книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

событий в задаче а) на число возможных различных пе­ рестановок чисел кг, к2, . . кп среди п ячеек. Если бы все эти числа были различны между собой, то число та­ ких перестановок равнялось бы п\. Однако если среди этих чисел имеются одинаковые, то их перестановки между собой не дают новых распределений. Поэтому число бла­ гоприятных распределений в задаче б) равно произведе­ нию (1.29) на

п\

(1.31)

(l!)9'(2!)9z...( s ! ) 9»

пЫ Ы . . . 1еп\(I!)9* (2!)9z. . . (s\ fs

2)В статистике Бозе — Эйнштейна число благопри­ ятных событий в задаче а) равно 1, так как частицы прин­ ципиально неразличимы и их перестановки новых рас­ пределений не дают. Искомая вероятность определяется формулой (1.22).

Взадаче б) число благоприятных событий дается вы­ ражением (1.31), представляющим число различных пе­ рестановок количеств ки к2, . . ., кп. Следовательно, иско­ мая вероятность

(I!)9' (2t)?*... (si)9* (к + « — 1) (

3) и 4). В статистиках Линден-Белла и Ферми — Дирака в каждой ячейке не может быть больше одной частицы. Поэтому если не выполняется хотя бы одно из условий

* 1 < 1 , < 1 , . . . . *n < f , (1.34)

то искомая вероятность равна нулю. Если же все усло­ вия (1.34) выполняются, то задача 5 переходит в зада­ чу 4.

З а д а ч а 6. Имеется п + т последовательно распо­ ложенных на оси Ох ячеек, в которых случайным образом, по одной в ячейке, располагаются п положительно заря­ женных и т отрицательно заряженных частиц {п~> т). Положительные и отрицательные заряды частиц одинако­ вы по величине. Найти вероятность такого распределения, при котором суммарный заряд частиц, находящихся слева от любой точки оси Ох, неотрицателен.

Р е ш е н и е . Так как в каждой ячейке может распо­ ложиться только одна частица, то задача должна решаться в статистике Линден-Белла или статистике Ферми — Дирака. В задаче 4 было показано, что эти статистики приводят к одним и тем же вероятностям распределений. В данной задаче, как легко видеть, и число равновозмож­ ных событий и число благоприятных событий в статистике Линден-Белла равно соответствующим числам собы­ тий в статистике Ферми — Дирака, помноженным на п!т!. Это подтверждает совпадение вероятностей распреде­ лений в обеих статистиках. Будем решать задачу в ста­ тистике Ферми — Дирака, т. е. будем считать, что поло­ жительно заряженные частицы между собой неразличимы, и то же верно для отрицательно заряженных частиц.

Предположим, что на плоскости хОу (рис. 2) ячейки расположены в точках абсцисс с координатами 1 , 2 , . . .

..., в + т . Рассмотрим некоторое расположение частиц. Бу­ дем суммировать слева направо заряды частиц (с учетом их знаков) и откладывать в каждой точке ординату, чис­ ленно равную накопившейся сумме единиц заряда. Сое­ диним после этого соседние вершины ординат прямоли­ нейными отрезками, а также начало координат с верши­ ной соседней ординаты. Получившуюся ломаную назовем траекторией. Очевидно, что в точке п + т траектория

должна прийти к ординате п — т. Одна из возможных траекторий на рис. 2 изображена сплошной линией.

В статистике Ферми — Дирака каждому распределе­ нию частиц взаимно однозначно соответствует некоторая траектория. Общее число равновозможных событий (раз­

личных траекторий) равно С™+)П — числу различных раз­ мещений п подъемов, соот­ ветствующих положитель­ но заряженным частицам, среди п + т подъемов и спусков.

Благоприятным собы­ тиям соответствуют траек­ тории, которые ни в одной точке не спускаются ниже оси абсцисс, так как это означало бы, что суммар­ ный заряд слева от следу­ ющей ячейки оказался от­ рицательным.

