аимеется всего четыре благоприятных случая, поэтому

еевероятность

Р (4) = 4 / С\г 0,000001539.

У комбинации Я 32 благоприятных случая, поэтому

Р (В) = 32 / Cl ^5 0,00001231.

Найдем вероятность при последовательном извлече­ нии карт из колоды извлечения сначала четырех одинако­ вых, а затем произвольной карты. Первая карта может быть любой. Вероятность, что вторая будет того же зна­ чения, что и первая, равна 3/51. Если это событие про­ изошло, то вероятность, что и третья карта будет того же значения, равна 2/50. Вероятность того, что и четвер­ тая карта будет того же значения, равна 1/49. Пятая карта произвольная из оставшихся. Поэтому вероятность данной последовательности карт согласно теореме умно­ жения вероятностей равна

Могут быть пять различных последовательностей (произ­ вольная карта на любом из пяти мест), при которых четыре карты окажутся одинаковых значений, а пятая карта иная. Все эти пять последовательностей имеют одинако­ вую вероятность, и они несовместимы. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей

38 С Л У ЧА Й Н 0Е1С 0БЫ ТИ Е 1ГЛ. 1

Рассуждая, как в предыдущем случае, найдем веро­ ятность одной последовательности, дающей комбинацию/):

Число различных последовательностей, дающих событие D, равно Cl. Поэтому

“ 1 • тг ■Ж ■1 ' °-ООШ1-

Число равновозможных случаев, когда все пять карт

одной масти, равно 4. Это событие подразделяется на частные случаи — события А, В и Е. Поэтому

Р (Е) = 4-С?3/С52 - Р (А) - Р (В) ^ 0,001967.

Число равновозможных случаев пяти карт последо­ вательных значений равно 9-45. Это событие подразделя­ ется на частные случаи — события А, В и F. Поэтому

Р (F) = 9-46 / Cl2— Р (Л) - Р (В) s= 0,003701.

Вероятности комбинаций G, Н, I определяются спо­ собом, использованным для комбинаций С и D:

1 суммы вероятностей всех предыдущих комбинаций:

Р (/) ,55 1 - 0,5439 = 0,4561.

Таким образом, действительно, с уменьшением зна­ чений комбинаций их вероятность возрастает.

З а д а ч а 17. Из многолетних наблюдений известна статистическая вероятность того, что в районе обсерва­ тории ночь будет ясной. В феврале она равна Р (А) = 0,18, в марте Р (В) — 0,24 и в апреле Р (С) = 0,36. Наблюда­ тель будет иметь в своем распоряжении телескоп в ночь с 5-го на 6-е и с 20-го на 21-е каждого из этих месяцев. Найти вероятность того, что программа наблюдений

будет выполнена, если для ее выполнения требуется:

1)одна ясная ночь, 2) две ясные ночи.

Ре ш е н и е . Так как представленные астроному ночи наблюдений отделены друг от друга значительным перио­ дом — 15 дней, можно считать, что вероятность следую­ щей ночи быть ясной не зависит от того, была ли ясной предыдущая ночь наблюдений. Рассматриваемые события взаимно независимы.

1)Удобно использовать равенство (1.73); искомая вероятность равна

1- (0,82)2’(0,76)2(0,64)2 == 0,84.

2)И в этом случае искомую вероятность удобнее сос­ читать, вычтя из единицы вероятность того, что ни одна

ночь не будет ясной, и вероятность’того, что только одна ночь будет ясной:

Р= 1—0,16—2-0,18.0,82-(0,76)2-(0,64)2 -

-2 • (0,82)2>0,24 -0,76 • (0,64)2 -

- 2 • (0,82)2 • (0,76)2 -0,36 • 0,64 ^ 0,49.

3 а д а ч а 18. В некоторой местности вероятность того, что погода в данный день будет такой же, как и в преды­

день дождливый и п-й день также дождливый, имеет ве­ роятность p n-ip. Вероятность события, состоящего в том, что (п — 1)-й день не дождливый, а п-й — дождливый, равна (1 — pn-i)(l — ч)- Событие {п-й день дождливый} состоится, если произойдет одно из этих двух несовмести­ мых событий. Следовательно,

Рп = Pn-lP + ( 1 — />n-i)(l — Ч) =

= Pn-i(P + 9 — 1) + (1 ~ 9).

Применяя эту рекуррентную формулу п — 1 раз, получим

Рп — (р + 9 l)71*1Pi +11 + {р + 9 — 1) +

+ (р + ? - 1 ) * + . . . +(р + д - 1 Г 11(1 - д ) , (1.75)

что и дает решение задачи.