Сосчитаем общее число неблагоприятных собы­ тий — число траекторий, хотя бы в одной точке достигаю­

щих прямой у = — 1 или пересекающих ее; такой небла­ гоприятной траекторией является, например, одна из изображенных на рис. 2 сплошной линией. Для этого каж­ дой неблагоприятной траектории сопоставим некоторую фиктивную траекторию, построенную по следующему правилу: до первого соприкосновения с прямой у — — 1 фиктивная траектория совпадает с неблагоприятной тра­ екторией, а от точки соприкосновения фиктивная траек­ тория является зеркальным отражением неблагоприят­ ной траектории относительно прямой у = —1. На рис. 2 фиктивная траектория от точки соприкосновения с пря­

видеть, что любой (фиктивной) траектории, заканчиваю­ щейся в точке (п т, —п т — 2), взаимно однозначно соответствует реальная неблагоприятная траектория. Поэтому нужно сосчитать число всех таких (фиктивных)

§ 51 Кл а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и й в е р о я т н о с т и 23

траекторий. Каждая из них содержит п + 1 спусков среди общего числа п -f- т подъемов и спусков. Поэтому число

фиктивных траекторий равно Cntm• Число реальных бла­

мерованы и все проданы. Зрители садятся на места слу­ чайным образом. Найти вероятность того, что ни один зритель не сядет на свое место.

Р е ш е н и е . Общее число всех равновозможных рас­ пределений зрителей равно п!. Искомая вероятность равна

(1.35)

где S (п) — число благоприятных событий, т. е. таких событий, когда ни один зритель не сидит на своем месте.

Для нахождения S (п) применим метод индукции. Допустим, что п увеличилось на единицу. Каждый раз как зрители на п местах расположились благоприятным образом, можно, меняя поочередно местами одного из этих зрителей со зрителем, купившим билет на (п + 1)-е место, получать благоприятное распределение на п + 1 местах. Таким образом, можно получить nS (п) благо­ приятных распределений на п + 1 местах. Кроме того, в тех случаях, когда на п местах п — { зрителей сидят не на своих местах, а один на своем месте, перестановка местами последнего с (п + 1)-м зрителем также будет давать благоприятное распределение на п + 1 местах. Число таких распределений равно nS (п — 1). Итак,

S (п + 1) = nS (п) + nS {п — 1).

Используя (1.35), получим

(» + 1)! Р (п + 1) = пчг\Р{п) + п-{п — 1)!Р(п — 1),

откуда, после сокращения на га! и некоторых преобразо­ ваний, следует

Решение функционального уравнения (1.36) легко угады­ вается:

А=0

Произвольная постоянная с определяется из очевидного'

условия Р (2) = - j - , которое дает с = 1. Итак, вероятность

того, что ни один зритель не окажется на своем месте, равна

исправности случайно выстреливает при заряжении. Ка­ кова вероятность поражения круглой мишени радиусом 10 см, находящейся на расстоянии 10 м, если все нап­ равления полета пули равновероятны?

Р е ш е н и е . Метод, применяемый для решения по­ добных задач, называется геометрическим. Всех равно­ возможных направлений полета пули бесконечное мно­ жество. Бесконечно также число всех благоприятных направлений. Однако отношение числа благоприятных событий к числу всех равновозможных событий можно найти, считая, что это отношение равно отношению те­ лесного угла мишени, который приблизительно равен

я' ("ж ^г)г — я ' 1°-4Рад%

кполному телесному углу 4л. Искомая вероятность

З а д а ч а 9. На полупрямой случайно ставятся три точки. Найти вероятность того, что из трех отрезков, рав~

S 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 25

ных расстояниям этих точек от начала полупрямой, можно составить треугольник.

Р е ш е н и е . При случайном нанесении точек одна из точек всегда будет оказываться не ближе от начала полупрямой, чем две другие точки. Будем каждый раз принимать расстояние этой точки от начала полупрямой

за единицу расстояния. Тогда расстояния х и у двух дру­ гих точек от начала полупрямой заключены в промежутке

Ю, 1].

Рассмотрим плоскость хОу. Общее число равно­ возможных событий — значений чисел х и у — соответ­ ствует площади квадрата со стороной 1 на рис. 3. Тре­ угольник из полученных трех отрезков можно составить при выполнении условия х + у > 1. Этому неравенству отвечают точки, расположенные в области, которая на рис. 3 заштрихована. Площадь заштрихованной области равна 1/2. Следовательно, искомая вероятность

если значения коэффициентов а и Ъ равновозможны в

ний коэффициентов а и Ъ соответствует площадь квадрата (рис. 4), равная 4. Корни уравнения вещественны, если

§ 6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОП РЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 27

§ 6. Статистическое определение вероятности события

Необходимый для классического определения веро­ ятности анализ — рассмотрение полной системы равно­ возможных событий и выделение тех из них, которые благоприятны для рассматриваемого события,— удается провести далеко не всегда. Например, событие, состоящее в том, что определенный атом радия распадается за вре­ мя, не превосходящее t, пока не поддается исследованию в такой схеме. Поэтому определить вероятность этого события классическим методом нельзя. Также невозможно при помощи теоретического расчета определить вероят­

ского пола.

Существует другой способ оценки вероятности слу­ чайного события — оценка при помощи опыта. Допустим, что комплекс условий, при котором может происходить рассматриваемое событие, многократно в точности пов­ торяется сам или может быть многократно в точности воспроизведен. Мы условились в таком случае говорить, что производятся испытания. Если при выполнении щ испытаний событие А произошло т1 раз, то говорят, что относительная частота события А в этой серии испыта­ ний равна mjriy. Во второй серии испытаний относитель­

тами большого числа различного рода испытаний подме­ чено, что для широкого круга явлений относительная частота появлений рассматриваемого события в различ­ ных сериях испытаний обнаруживает устойчивость. От­ носительные частоты в сериях испытаний мало отлича­ ются друг от друга. Эти отличия тем меньше, чем больше число испытаний в данных сериях испытаний. Например, относительная частота рождений младенцев мужского пола не отличается заметно от 0,515, если учтено доста­ точно большое число рождений.

Статистика показывает, что относительная частота рождений мальчиков не зависит от местности или этнического состава населения. Она всегда превышает

28 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ 1ГЛ. 1

относительную частоту рождений девочек приблизительно на 0,03. Можно сказать, что относительная частота рож­ дений мальчиков есть величина устойчивая.

Если определять относительную частоту распада атома Ra226 за 100 лет, то всегда будет получаться величина 0,04184. Здесь число испытаний в серии равно числу на­ ходящихся под наблюдением атомов радия. Это число в опыте огромно и потому относительная частота распадов в сериях испытаний в высшей степени устойчива, ее из­ менения незаметны, так как перекрываются ошибками в определении числа всех атомов и числа распавшихся атомов.

Вероятностью события называется объективно суще­ ствующая величина, около которой группируются от­ носительные частоты этого события. Таково статистиче­ ское определение понятия вероятности.

Как легко уяснить, по значениям относительных частот можно получить лишь приближенное значение вероятности. Поэтому формально математик скажет, что статистическое определение понятия вероятности нельзя

ний так велико, что опыт может дать значение вероятности события с весьма высокой точностью. Например, для распада Ra226, где число учтенных испытаний огромно— равно числу атомов в испытуемом образце (т. е. порядка 1023—1024),— опыт может дать значение вероятности собы­ тия с весьма высокой точностью. Можно утверждать, что с точностью до пятой цифры после запятой вероятность распада атома радия за 100 лет равна 0,04184. Существен­ но то, что ограничение точности указания значения веро­ ятности пятой цифрой после запятой связано не с тем, что в опыте с радием относительная частота отклоняется от вероятности события. Это отклонение заведомо на много порядков меньше, чем ошибки измерений в выполненном опыте.

Можно утверждать, что наблюдаемая относитель­ ная частота распада атомов радия (в пределах ошибок из­ мерения) равна вероятности распада атома. Этот пример показывает, что для астронома и физика статистическое определение понятия вероятности является содержатель­ ным определением.

Можно сказать, что вероятностью события является предел, к которому стремится относительная частота по­ явления события при неограниченном увеличении числа испытаний.

При статистической оценке вероятности события не­ обходимо, чтобы соблюдалось точное воспроизводство комплекса условий, т. е. чтобы условия испытаний не менялись. Если условия испытаний меняются, то в об­ щем случае меняется и вероятность появления события. Если, например, вероятность выдачи конвейером брако­ ванной детали определяется при помощи определений относительной частоты бракованных изделий на протя­ жении ряда лет, то нужно иметь в виду, что, несмотря на кажущееся точное воспроизводство комплекса условий, оно на самом деле не будет точным, так как отдельные части конвейера с течением времени изнашиваются, усло­ вия обработки детали изменяются. В этом случае относи­ тельная частота события не будет изменяться устойчиво, так как вероятность события — появление бракованной детали — будет изменяться со временем.

§ 7. Условная вероятность. Зависимые и независимые события

Пусть при выполнении некоторого комплекса условий могут произойти случайные события А и В. Их вероят­ ности соответственно равны Р (А) и Р (В). Допустим, стало известно, что при выполнении данного комплекса условий событие А произошло. Относительно события В данных не получено. Однако теперь, после получения информации о совершении события А, вероятность собы­ тия В может стать другой, отличной от Р (В). Если, нап­ ример, при бросании игральной кости вероятность появ­ ления единицы равна Vg, то после того как стало извест­ но, что выпало нечетное число, вероятность того, что выпала единица, возросла до 1/3.

Вероятность события В при условии, что событие А